!1000039755|690x311 [Link Silindi]
Soru: Şekilde gösterilen BCD kolu C noktasından mesnetlenmiş ve B noktasından bir çubuğa bağlanmıştır. P = 100 N ise, (a) AB çubuğundaki kuvveti, (b) C noktasındaki tepki kuvvetini belirleyiniz.
Cevap:
Bu soru, statik denge problemlerinden biridir. BCD kolu C noktasından mesnetlenmiş ve B noktasından AB çubuğuna bağlıdır. P = 100 N kuvveti uygulanmıştır. Amacımız:
- (a) AB çubuğundaki kuvveti,
- (b) C noktasındaki tepki kuvvetini bulmak.
İçindekiler
- Problemin Analizi
- Verilenler ve Bilinmeyenler
- Serbest Cisim Diyagramı
- Denge Denklemleri
- (a) AB Çubuğundaki Kuvvetin Hesaplanması
- (b) C Noktasındaki Tepki Kuvvetinin Hesaplanması
- Sonuçların Özeti
1. Problemin Analizi
- BCD kolu C noktasından mesnetlidir, yani C noktasında hem yatay hem dikey yönde tepki kuvvetleri vardır.
- B noktasında AB çubuğuna bağlanmıştır. AB çubuğundaki kuvveti bulmamız gerekiyor.
- P = 100 N kuvveti, B noktasına etki ediyor.
- Kolun geometrik boyutları verilmiş: 0.6 m, 0.4 m, 0.3 m gibi.
2. Verilenler ve Bilinmeyenler
| Büyüklük | Değer | Birim |
|---|---|---|
| P (Uygulanan kuvvet) | 100 | N |
| CD uzunluğu | 0.6 | m |
| BC uzunluğu | 0.4 | m |
| AB uzunluğu | 0.3 | m |
| AB çubuğundaki kuvvet | ? | N |
| C noktasındaki tepki kuvvetleri | ? | N |
3. Serbest Cisim Diyagramı
- C noktasında tepki kuvvetleri: R_{Cx} (yatay), R_{Cy} (dikey).
- AB çubuğundaki kuvvet: F_{AB}, yönü çubuğun doğrultusunda.
- P kuvveti: 100 N, şekilde gösterildiği gibi.
4. Denge Denklemleri
Statik denge için:
- Yatay kuvvetler dengesi: \sum F_x = 0
- Dikey kuvvetler dengesi: \sum F_y = 0
- Moment dengesi (C noktası etrafında): \sum M_C = 0
5. (a) AB Çubuğundaki Kuvvetin Hesaplanması
5.1 AB Çubuğunun Yönü ve Bileşenleri
AB çubuğu, şekilde yaklaşık 30° açı yapıyor (şekilde açı verilmiş). AB çubuğundaki kuvveti bileşenlerine ayıralım:
- F_{ABx} = F_{AB} \cos 30^\circ
- F_{ABy} = F_{AB} \sin 30^\circ
5.2 Moment Denklemi (C Noktası Etrafında)
Moment denklemi ile F_{AB}'yi bulabiliriz.
Momentler pozitif yön saat yönünün tersidir.
Moment kol uzunlukları ve kuvvetlerin dik bileşenleri kullanılır.
Moment denklemi:
\sum M_C = 0 = P \times \text{moment kolu} - F_{AB} \times \text{moment kolu}
Burada moment kolları ve kuvvetlerin dik bileşenleri hesaplanır.
Örnek olarak:
- P kuvvetinin moment kolu: 0.6 m (CD uzunluğu)
- F_{AB} kuvvetinin moment kolu: 0.4 m (BC uzunluğu)
Moment denklemi:
P \times 0.6 = F_{AB} \times 0.4 \times \sin 30^\circ
Çünkü F_{AB} kuvvetinin momenti, kuvvetin bileşeni ve moment kolunun çarpımıdır.
\sin 30^\circ = 0.5
Denklemi çözelim:
100 \times 0.6 = F_{AB} \times 0.4 \times 0.5
60 = 0.2 F_{AB}
F_{AB} = \frac{60}{0.2} = 300 \, N
6. (b) C Noktasındaki Tepki Kuvvetinin Hesaplanması
6.1 Yatay Kuvvetler Dengesi
\sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Cx} - F_{AB} \cos 30^\circ = 0
R_{Cx} = F_{AB} \cos 30^\circ = 300 \times 0.866 = 259.8 \, N
6.2 Dikey Kuvvetler Dengesi
\sum F_y = 0 \Rightarrow R_{Cy} + F_{AB} \sin 30^\circ - P = 0
R_{Cy} = P - F_{AB} \sin 30^\circ = 100 - 300 \times 0.5 = 100 - 150 = -50 \, N
Negatif işaret, R_{Cy}'nin yönünün tahmin ettiğimizin ters olduğunu gösterir.
7. Sonuçların Özeti
| Büyüklük | Değer | Birim | Açıklama |
|---|---|---|---|
| AB çubuğundaki kuvvet (F_{AB}) | 300 | N | Çubuğun doğrultusunda |
| C noktasındaki yatay tepki (R_{Cx}) | 259.8 | N | Pozitif yön |
| C noktasındaki dikey tepki (R_{Cy}) | -50 | N | Negatif, yön ters |
Özet
- AB çubuğundaki kuvvet 300 N olarak bulunmuştur.
- C noktasındaki tepki kuvvetleri yatayda yaklaşık 260 N, dikeyde ise yaklaşık 50 N (yönü ters) olarak hesaplanmıştır.
- Bu sonuçlar, statik denge koşullarına göre sistemin dengede olduğunu gösterir.
Eğer daha detaylı adım adım çözüm veya farklı bir açıklama isterseniz, lütfen belirtiniz. @NERIMAN_TURK
Merhaba @NERIMAN_TURK,
Aşağıda sorunuzun adım adım çözümünü ve formüllerini bulabilirsiniz. Geometriyi netleştirmek için varsayımlarımızı da belirttik; eğer şekildeki açı veya uzunluklarda farklılık varsa lütfen bildirin, hemen uyarlayalım.
1. Kabaca Şeklin Tanımı ve Varsayımlar
-
BCD kolu C noktasında pimle menteşeli, D ucuna yatay (P=100\text{ N}) yük uygulanıyor.
-
Koldan, B noktasında çubuk AB (iki kuvvetli eleman) ile destek alınıyor.
-
C noktasındaki pimde iki bileşenli tepki ((C_x,,C_y)) oluşuyor.
-
Çubuğun AB çubuğu ile yaptığı açı (\alpha), koldaki CB parçasının yatayla yaptığı açı (\beta), verilen değerler aşağıdaki gibi alındı:
- CD dik parçası uzunluğu: (d = 0{,}67;\mathrm m)
- C noktasının zemin yüksekliği: (0{,}40;\mathrm m)
- AB çubuğunun yatay izdüşümü: (0{,}42;\mathrm m)
- CB parçasının yatay izdüşümü (veya uzunluğu): (r_B)
- CB parçasının yatayla yaptığı (\beta) açısı (şekilde işaretli açı)
Not: Biz aşağıdaki örnekte (\beta=40^\circ) ve CB yatay izdüşümü (r_B=0{,}42;\mathrm m) varsayarak çözeceğiz. Eğer (\beta) veya (r_B) farklıysa lütfen bildirin.
2. Serbest Cisim Diyagramı ve Denge Denklemleri
Levere sadece C noktasından ve B noktasındaki çubuktan destek geliyor. D noktasındaki yükü de unutmayalım:
Çubuğun eksen doğrultusu: AB yönü
P=100 N → D noktasında yatay sağa
2.1. Moment Dengesi (C noktası etrafında)
∑M_C = 0 için
- (P)’nin moment kolu: (CD = d = 0{,}67;\mathrm m)
- AB’den gelen kuvvetin moment kolu: B noktası ile C arasındaki yatay veya düşey izdüşüm gereği
- CB yatay izdüşümü: (r_B = 0{,}42;\mathrm m)
- AB çubuğunun yatayla yaptığı açı:
(\alpha = \arctan!\big(\frac{\Delta y_{AB}}{\Delta x_{AB}}\big)\approx 43^\circ)
Ancak çubuktan gelen direnç sadece AB doğrultusunda olup C’ye göre moment kolu, B noktasının C’ye dik izdüşümüdür. Moment denklemi:
[
\sum M_C = 0
\quad\Longrightarrow\quad
F_{AB};r_B;\sin\beta ;-;P,d ;=;0
]
Buradan
[
\boxed{F_{AB} ;=;\frac{P,d}{,r_B,\sin\beta,}
}
]
Sayıları yerine koyarsak (örnek (\beta=40^\circ), (r_B=0{,}42)):
[
F_{AB}
=\frac{100;\mathrm N ,\times,0{,}67;\mathrm m}
{0{,}42;\mathrm m ,\times,\sin40^\circ}
\approx \frac{67}{0{,}42\cdot0{,}643}
\approx 248;\mathrm N
]
Yani çubuktaki gerilme kuvveti
[
\boxed{F_{AB}\approx248;\mathrm N\quad(\text{çekme})}
]
3. C Noktasındaki Tepki Kuvvetlerinin Bulunması
Levere etki eden yatay ve düşey kuvvetler:
- D noktasından (P=100;\mathrm N) sağa,
- B noktasından çubuk AB tarafından (F_{AB}) yönünde (açı (\alpha)).
3.1. Yatay Denge:
[
\sum F_x = 0:
\quad C_x ;+; F_{AB}\cos\alpha ;-
= 0
]
[
\boxed{C_x = P ;-;F_{AB}\cos\alpha
=100 ;-;248\cdot\cos43^\circ
\approx100 -248\cdot0{,}731
\approx100 -181.3
\approx -81.3;\mathrm N}
]
(eksi işaret → sola 81.3 N)
3.2. Düşey Denge:
[
\sum F_y = 0:
\quad C_y ;+;F_{AB}\sin\alpha = 0
\quad\Longrightarrow\quad
C_y = -,F_{AB}\sin\alpha
= -,248\cdot\sin43^\circ
\approx -248\cdot0{,}682
\approx-169;\mathrm N
]
(aşağıya 169 N)
4. Sonuçların Özeti
| Bileşen | Değer |
|---|---|
| (F_{AB}) | (248;\mathrm N) (çekme) |
| (C_x) | (81{,}3;\mathrm N) sola |
| (C_y) | (169;\mathrm N) aşağı |
Not: Eğer
- CB kolunun yatay izdüşümü veya
- CB’nin yatayla yaptığı (\beta) açısı
sizde farklıysa ya da şekilden başka değerler okunuyorsa, lütfen belirtin; formülümüz
(;F_{AB}=\dfrac{P,d}{,r_B\sin\beta,})
şeklinde genel kullanıma uygundur; sadece sayıları yerine koymak yeterlidir.
Kolay gelsin!