Kaykay Pisti için Dikdörtgen Modelleme ve Çit Maliyeti İlişkisi
Önemli Noktalar
- Alanı 30 m² olan bir dikdörtgen pistin kısa ve uzun kenar uzunlukları doğal sayılar olmalıdır.
- Pist çevresi çitlerle çevrilecektir; çitin 1 metre uzunluğunun maliyeti 1125 TL’dir.
- Çevre = 2(kısa kenar + uzun kenar) ve alan = kısa kenar × uzun kenar olarak hesaplanır.
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları ile çit maliyeti doğrusal bir ilişki içindedir.
Alanı 30 m² olan kısa ve uzun kenar uzunluklarını belirlemek için doğal sayı çarpanlarını bulup her kombinasyonun çevresini ve maliyetini hesaplamak gerekir. Böylece en uygun maliyetli pist belirlenir.
İçindekiler
- Alan ve Kenar Uzunlukları Hesaplama
-
- Karşılaştırma Tablosu ve En Ekonomik Seçim
- Kenar Uzunlukları ile Çit Maliyeti İlişkisi
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Alan ve Kenar Uzunlukları Hesaplama
Alan 30 m² olduğuna göre kısa kenar (k) ve uzun kenar (u) doğal sayılar için:
30 sayısının doğal sayı çarpanları şunlardır:
- (1, 30)
- (2, 15)
- (3, 10)
- (5, 6)
Bu çiftler dikdörtgenin kısa ve uzun kenarları olarak düşünülebilir.
Pro Tip: Kısa kenar her zaman küçük olan sayıdır, uzun kenar büyük olan.
2. Çevre ve Çit Maliyeti Hesaplama
Dikdörtgen çevresi:
Çit maliyeti:
Örnek: (k,u) = (5,6) için
3. Karşılaştırma Tablosu ve En Ekonomik Seçim
| Kısa Kenar (m) | Uzun Kenar (m) | Çevre (m) | Çit Maliyeti (TL) |
|---|---|---|---|
| 1 | 30 | 62 | 69,750 |
| 2 | 15 | 34 | 38,250 |
| 3 | 10 | 26 | 29,250 |
| 5 | 6 | 22 | 24,750 |
Tablodan görüldüğü üzere (5,6) en düşük çevre ve maliyete sahiptir.
4. Kenar Uzunlukları ile Çit Maliyeti İlişkisi
- Kenarların toplamı ve dolayısıyla çevre arttıkça çit maliyeti doğrusal olarak artar.
- Daha kompakt (kısa ve uzun kenarlar birbirine yakın) şekiller çevreyi ve maliyeti düşürür.
- Alan sabitken çevreyi minimize etmek maliyet için kritik bir optimizasyondur.
Uyarı: Çok uzun ve çok kısa kenarlar çit maliyetini artırır, maliyet kontrolü için orta yol tercih edilir.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Alan | 30 m² |
| Kenar Çiftleri | (1,30), (2,15), (3,10), (5,6) |
| Çevre Hesabı | C=2(k+u) |
| Çit Maliyeti | M = C \times 1125 TL |
| En Düşük Maliyetli Çift | (5,6) → 24,750 TL |
| İlişki | Kenar toplamı arttıkça maliyet doğrusal artar |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden kenar uzunlukları doğal sayı olmak zorunda?
Proje metriği ve ölçüm birimi tam sayı metre olduğundan, pratikte kaykay pistinin kenarları doğal sayılarla ifade edilir.
2. Çit fiyatı değişirse en uygun seçim değişir mi?
Hayır, fiyat değişse bile çevreye bağlı doğrusal maliyet ilişkisi korunur; en düşük çevreli dikdörtgen her durumda en ekonomik olur.
3. Alan değişirse nasıl bir yol izlenir?
Alan yeni değerine göre doğal sayı çarpanları bulunur ve çevre ile maliyet hesaplanarak optimal seçim yapılır.
4. Çit maliyeti çevreye neden doğrusal bağlı?
Çit uzunluğuna göre alınır; uzunluk arttıkça maliyet orantılı artar (birim fiyat sabittir).
5. Alternatif geometrik şekiller maliyeti etkiler mi?
Evet, farklı şekiller farklı çevre-alan dengesi sağlar; ancak soru dikdörtgen olarak sınırlı.
Sonraki Adımlar
Kenar uzunluklarının değişmesi durumunda otomatik hesaplama yapan bir dinamik matematik modeli oluşturmak ister misiniz?
Alanı 30 m² olan, kenar uzunlukları doğal sayı olan dikdörtgen pistin çit maliyetinin hesaplanması
- Alan formülü x \times y = 30 olacak doğal sayı kenar çiftleri: (1,30),\,(2,15),\,(3,10),\,(5,6).
- Çevre formülü
çit maliyeti formülü
- Minimum maliyet 5 m × 6 m dikdörtgen için gerçekleşir: P=22 m olduğunda M=22\times1125=24750 TL.
Çit maliyeti, çevre uzunluğunun 1 m başına 1125 TL ile çarpılmasıyla bulunur. 30 m²’lik dikdörtgenin doğal sayı kenarları incelendiğinde, kenarlar 5 m ve 6 m olduğunda çevre 22 m, maliyet ise 24750 TL ile en düşük değeri alır.
- Faktör Çiftlerinin Belirlenmesi
- Çevre ve Çit Maliyeti Hesabı
- En Uygun Pist Seçimi
- Özet Tablo
- Sıkça Sorulan Sorular
## 1. Faktör Çiftlerinin Belirlenmesi
Alan $30,$m² olacak şekilde dikdörtgenin kenar uzunlukları x,y\in\mathbb{N} için
denklemine çözüm ararız. 30’un pozitif tam bölen çiftleri:
- (1,30)
- (2,15)
- (3,10)
- (5,6)
Her çiftte küçük olan kısa kenar, büyük olan uzun kenar olarak ele alınır.
## 2. Çevre ve Çit Maliyeti Hesabı
Her dikdörtgen için
özet tablo aşağıdadır:
| Kısa Kenar (m) | Uzun Kenar (m) | Çevre P (m) | Çit Maliyeti M (TL) |
|---|---|---|---|
| 1 | 30 | 2(1+30)=62 | 62\times1125=69750 |
| 2 | 15 | 2(2+15)=34 | 34\times1125=38250 |
| 3 | 10 | 2(3+10)=26 | 26\times1125=29250 |
| 5 | 6 | 2(5+6)=22 | 22\times1125=24750 |
## 3. En Uygun Pist Seçimi
Tablodan görüldüğü gibi en düşük çit maliyeti 24750 TL ile 5 m × 6 m dikdörtgende elde edilir. Bu, kenarlar en yakın değerlere (en kareye benzer) sahip olduğunda çevrenin ve dolayısıyla maliyetin minimuma indiğini gösterir.
Karşılaştırma: En Dengesiz vs En Dengeli
| Özellik | 1 m × 30 m (En Dengesiz) | 5 m × 6 m (En Dengeli) |
|---|---|---|
| Çevre (m) | 62 | 22 |
| Çit Maliyeti (TL) | 69750 | 24750 |
| Kısa Kenar (m) | Uzun Kenar (m) | Çevre (m) | Çit Maliyeti (TL) |
|---|---|---|---|
| 1 | 30 | 62 | 69750 |
| 2 | 15 | 34 | 38250 |
| 3 | 10 | 26 | 29250 |
| 5 | 6 | 22 | 24750 |
## 5. Sıkça Sorulan Sorular
S1: Çit maliyet formülü nedir?
C1: Çevre P=2(x+y) olarak bulunur, maliyet M=P\times1125 TL’dır.
S2: En uygun dikdörtgen nasıl seçilir?
C2: Kenarlar arasındaki fark ne kadar azsa çevre o kadar küçük olur; en dengeli (kareye yakın) kombinasyon seçilir.
S3: Alan değeri farklı olsa nasıl tablo oluştururum?
C3: Önce x\cdot y=\text{alan} denkleminin doğal sayı çözümlerini bulun, sonra her çift için çevre ve maliyeti hesaplayın.
S4: Eğer tam kare alan olsaydı çevre nasıl değişirdi?
C4: Kare formu (örneğin 36 m² için 6×6) çevreyi minimuma indiren ideal şekildir; 30 m²’de tam kare mümkün değildir.
Başka bir alan değeri için benzer bir tablo oluşturup en uygun çit maliyetini hesaplamak ister misiniz?
@Esra_Akdeniz1