SORU: Cam parçasının şeklinin ilk ve son konumlarının kesişimini ifade eden boyalı üçgenin çevre uzunluğunu bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- İç içe geçmiş üçgenlerin kenar uzunlukları ve çevre hesaplama,
- Benzerlik oranları,
- Eşkenar üçgenlerin özellikleri.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen bilgileri ve şekli analiz et
- ABC ve A’B’C’ eşkenar üçgenlerdir.
- ABC üçgeninin çevresi 30 birimdir.
- BC kenarı boyalı bölgenin bir kenarıdır ve uzatılarak 7 birim öteye taşınmıştır.
- Üçgenlerin kesişim bölgesi boyalı üçgendir.
Adım 2 — Kenar uzunluğunu bulun
-
ABC eşkenar üçgen olduğundan her kenar eşittir:
\text{Bir kenar} = \frac{Çevre}{3} = \frac{30}{3} = 10 \text{ birim} -
B ve B’ noktaları arasındaki mesafe 7 birim.
Adım 3 — Boyalı üçgenin kenarlarının uzunluğunu bulun
- Boyalı üçgen BBC' olarak kabul edilir.
- BC = 10 birim (ABC üçgeninden),
- BB' = 7 birim (verilen),
- C'C kenarı da, eşkenarlığın simetrisi nedeniyle 10 birimdir.
Adım 4 — Boyalı bölgenin çevresini hesapla
- Çevre:BC + BB' + B'C = 10 + 7 + 10 = 27 \text{ birim}
CEVAP: Boyalı üçgenin çevresi 27 birimdir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
SORU: Çevre uzunluğu 30 birim olan eşkenar ABC üçgeni, BC doğrultusunda 7 birim ötelenerek A’B’C’ elde ediliyor. İlk ve son konumların kesişimi olan boyalı üçgensel bölgenin çevre uzunluğu kaç birimdir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Mesafe formülü: d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
- Eşkenar üçgen yüksekliği: h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}s
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kenar uzunluğunu belirle
Çevre =30 olduğuna göre kenar uzunluğu s=\dfrac{30}{3}=10.
Adım 2 — Koordinat sistemi kur
Orijinal üçgen için noktaları seçelim: B(0,0),\ C(10,0),\ A(5,\,5\sqrt{3}) (yükseklik h=5\sqrt{3}). Öteleme vektörü (7,0) olduğundan B'(7,0),\ C'(17,0),\ A'(12,\,5\sqrt{3}).
Adım 3 — Üçgen üst sınır denklemlerini yaz
Orijinal üçgenin üst sınırı (sağ yarı için, x\in[5,10]) y_{\text{or}}=\sqrt{3}(10-x).
Ötelenmiş üçgenin sol kenarı ( x\in[7,12]) y_{\text{ö}}=\sqrt{3}(x-7).
Adım 4 — Kesişim eksenini bul
Üst sınırların eşit olduğu x için \sqrt{3}(10-x)=\sqrt{3}(x-7) ⇒ 10-x=x-7 ⇒ 2x=17 ⇒ x=8.5.
Bu noktadaki y değeri y=\sqrt{3}(8.5-7)=1.5\sqrt{3}.
Adım 5 — Kesişim üçgeninin köşelerini belirle
Kesişim bölgesi tabanı x\in[7,10] üzerinde olduğundan taban uçları P_1(7,0) ve P_2(10,0). Tepe noktası P_3(8.5,\,1.5\sqrt{3}).
Adım 6 — Kenar uzunluklarını hesapla
Taban uzunluğu: P_1P_2=10-7=3.
Yan kenar (ör. P_1P_3) için mesafe:
P_1P_3=\sqrt{(8.5-7)^2+(1.5\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{(1.5)^2+(1.5\sqrt{3})^2}
\;=\sqrt{2.25+ (2.25\cdot 3)}=\sqrt{2.25+6.75}=\sqrt{9}=3.
Diğer yan kenar da eşit olduğundan her iki yan kenar da 3 birimdir.
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Eşkenar üçgen
- Tanım: Tüm kenarları eşit olan üçgen.
- Bu problemde: Orijinal üçgenin kenar uzunluğu 10 olarak kullanıldı.
2. Koordinat yöntemi ile kesişim
- Tanım: Geometrik şekilleri koordinat düzlemine koyup cebirsel olarak kesişimleri bulma yöntemi.
- Bu problemde: Kenar doğrularının denklemleri ve eşitlikleri kullanılarak kesişim noktası belirlendi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kenar uzunluğunu yanlış hesaplama
- Yanlış: Çevreyi 4’e bölüp kenarı bulmak.
- Doğru: Çevre 3 kenar içerir, s=\dfrac{30}{3}=10.
- Neden yanlış: Eşkenar üçgende 3 kenar vardır.
- Düzeltme: Çevre / 3 alın.
Kesişim noktasını yanlış yerde çözme
- Yanlış: Üst sınır denklemlerini karışık kullanmak.
- Doğru: Her üçgen için ilgili kenar denklemini doğru aralıkta kullanıp eşitlemek gerekir.
- Neden yanlış: Yanlış aralık seçilirse yanlış x bulunur.
- Düzeltme: Aralık kontrolü yap ve doğru kenar denklemlerini kullan.
CEVAP: 9 birim
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?