Resimli Soru 19-02-2026 19:46:00

YKS TYT
1

image
image720×960 38.8 KB

2

Resimli Soru Çözümleri

Önemli Noktalar

  • Güvenlik şeridi 46 metre uzunluğunda dikdörtgen şeklindedir
  • Dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayılardır
  • Alanın en fazla olması için kenarların çarpımı maksimize edilmelidir
  • Kapların taban alanı hesaplanır, boya alanı taban alanının 15 katıdır
  • Verilen sorular alan, çevre ve sayı kısıtları kullanılarak çözülür

İçindekiler

  1. 1. Soru: Güvenlik Şeridi ve Hasar Görmüş Alan
  2. 2. Soru: Boya ve Kap Alanları Problemi
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

1. Soru: Güvenlik Şeridi ve Hasar Görmüş Alan

Bir dikdörtgenin çevresi 46 metredir ve kenar uzunlukları doğal sayılardır.
Çevre formülü:

P = 2 (a + b) = 46 \implies a + b = 23

Burada a ve b doğal sayılar. Alanı maksimize etmek için a ve b’nin mümkün olduğunca birbirine yakın olması gerekir.

  • Olası çiftler: (11,12), (10,13), (9,14), …
  • Alanlar sırasıyla: 132, 130, 126, …

En büyük alan 132 m² (11x12) olur.

Cevap: C) 132

:light_bulb: Pro Tip: Dikdörtgenin en büyük alanı, sabit bir çevre için kenarların birbirine en yakın olduğu durumda oluşur.

2. Soru: Boya ve Kap Alanları Problemi

Kapların taban alanları:

    1. kap: 4m x 2m = 8 m²
    1. kap: 3m x 3m = 9 m²
    1. kap: 5m x 1m = 5 m²

Boya kaplama alanları:

Her boya, kabın taban alanının 15 katı kadar alan boyayabilir.

    1. kap boyası: 8 \times 15 = 120 m²
    1. kap boyası: 9 \times 15 = 135 m²
    1. kap boyası: 5 \times 15 = 75 m²

a) 120 metrekarelik bir duvarı tek renge boyamak isteyen Necati, kaç numaralı kapları seçebilir?

  • Kap yaklaşık boyama alanı:
      1. kap: 120 m² (tam yeterli)
      1. kap: 135 m² (yeterli)
      1. kap: 75 m² (yetersiz)

Cevap: 1 veya 2 numaralı kaplar seçilebilir çünkü 3. kap 120 m²’yi tek başına boyayamaz.

b) Necati, üç kaptaki boyayı kullanarak en fazla kaç metrekare alanı boyayabilir?

  • Toplam boyama alanı = 120 + 135 + 75 = 330 m²

Cevap: 330 m²

c) Necati, 3. kaptaki boyanın tamamını kullanıp, kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgen duvarı boyamıştır. Noktası:

    1. kap boyası 75 m² alan boyayabilir.
  • Dikdörtgenin alanı = 75 m²
  • Kenar uzunlukları doğal sayı olmalı, çarpımları 75 olmalı.

75’in doğal sayı çarpanları:

  • (1,75), (3,25), (5,15), (15,5), (25,3), (75,1)

Çevre hesaplanıyor ve en küçük çevre soruluyor:

Çevre = 2(a+b)

  • (1,75): 2(1+75) = 152 m
  • (3,25): 2(3+25) = 56 m
  • (5,15): 2(5+15) = 40 m

En küçük çevre: 40 metre (5x15 dikdörtgeni)

Cevap: 40 metre

:warning: Uyarı: Özelikle çevreyi minimize etmek için, tüm çarpan çiftlerini deneyip en küçük çevreyi hesaplayın.

Özet Tablo

Soru Konu Sonuç
1 Hasar görmüş alan (dikdörtgen, çevre 46) En fazla alan: 132 m² (11x12)
2a Tek boya ile 120 m² boyama 1. veya 2. kap boya yeterli
2b Üç boya toplam boyama alanı En fazla 330 m²
2c 3. kap boya ile doğal sayılı kenar, alan 75 m² En küçük çevre: 40 m (5x15)

Sık Sorulan Sorular

1. Neden 1. soruda alan en çok kenarlar birbirine yakınken olur?
Sabit çevreye sahip dikdörtgende alan, kenarlar eşit yaklaştıkça maksimum olur. Bu, matematikte geometrinin temel ilkelerindendir.

2. Boya alanı nasıl hesaplanıyor?
Verilen kapların taban alanı hesaplanır ve boyanın boyayabileceği alan, taban alanının 15 katıdır.

3. Dikdörtgenin kenarları neden doğal sayı olmalı?
Soru bunu şart koşuyor; bu nedenle bölünebilen uzunluklar doğal sayı olarak alınır.

Sonraki Adımlar

120 m²’lik başka bir duvar farklı katlarda kaç farklı boya ile boyanabilir diye inceleyelim mi? Yoksa dikdörtgenin alanını ve çevresini optimize eden daha genel yöntemleri anlatmamı ister misiniz?

@Esra_Akdeniz1

3

Resimli Soru 19-02-2026 19:46:00

Önemli Noktalar

  • Hasar gören dikdörtgenin çevresi 2\,(l+w)=46 m ⇒ l+w=23.
  • Sabit l+w için alanı maksimize etmek üzere l\approx w alınır ⇒ 11\times12=132\text{ m}^2.
  • Kap boyalarının boyama kapasitesi: 15\times(\text{taban alanı}).

Direkt Cevap Özeti

Hasar gören bölümün en büyük alanı 132 m²’dir.
Kapasiteler:
1. kap: 15\times(2\times4)=120\text{ m}^2 → 120 m² boyar
2. kap: 15\times(3\times3)=135\text{ m}^2 → 135 m² boyar
3. kap: 15\times(1\times5)=75\text{ m}^2 → 75 m² boyar

a) 120 m²’lik duvar için 1. ve 2. kap
b) Üç kaptaki boya ile en fazla 330 m²
c) 3. kaptaki 75 m² ile doğal sayılı dikdörtgenin en küçük çevresi 40 m

İçindekiler

  1. Birinci Soru Çözümü
  2. İkinci Soru Çözümü
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Birinci Soru Çözümü – Güvenlik Şeridi

Çevre uzunluğu $46,$m olan dikdörtgende

2\,(l+w)=46 \quad\longrightarrow\quad l+w=23.

Alan A(l,w)=l\cdot w sabit toplam l+w=23 iken maksimum, l ile w birbirine en yakın iken olur. Tamsayı çözüm için (l,w)=(11,12) veya (12,11) seçilir.

A_{\max}=11\times12=132\;\text{m}^2.

2. İkinci Soru Çözümü – Boya Kapasitesi

Her kabın taban alanı ve boyama kapasitesi:

  1. kap: Tab. alan $2\times4=8,$m² ⇒ Kapasite $15\cdot8=120,$m²
  2. kap: Tab. alan $3\times3=9,$m² ⇒ Kapasite $15\cdot9=135,$m²
  3. kap: Tab. alan $1\times5=5,$m² ⇒ Kapasite $15\cdot5=75,$m²

a) 120 m²’lik duvarı tek renge boyamak için kapasitesi ≥120 m² olan 1. ve 2. kap seçilir.
b) Üç kaptaki toplam boya ile

120 + 135 + 75 = 330\;\text{m}^2

alan boyanabilir.
c) 3. kaptaki 75 m²’lik boya ile doğal sayılı dikdörtgenler alanı 75 olacak şekilde faktörlere bakarız:
(1,75),(3,25),(5,15). En küçük çevre (5,15) ile

2\,(5+15)=40\;\text{m}.

Özet Tablosu

Soru Veri Hesaplama Sonuç
1 l+w=23 11\times12 $132,$m²
2a Hedef: $120,$m² K1:120, K2:135, K3:75 1 ve 2
2b Toplam kapasite 120+135+75 $330,$m²
2c Alan: $75,$m² En iyi faktör: 5\times15 Çevre $=40,$m

SSS

  1. Perimetre nasıl hesaplanır?
    P=2\,(l+w) formülüyle.
  2. Sabit l+w için maksimum alan nasıl bulunur?
    Kenarlar birbirine yakın olmalı (yakın kare).
  3. Boya kapasitesi nasıl belirlenir?
    Kapasite = 15\times(taban alanı).
  4. Doğal sayı kenarlı dikdörtgenin çevresi nasıl minimumdır?
    Alanın kareköküne yakın faktörler seçilir.

Başka bir dikdörtgen veya boyama problemi üzerinde pratik yapmak ister misiniz?
@Esra_Akdeniz1