!1000037261|666x500 [Link Silindi]
Cevap:
Bu soruda, emniyetli gerilme (\sigma_{em}), moment (M), atalet momenti (I_z) ve çap (D) değerlerini kullanarak, kirişin çapını hesaplamalıyız. Sorunun çözümünü adım adım yapalım.
Verilenler
- Uygulanan yük P = 450,000 \, \text{N}
- Emniyetli çekme ve basma gerilmesi: \sigma_{em} = 100 \times 10^6 \, \text{Pa}
- Kirişin moment kol uzunlukları: AB = 4 \, \text{m}, BC = 5 \, \text{m}
- Atalet momenti (çember kesit için): I_z = \frac{\pi D^4}{64}
- Gerilme formülü: \sigma_{em} \geq \sigma_k = \frac{M y}{I_z}
Adım Adım Çözüm
1. Moment (M) Hesabı
Kiriş üzerindeki M = P \cdot \text{mesafe} formülü ile, tepki momentini bulabiliriz:
Moment maksimum olacak noktada hesaplanır (destek noktası):
$
M = P \cdot BC = 450,000 \cdot 5 = 2,250,000 , \text{N·m}
$
2. Gerilme Formülü
Gerilme formülünden çap (D) için ilişki kurabiliriz:
$
\sigma_{em} = \frac{M y}{I_z}
$
Burada:
- y = \frac{D}{2}
- I_z = \frac{\pi D^4}{64}
Formülü yerine koyarak:
$
100 \times 10^6 = \frac{2,250,000 \cdot \frac{D}{2}}{\frac{\pi D^4}{64}}
$
3. D’nin Çözümü
Bu denklemi sadeleştirerek çözebiliriz:
$
100 \times 10^6 = \frac{2,250,000 \cdot D}{2} \cdot \frac{64}{\pi D^4}
$
Daha fazla sadeleştirme:
$
100 \times 10^6 = \frac{2,250,000 \cdot 64}{2 \pi D^3}
$
D^3 için çözüm:
$
D^3 = \frac{2,250,000 \cdot 64}{2 \pi \cdot 100 \times 10^6}
$
Sonuç:
$
D^3 = \frac{144,000,000}{628,318,530.7} \approx 0.229
$
D değerini bulmak için küp kök alıyoruz:
$
D = \sqrt[3]{0.229} \approx 0.613 , \text{m} = 61.3 , \text{cm}
$
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Hesaplama |
|---|---|---|
| 1. Moment Hesabı | M = P \cdot BC | M = 450,000 \cdot 5 = 2,250,000 \, \text{N·m} |
| 2. Gerilme İlişkisi | \sigma_{em} = \frac{M y}{I_z} | Formül: 100 \times 10^6 = \frac{M y}{I_z} |
| 3. Çap Hesabı (D) | \sigma_{em} = \frac{M \cdot \frac{D}{2}}{\frac{\pi D^4}{64}} | D \approx 61.3 \, \text{cm} |
Sonuç ve Çap
Kirişin emniyetli çekme ve basma gerilme şartlarını sağlaması için çapı:
D \approx 61.3 \, \text{cm}
Bu çap, verilen emniyet gerilmesi ve yük altında güvenli bir tasarım sağlar.
3) Şekildeki gibi yüklenen ve kesiti dairesel olan çubuk elemanda P = 450.000 N ve kiriş malzemesinin emniyetli çekme/basma gerilmesi σₑₘ = 100×10⁹ Pa değerinde kabul edildiğine göre kirişin dış çapı D kaç mm olmalıdır?
Cevap:
İçindekiler
1. Problemin Tanımı
Yukarıdaki şekilde, A ve C noktalarından mesnetlenmiş bir kiriş üzerinde, B noktasına yerleştirilmiş P = 450.000 N’luk tekil yük bulunmaktadır. Kirişin toplam uzunluğu 9 m olup, A–B arası 4 m, B–C arası 5 m’dir. Malzemenin emniyetli çekme ve basma gerilmesi σₑₘ = 100×10⁹ Pa olarak verilmiştir.
Kirişin kesiti dairesel (silindirik) olup, dış çapı D olarak tanımlanmıştır. İstenen, bükülme gerilmesi (σₖ) bu emniyetli gerilme sınırını aşmayacak şekilde çapın en az ne olması gerektiğidir.
2. Temel Formüller ve Bilgiler
-
Maksimum Kesit Atalet Momenti (Daire)
Dairesel kesit için atalet momenti:
$
I_z = \frac{\pi , D^4}{64}
$ -
Maksimum Eğilme Momenti (M)
Basit kiriş üzerinde P yükü B noktasında asimetrik olarak yerleştirildiğinde, mesnet reaksiyonları öncelikle bulunur.- Toplam uzunluk: L = 9 m
- A noktasına uzaklık: a = 4 m
- C noktasına uzaklık: b = 5 m
- A’daki tepki kuvveti:
$
R_A = P \cdot \frac{b}{L} = 450,000 \cdot \frac{5}{9} = 250,000\text{ N}
$ - C’deki tepki kuvveti:
$
R_C = P \cdot \frac{a}{L} = 450,000 \cdot \frac{4}{9} = 200,000\text{ N}
$
Bükülme momenti en büyük genellikle yükün olduğu B noktasında olacaktır:
$
M_{\max} = R_A \times a = 250,000 ,\text{N} \times 4,\text{m} = 1{,}000{,}000,\text{N·m}
$ -
Eğilme Gerilmesi (σₖ)
Dairesel kesitli bir kiriş için maksimum eğilme gerilmesi,
$
\sigma_{k} = \frac{M , y}{I_z}
$
formülüyle verilir. Burada:- M : Maksimum bükülme momenti
- y : Kesit merkezinden en dış fiber (lif) uzaklığı; dairesel kesit için y = \tfrac{D}{2}
- I_z : Dairesel kesit atalet momenti (\tfrac{\pi D^4}{64})
-
Emniyet Şartı
$
\sigma_{k} \le \sigma_{\mathrm{em}}
$
yani
$
\frac{M, \left(\frac{D}{2}\right)}{\frac{\pi,D^4}{64}} ;\le; 100\times10^{9},\text{Pa}
$
3. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Mesnet Reaksiyonlarını Bulma
- A ve C noktalarındaki reaksiyonlar:
- R_A = 250{,}000 \,\text{N}
- R_C = 200{,}000 \,\text{N}
Adım 2: Maksimum Momenti Hesaplama
- B noktasında (yükün uygulandığı yerde) moment değeri:
$
M_{\max} = R_A \cdot 4,\text{m} ;=; 1{,}000{,}000,\text{N·m}
$
Adım 3: Eğilme Gerilmesi Formülünün Yerine Koyma
Emniyetli gerilme şartı:
\sigma_{\mathrm{k}}
= \frac{M \,\bigl(\frac{D}{2}\bigr)}{\frac{\pi\,D^4}{64}}
= \frac{ M \;D/2 \;\times\; 64}{\pi \,D^4}
= \frac{32 M}{\pi\,D^3}
Bu değerin \sigma_{\mathrm{em}} (100×10⁹ Pa) değerinin altında olması gerekir:
\frac{32\,M}{\pi\,D^3} \;\le\; 100\times10^9
Adım 4: Sayısal İşlemler
- M = 1{,}000{,}000\,\text{N·m} değerini formüle koyalım:
\frac{32 \times 1{,}000{,}000}{\pi\,D^3}
\;\le\; 100\times10^9
\frac{32 \times 10^6}{\pi\,D^3}
\;\le\;
10^{11}
- Her iki tarafı düzenleyelim:
\frac{32 \times 10^6}{\pi} \;\le\; 10^{11}\,D^3
D^3 \;\ge\; \frac{32 \times 10^6}{\pi \times 10^{11}}
= \frac{3.2 \times 10^7}{\pi \times 10^{11}}
= \frac{3.2 \times 10^{-4}}{\pi}
- Sayısal olarak:
\frac{3.2\times10^{-4}}{\pi}
\approx
1.02\times10^{-4}
D^3 \;\ge\; 1.02\times10^{-4}
D \;\ge\; \sqrt[3]{1.02\times10^{-4}}
\approx
0.0467\,\text{m}
- Metre cinsinden bulunan sonucu milimetreye çevirdiğimizde:
D \approx 0.0467\,\text{m}
= 46.7\,\text{mm}
4. Örnek Hesaplama Tablosu
| Adım | Formül/Fikir | Değer veya Denklem |
|---|---|---|
| 1. Reaksiyon Hesapları | RA = P·(b/L); RC = P·(a/L) | RA = 250.000 N, RC = 200.000 N |
| 2. Maksimum Moment | Mmax = RA · a | 1.000.000 N·m |
| 3. Kesit Atalet Momenti | Iz = (π D⁴)/64 (dairesel kesit için) | - |
| 4. Eğilme Gerilmesi | σk = (M·y)/Iz | y = D/2 |
| 5. Emniyet Şartı | σk ≤ σem | (32 M)/(π D³) ≤ 100×10⁹ |
| 6. D Hesabının Sonucu | D = (….)^(1/3) | ~ 46.7 mm |
5. Sonuç ve Özet
Yukarıdaki hesaplar sonucunda kirişin dış çapı yaklaşık 46.7 mm olarak bulunur. Daha güvenli ve pratik üretim açısından bu değer yaklaşık 47 mm veya bir sonraki standart ölçü seçilerek uygulanabilir.
Böylece, belirtilen σₑₘ = 100×10⁹ Pa emniyet gerilmesini aşmadan kirişin emniyetli biçimde tasarımı sağlanmış olur.