SORU:
Umut Öğretmen, ABC üçgeninde farklı doğru parçaları boyunca kesim yaparak benzer üçgenler oluşturuyor.
a) kırmızı üçgen için AB ve AC kenarlarında alınan iki nokta arasındaki doğru parçası boyunca,
b) yeşil üçgen için AB ve AC kenarlarında alınan iki noktanın BC’ye paralel olmayan şekilde birleştirilmesiyle,
c) lacivert üçgen için A köşesi ile BC kenarı üzerindeki bir noktayı birleştiren doğru parçası boyunca kesim yapılmasıyla benzer üçgenler nasıl elde edilir ve benzerlik nasıl kurulur?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Üçgenlerde benzerlik için temel kriterler:
- İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ise benzerler (AAA kriteri).
- Bir açı ve bu açıya ait kenarların oranı eşit ise benzerlik sağlanır.
- Paralele kesimlerde ortaya çıkan alt üçgenler orantılı olur ve benzerlik sağlar.
- Paralel olmayan kesimlerde benzerlik açılar kullanılarak yorumlanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a) Kırmızı üçgen için
- Kırmızı üçgende AB ve AC kenarlarında alınan iki nokta (örneğin P ve Q) birleştiriliyor.
- P ve Q noktalarını birleştiren doğru parçası BC’ye paralel olduğunda yeni oluşan üçgen (örn. APQ), ABC üçgenine benzerdir.
- Çünkü paralel doğrular arasında oluşan açılar eşittir (karşılıklı, alternat iç).
- Bu nedenle, üçgenlerde açıların eşit olması (AAA) benzerlik sağlar.
- Çizim: Üçgen ABC ile içinde P ve Q noktalarını birleştirerek P-Q doğrusunu çiziniz.
- Bu alt üçgen ABC’ye benzer olur.
Adım 2 — b) Yeşil üçgen için
- AB ve AC kenarlarında alınan iki nokta BC’ye paralel olmayan şekilde birleştirilmiş.
- Bu durumda oluşan yeni üçgen ABC’ye tam benzer değildir çünkü açılar eşit olmayabilir.
- Ancak, bu üçgenler orantı bakımından benzerlik taşıyabilir (kısmi benzerlik veya doğru oranlarda kenar kullanımı ile).
- Benzerlik, oranlar / açıların kısmi eşitliği veya hipoteze göre özel şekillerle kurulur.
- Çizim: P ve Q noktalarını BC’ye paralel olmayan şekilde birleştirin ve oluşan üçgeni gösterin.
- Benzerlik açıların eşitliği olmadığı için karışık olabilir ama orantı ile açıklanabilir.
Adım 3 — c) Lacivert üçgen için
- A köşesi ile BC kenarı üzerindeki bir noktayı birleştiren doğru parçası boyunca kesim yapılır.
- Bu durumda, oluşan üçgen (örn. ABK veya ACK) ABC üçgenine açı-kenar açısından benzer olur.
- Sebep: Ortak açılar ve ABK ile ABC üçgenlerinde açıların eşit olması.
- Çizim: A noktası ile BC üzerinde bir K noktası alın ve AK doğru parçasını çizin.
- Oluşan üçgen benzerlik koşullarını sağlar.
CEVAP:
a) AB ve AC üzerinde alınan iki nokta birleştirilip BC’ye paralel kesim yapıldığında, alt üçgen ABC ile benzer olur.
b) AB ve AC üzerinde alınan iki nokta BC’ye paralel değilse, oluşan üçgen tam benzerlik sağlamaz; ancak oran ve açı koşullarına göre benzerlik tartışılabilir.
c) A köşesi ile BC üzerindeki bir nokta birleştirilip kesim yapıldığında oluşan üçgen, ABC üçgenine açı-kenar benzerliği sağlar.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
CEVAP:
a) AB ve AC üzerindeki iki nokta birleştirilip oluşturulan doğru parçası BC ile paralel olacak şekilde seçilirse üstte kalan küçük üçgen ABC ile benzer olur.
b) Eğer o doğru parçası BC ile paralel değilse genel durumda benzer bir üçgen elde edilemez (istisnai olarak noktalardan biri B veya C ise triviyel durumlar hariç).
c) A köşesinden BC kenarı üzerindeki herhangi bir D noktasına çizilen doğru parçası boyunca kesinirse oluşan üçgenlerden hem ABD hem de ADC, ABC ile benzer (her iki küçük üçgen de ABC ile açılar bakımından eşleşir).
AÇIKLAMA:
- a) D ve E noktalarını AB ve AC üzerinde öyle seçin ki DE ∥ BC. O zaman ∠A = ∠A (ortak) ve ∠ADE = ∠ABC, ∠AED = ∠ACB (paralel doğruların karşılıklı ve iç ters açıları). Böylece AA benzerliği ile △ADE ∼ △ABC. (Çizimde üstteki küçük üçgen ABC’nin daraltılmış kopyasıdır.)
- b) DE ∥ BC değilse, DE ile kesme sonucu elde edilen üstteki veya alttaki küçük üçgenlerin açıları genellikle ABC’nin açılarıyla eşleşmez; bu yüzden benzerlik sağlanmaz. (Benzerlik için en az iki açının eş olması gerekir; paralellik bu eşliği sağlar, paralellik yoksa eşlik yoktur.)
- c) A ile BC üzerindeki D noktasını birleştirince iki üçgen elde edilir: △ABD ve △ADC. △ABD için ∠A ortak, ∠ABD = ∠ABC (çünkü BD doğrusu BC’nin parçası), dolayısıyla △ABD ∼ △ABC (AA). Benzer şekilde △ADC için ∠A ortak, ∠ACD = ∠ACB olduğundan △ADC ∼ △ABC.
TEMEL KAVRAMLAR:
- AA benzerliği
- Tanım: İki üçgende iki açı eş ise üçgenler benzerdir.
- Bu problemde: Ortak açı ve paralel doğrulardan gelen karşılık açı eşlikleri kullanıldı.
- Paralel doğruların açı ilişkileri
- Tanım: Paralel doğrular bir kesen tarafından kesildiğinde oluşan karşılıklı ve iç ters açılar eşittir.
- Bu problemde: DE ∥ BC olduğunda oluşan açı eşlikleri benzerliği sağladı.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?