SORU:
Şekil 1’de verilen dikdörtgenin A ve B noktalarından asılmış çerçeve, Şekil 2’de eğik duruyor. B noktasının yerden yüksekliği 40 cm ise, A noktasının yerden yüksekliği kaç santimetredir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Paralelkenarın karşı kenarları birbirine paraleldir ve yükseklik oranları benzerlik ve diklik kuralları ile bulunabilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenleri Not Et:
- Şekil 1: Dikdörtgen,
AB = 100 cm (yükseklik),
BC = 50 cm (taban). - Şekil 2: Aynı dikdörtgen eğik ve
B noktasının yerden yüksekliği = 40 cm.
Adım 2 — Şekil 2’de Çerçevenin Eğik Durumu:
B noktası zeminden 40 cm yükseklikte.
Çerçeve zemine paralel kalmalı, bu durumda A ve B noktalarının yükseklikleri ile dikdörtgenin yükseklik oranı aynıdır.
Adım 3 — A Noktasının Yerden Yüksekliğini Hesapla:
Şekil 1’de AB aralığı 100 cm.
Şekil 2’de B yüksekliği 40 cm.
Yüksekliğin tamamı 100 cm ise, A’nın yüksekliği (h_A) şöyledir:
Çünkü çerçeve eğik şekilde asıldığında A ve B yükseklikleri toplamı 100 cm olur, sadece yerden yükseklik farkına dikkat et.
Ama önemli not: Soru, B yüksekliği 40 cm iken A yüksekliğini sormakta. Şekil 2’de çerçeve eğik, ama uzunluklar aynı kalıyor.
Burada mantıklı olan, orantı ile hesaplama yapmak:
AB uzunluğu 100 cm,
Bu yükseklik tek eksende değil, eğik olduğundan B noktası 40 cm, A noktası kaç cm?
Şekil 2’de BC uzunluğu biraz büyümüştür çünkü çerçeve eğik.
Adım 4 — Orantı Kur:
Şekil 1’de AB dikey 100 cm,
Şekil 2’de B yüksekliği 40 cm,
Dolayısıyla A yüksekliği:
h_A + 40 = 100 cm olmalı,
Çünkü aynı yükseklik toplamı korunur.
Adım 5 — Sonuç:
h_A = 100 - 40 = 60 cm
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
A noktasının yerden yüksekliği 60 cm’dir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: 50 cm × 100 cm dikdörtgen panonun A noktası sabit, pano A etrafında bir açı φ kadar döndüğünde C noktası zemine temas edip dengede kalıyor. Şekil 2’de B noktasının yer düzleminden yüksekliği 40 cm olduğuna göre A noktasının yer düzleminden yüksekliği kaç santimetredir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Döndürme sırasında bir noktanın dikey yer değişimi trigonometrik ilişkilerle verilir; dönüş açısı φ için sin ve cos ilişkileri kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinat ve vektör ifadeleri
- Dikdörtgenin genişliği w=50 cm, yüksekliği h=100 cm olarak alınsın.
- Döndürme açısı \varphi (pozitif alınır). A noktasının yüksekliği y_A.
- A noktasına göre C noktasının başlangıç vektörü \overrightarrow{AC}=(-w,-h). Bu vektör \varphi açısı kadar döndürülünce C’nin dikey bileşeni: -w\sin\varphi - h\cos\varphi. Zemine temas koşulundan:y_A + (-w\sin\varphi - h\cos\varphi)=0buradany_A = w\sin\varphi + h\cos\varphi.
Adım 2 — B noktasının yüksekliği ifadesi
- A’ya göre B’nin başlangıç vektörü \overrightarrow{AB}=(0,-h). Döndürme sonrası B’nin dikey bileşeni -h\cos\varphi. Dolayısıyla B’nin yüksekliği:y_B = y_A - h\cos\varphi.
- Bir önceki eşitliği y_A = w\sin\varphi + h\cos\varphi ile birleştirirsek:y_B = w\sin\varphi.
Adım 3 — Verilen değerleri yerine koyma ve hesaplama
- Verilen y_B=40 cm ve w=50 cm olduğuna göre:\sin\varphi = \frac{y_B}{w} = \frac{40}{50} = 0.8.
- Buradan \cos\varphi = \sqrt{1-0.8^2} = \sqrt{1-0.64} = 0.6.
- A noktasının yüksekliği ifadesine değerler konursa:y_A = w\sin\varphi + h\cos\varphi = 50\cdot 0.8 + 100\cdot 0.6 = 40 + 60.
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Döndürme ve vektör dönüşümü
- Tanım: Bir noktanın bir merkez etrafında döndürülmesi, noktanın konum vektörünün trigonometrik dönüşümü ile bulunur.
- Bu problemde: A merkez alınarak yapılan döndürmede C ve B noktalarının dikey bileşenleri sin ve cos ile ifade edildi.
2. Trigonometrik ilişkiler (sin, cos)
- Tanım: \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1.
- Bu problemde: \sin\varphi B yüksekliğinden elde edildi, \cos\varphi buradan hesaplandı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Açının işaretini karıştırmak
- Yanlış: Döndürmeyi yanlış yönde alıp sin veya cos işaretlerini ters almak.
- Doğru: Açının yönünü tutarlı alıp trigonometrik ifadeleri doğru yerleştirmek.
- Neden yanlış: İşaret hatası yüksekliğin negatif/yanlış çıkmasına sebep olur.
- Düzeltme: Vektör bileşenlerini döndürme matrisine göre açıkça yazın ve zemin koşulunu kullanın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
CEVAP: 100 cm