Soru: Ayşe Öğretmen’in tahtaya yazdığı sayılardan rasyonel olanların sayısı ile irrasyonel olanların sayısının farkı kaçtır?
Tahta üzerinde yazılı sayıların incelenmesi gerekiyor:
Adım Adım Çözüm:
Tahtada yazılı sayılar:
2, 3, √25, √100 − 54, √49, √19, 50, √144
1. Rasyonel Sayılar
Rasyonel sayılar kesir şeklinde yazılabilen veya tam sayı değerine sahip köklerin olduğu ifadelerdir. Aşağıdaki sayıların her biri kontrol edilir:
- 2 ve 3: Tam sayılar. Rasyoneldir.
- √25: Karekök alınır, √25 = 5. Bu bir tam sayı olduğu için rasyoneldir.
- √100 − 54: Karekök alınır, √100 = 10. 10 − 54 = −44. Bu bir tam sayı olduğu için rasyoneldir.
- √49: Karekök alınır, √49 = 7. Bu bir tam sayı olduğu için rasyoneldir.
- 50: Tam sayı olduğu için rasyoneldir.
- √144: Karekök alınır, √144 = 12. Bu bir tam sayı olduğu için rasyoneldir.
Rasyonel olan sayıların toplamı:
2, 3, 5, −44, 7, 50, 12 = 7 sayı
2. İrrasyonel Sayılar
İrrasyonel sayılar, kök değeri tam bir sayı olmayan ya da kesirle ifade edilemeyen sayılardır.
- √19: Kök değeri tam sayı değildir (irrasyoneldir).
İrrasyonel olan sayıların toplamı:
√19 = 1 sayı
3. Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Farkı
Fark = Rasyonel sayıların sayısı − İrrasyonel sayıların sayısı
Fark = 7 − 1 = 6
Sonuç:
Bu sorunun doğru cevabı şıklarda B) 6 olarak verilmiştir.
| Sayılar | Tür | Açıklama |
|---|---|---|
| 2 | Rasyonel | Tam sayı |
| 3 | Rasyonel | Tam sayı |
| √25 | Rasyonel | Karekök tam sayı (5) |
| √100 − 54 | Rasyonel | Karekök alınınca tam sayı |
| √49 | Rasyonel | Karekök tam sayı (7) |
| 50 | Rasyonel | Tam sayı |
| √144 | Rasyonel | Karekök tam sayı (12) |
| √19 | İrrasyonel | Tam olmayan kök değeri |
Cevap: B) 6 @Aysegul_Cildir
Aşağıdaki soru:
“9. Aşağıda Ayşe Öğretmen’in tahtaya yazdığı bazı gerçek sayılar verilmiştir:
2√3 − 25, √(100 − 64), 4/7, 2, 12, √(1/9), 19, √50, 144/7.
Ayşe Öğretmen öğrencilerine, bu sayılardan ‘rasyonel sayı’ olanların sayısı ile ‘irrasyonel sayı’ olanların sayısının farkını sormuştur. Buna göre sorunun doğru cevabı aşağıdakilerden hangisidir?”
• A) 7
• B) 5
• C) 3
• D) 1
Cevap:
İçindekiler Tablosu
-
- Verilen Sayıların Tek Tek İncelenmesi
- Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Adım Adım Belirlenmesi
- Tablo: Sayıların Rasyonel/İrrasyonel Sınıflandırılması
- Farkın Hesaplanması
- Soruya Uygun Çoktan Seçmeli Cevap
-
1. Rasyonel ve İrrasyonel Sayılara Giriş
Matematikte gerçek sayılar (Reel sayılar) temel olarak iki ana gruba ayrılır:
- Rasyonel Sayılar: Bir tam sayının başka bir tam sayıya bölümü biçiminde yazılabilen sayılardır. Yani \frac{p}{q} formunda olup $q \neq 0$’dır. Bütün tamsayılar (…, -2, -1, 0, 1, 2, …) aynı zamanda rasyonel sayı kabul edilir; çünkü her tamsayı, paydası 1 olan bir kesir şeklinde (örneğin, 5 = \tfrac{5}{1}) düşünülebilir.
- İrrasyonel Sayılar: Rasyonel sayı biçiminde (yani \tfrac{p}{q} formunda) gösterilemeyen reel sayılardır. Karekök içinde tam kare olmayan ifadeler (\sqrt{2}, \sqrt{3} vb.), \pi, e gibi sayıların tümü irrasyoneldir.
Bu soru özelinde, aşağıdaki prensiplerle ilerleyeceğiz:
- Bir tam sayı ya da bir kesir (örneğin \tfrac{4}{7}, \tfrac{144}{7}, 19, -25, vb.) direkt olarak rasyoneldir.
- Karekök ifadeleri eğer sonucunda (tam kare gibi) tam sayı çıkıyorsa ya da kesir çıkıyorsa rasyoneldir. Ancak sonuç doğrudan tam sayı veya tam kesir çıkmıyorsa irrasyoneldir.
- Bir irrasyonel sayıdan (örneğin \sqrt{3}, \sqrt{2} vb.) sabit bir rasyonel sayı çıkarıldığında ya da eklendiğinde sonuç yine irrasyoneldir. Örneğin 2\sqrt{3} - 25 irrasyoneldir; çünkü 2\sqrt{3} kısmı irrasyonele karşılık gelir.
Bu bilgiler ışığında soru metninde verilen her sayıyı tek tek inceleyip “rasyonel mi?” yoksa “irrasyonel mi?” olduğunu belirleyeceğiz.
2. Verilen Sayıların Tek Tek İncelenmesi
Soruya göre tahtada yazan sayılar şunlardır:
- 2\sqrt{3} - 25
- \sqrt{100 - 64}
- \frac{4}{7}
- 2
- 12
- \sqrt{\frac{1}{9}}
- 19
- \sqrt{50}
- \frac{144}{7}
Dikkat edilirse, bazen sorulara “2√3, -25” gibi görünse de aslında “2√3 - 25” tek bir ifade olarak yazılmış olabilir. Sorunun orijinal kaynağında ifade “$2\sqrt{3} - 25$” şeklinde bitişik yazıldığı için bunu tek bir sayı (tek bir matematiksel ifade) olarak kabul ediyoruz.
Şimdi her birini tek tek analiz edeceğiz.
3. Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Adım Adım Belirlenmesi
3.1) 2\sqrt{3} - 25
- \sqrt{3} irrasyoneldir.
- Bir irrasyonel sayıyı (2√3) bir rasyonel sayı (25) ile çıkarmak (veya eklemek), sonucu irrasyonel yapmaya devam eder.
- Dolayısıyla 2\sqrt{3} - 25 irrasyoneldir.
3.2) \sqrt{100 - 64}
- Bu ifade $\sqrt{36}$’ya eşittir.
- \sqrt{36} = 6 olup bir tam sayıdır.
- 6 tam sayı olduğu için rasyoneldir.
3.3) \frac{4}{7}
- Pay ve payda tam sayılardan ibaret bir kesir.
- Kesir formunda (pay/payda) gösterilebildiği için rasyoneldir.
3.4) 2
- Bir tam sayıdır (aynı zamanda \frac{2}{1} olarak da düşünülebilir).
- Tam sayılar rasyonel sayılar kümesindedir.
3.5) 12
- Bir tam sayıdır.
- Üstteki mantığa göre rasyoneldir.
3.6) \sqrt{\frac{1}{9}}
- Karekökü alırsak \frac{1}{3} elde ederiz. (Karekökün pozitif olduğunu varsayıyoruz.)
- \frac{1}{3} rasyoneldir.
- Dolayısıyla \sqrt{\frac{1}{9}} rasyoneldir.
3.7) 19
- Tam sayı, dolayısıyla rasyoneldir.
3.8) \sqrt{50}
- \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}.
- \sqrt{2} irrasyonel olduğu için 5√2 de irrasyoneldir.
- Dolayısıyla \sqrt{50} irrasyoneldir.
3.9) \frac{144}{7}
- Pay ve paydası tam sayı (144 ve 7) olan bir kesir.
- Kesir formunda olduğundan rasyoneldir.
4. Tablo: Sayıların Rasyonel/İrrasyonel Sınıflandırılması
Aşağıdaki tabloda her bir ifadeye ait “Rasyonel mi?” yoksa “İrrasyonel mi?” durumu özetlenmiştir:
| Sayı | İnceleme | Sonuç |
|---|---|---|
| 2\sqrt{3} - 25 | İrrasyonel (\sqrt{3} irrasyonel) | İrrasyonel |
| \sqrt{100 - 64} | \sqrt{36} = 6 → tam sayı | Rasyonel |
| \frac{4}{7} | Tam sayı/Tam sayı formu | Rasyonel |
| 2 | Tam sayı, \frac{2}{1} formu | Rasyonel |
| 12 | Tam sayı, \frac{12}{1} formu | Rasyonel |
| \sqrt{\frac{1}{9}} | \frac{1}{3} → rasyonel kesir | Rasyonel |
| 19 | Tam sayı | Rasyonel |
| \sqrt{50} | 5\sqrt{2} → irrasyonel | İrrasyonel |
| \frac{144}{7} | Tam sayı/Tam sayı formu (144 ÷ 7) | Rasyonel |
Bu listeye bakıldığında toplam 9 ifade söz konusudur.
5. Farkın Hesaplanması
Yukarıdaki 9 ifadenin kaçının rasyonel, kaçının irrasyonel olduğunu görelim:
- İrrasyoneller:
- 2\sqrt{3} - 25
- \sqrt{50}
Dolayısıyla irrasyonel sayı adedi: 2
- Rasyoneller:
- \sqrt{100 - 64} (6)
- \frac{4}{7}
- 2
- 12
- \sqrt{\frac{1}{9}} (1/3)
- 19
- \frac{144}{7}
Rasyonel sayı adedi: 7
Bu iki gruplandırmadan sonra soruda istenen “rasyonel sayı olanların sayısı ile irrasyonel sayı olanların sayısının farkı”:
Elde edilen sonuç: 5
6. Soruya Uygun Çoktan Seçmeli Cevap
Soru sonunda verilen şıklara bakalım:
• A) 7
• B) 5
• C) 3
• D) 1
Yaptığımız hesaplamaya göre fark 5 olduğundan doğru cevap (B) 5 seçeneğidir.
7. Özet ve Sonuç
Bu soruda verilen dokuz farklı ifadenin 2 tanesi irrasyonel, 7 tanesi rasyonel çıkmıştır. İfade “$2\sqrt{3} - 25$” olarak tek bir sayı şeklinde kabul edildiğinde irrasyonel sayılar listemiz artı bir tane (toplam 2 irrasyonel), geriye kalanlar ise rasyoneldir. Sonuçta aradaki fark 5 olur ve çoktan seçmeli şıklarda da 5 (B seçeneği) doğru cevabı vermektedir.
• Kısa Özet:
– Rasyoneller: 7 adet
– İrrasyoneller: 2 adet
– Fark: 5
Dolayısıyla, Ayşe Öğretmen’in sorduğu “rasyonel sayı olanların sayısı ile irrasyonel sayı olanların sayısının farkı” 5’tir.
@anonymous13
Aşağıda Ayşe Öğretmen’in tahtaya yazdığı bazı gerçek sayılar verilmiştir:
• 2, 3, √25, (√100) − 54, √49, √19, 50, √144
Ayşe Öğretmen bu sayılardan hangilerinin rasyonel, hangilerinin irrasyonel olduğunu belirleyip “rasyonel olanların sayısı ile irrasyonel olanların sayısı arasındaki fark”ı sormuştur.
Answer:
Table of Contents
- Sayılara Genel Bakış
- Rasyonel ve İrrasyonel Sayı Tanımları
- Adım Adım İnceleme
- Sonuç ve Fark Hesabı
- Özet Tablo
1. Sayılara Genel Bakış
Tahtada sırasıyla şu sekiz sayı bulunmaktadır:
- 2
- 3
- √25
- (√100) − 54
- √49
- √19
- 50
- √144
Bu sayıların hangilerinin rasyonel, hangilerinin irrasyonel olduğunu tespit ederek sonuca varacağız.
2. Rasyonel ve İrrasyonel Sayı Tanımları
-
Rasyonel Sayı: a/b formunda (burada a ve b tam sayılardır ve b ≠ 0) yazılabilen gerçek sayılara rasyonel sayı denir. Örneğin 2 (2/1 olarak), -44 (−44/1 olarak), 3, 1/2 gibi sayılar rasyoneldir. Tam kare sayıların karekökleri (örneğin √25 = 5, √49 = 7) de tam sayı oldukları için rasyoneldir.
-
İrrasyonel Sayı: a/b şeklinde, yani iki tam sayının oranı biçiminde ifade edilemeyen gerçek sayılara irrasyonel sayı denir. Basitçe, virgülden sonra hiçbir zaman tam bir tekrar ya da sonlanma yoktur. √19, √2, π gibi sayılar irrasyoneldir.
3. Adım Adım İnceleme
Aşağıda her sayının rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu tek tek inceliyoruz:
-
2
- 2/1 şeklinde ifade edilebildiği için rasyoneldir.
-
3
- 3/1 şeklinde ifade edilebildiği için rasyoneldir.
-
√25
- √25 = 5’tir (25 tam kare, 5 tam sayıdır). Dolayısıyla rasyoneldir.
-
(√100) − 54
- √100 = 10’dur. 10 − 54 = −44.
- −44 tam sayı (−44/1) olduğundan rasyoneldir.
-
√49
- √49 = 7’dir. 49 tam kare olduğu için 7 tam sayıdır, rasyoneldir.
-
√19
- 19 tam kare değildir, karekökü tam sayıya ya da a/b biçimine indirgenemez, irrasyoneldir.
-
50
- 50 tam sayıdır (50/1), rasyoneldir.
-
√144
- √144 = 12’dir. 144 tam kare olduğu için 12 tam sayıdır, rasyoneldir.
4. Sonuç ve Fark Hesabı
Yukarıdaki inceleme sonucunda:
- Rasyonel Olanlar: 2, 3, 5 (√25), −44 ((√100)−54), 7 (√49), 50, 12 (√144)
- İrrasyonel Olanlar: √19
Dolayısıyla:
- Rasyonel sayı adedi = 7
- İrrasyonel sayı adedi = 1
- Aradaki fark = 7 − 1 = 6
Soru, “rasyonel olanların sayısı ile irrasyonel olanların sayısının farkı hangisidir?” şeklinde olduğunda matematiksel olarak 6 bulunur.
Ne var ki bazı kaynaklarda veya testlerde verilen şıklar (A) 7, (B) 5, (C) 3, (D) 1 biçiminde olabiliyor ve 6 bulunmuyor. Bu durumda soruda veya şıklarda bir hata olması muhtemeldir. Yazılı sayılar yukarıdaki gibi ise fark değişmeyecek şekilde 6 olarak hesaplanır.
5. Özet Tablo
| Sayı | Tam Karşılığı | Rasyonel/İrrasyonel | Gerekçe |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | Rasyonel | 2/1 formunda yazılabilir |
| 3 | 3 | Rasyonel | 3/1 formunda yazılabilir |
| √25 | 5 | Rasyonel | Tam kare (5) |
| (√100) − 54 | 10 − 54 = −44 | Rasyonel | Tam sayı (−44/1) |
| √49 | 7 | Rasyonel | Tam kare (7) |
| √19 | – | İrrasyonel | 19 tam kare değil, a/b formuna indirgenmez |
| 50 | 50 | Rasyonel | 50/1 formunda |
| √144 | 12 | Rasyonel | Tam kare (12) |
• Rasyonel Sayıların Sayısı: 7
• İrrasyonel Sayıların Sayısı: 1
• Fark (Rasyonel − İrrasyonel) = 7 − 1 = 6
Özetle bu listedeki verilere göre cevap 6’dır. Eğer sorunun çoktan seçmeli şıklarında 6 yer almıyorsa, soru metninde veya seçeneklerde baskı/aktarım hatası bulunma ihtimali yüksektir.