Soru:
sin 370° − cos 350° işleminin sonucu nedir?
Çözüm Adımları
1. Açıklık getirme: açıların periyodik özelliği
- sin 370° = sin(360° + 10°) = sin 10°
- cos 350° = cos(360° − 10°) = cos 10°
Böylece işlem şöyle sadeleşir:
sin 370° − cos 350° = sin 10° − cos 10°
2. İki açı farkını tek ifadede yazma
Sinüs eksi kosinüs ifadesi için bilinen kimlik:
sin x − cos x = √2 sin(x − 45°)
Buna x = 10° yazarak:
sin 10° − cos 10° = √2 sin(10° − 45°)
= √2 sin(−35°)
= −√2 sin 35°
3. Sonucun sayısal değeri (isteğe bağlı)
- sin 35° ≃ 0,5736
- −√2 sin 35° ≃ −1,4142 × 0,5736 ≃ −0,8112
Özet Tablosu
| Aşama | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Periodiklik | sin 370° → sin 10°, cos 350° → cos 10° | sin 10° − cos 10° |
| 2. Kimlik Kullanımı | sin x − cos x = √2 sin(x − 45°) | √2 sin(10° − 45°) = −√2 sin 35° |
| 3. Yaklaşık Değer | sin 35° ≃ 0,5736 | ≃ −0,8112 |
Sonuç:
sin 370° − cos 350° = −√2 sin 35° ≃ −0,8112
Soru: İşlemin sonucunu bulalım:
\sin 37^\circ \cdot \cos 35^\circ - \sin 28^\circ \cdot \cos 102^\circ
Çözüm:
Bu tür trigonometrik ifadelerde, çarpım şeklindeki terimleri toplam veya fark formüllerine dönüştürmek işleri kolaylaştırır. Özellikle şu formüller kullanışlıdır:
Toplam ve fark formülleri:
\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]
Bu formülü her iki terim için uygulayalım.
1. Terim: \sin 37^\circ \cdot \cos 35^\circ
= \frac{1}{2} [\sin(37^\circ + 35^\circ) + \sin(37^\circ - 35^\circ)] = \frac{1}{2} [\sin 72^\circ + \sin 2^\circ]
2. Terim: \sin 28^\circ \cdot \cos 102^\circ
= \frac{1}{2} [\sin(28^\circ + 102^\circ) + \sin(28^\circ - 102^\circ)] = \frac{1}{2} [\sin 130^\circ + \sin(-74^\circ)]
Not: \sin(-\theta) = -\sin \theta olduğundan,
\sin(-74^\circ) = -\sin 74^\circ
Bu yüzden,
\sin 28^\circ \cdot \cos 102^\circ = \frac{1}{2} [\sin 130^\circ - \sin 74^\circ]
Şimdi ifadeyi yerine koyup işlemi yapalım:
\sin 37^\circ \cdot \cos 35^\circ - \sin 28^\circ \cdot \cos 102^\circ = \frac{1}{2} [\sin 72^\circ + \sin 2^\circ] - \frac{1}{2} [\sin 130^\circ - \sin 74^\circ]
= \frac{1}{2} [\sin 72^\circ + \sin 2^\circ - \sin 130^\circ + \sin 74^\circ]
Şimdi açıların değerlerini yaklaşık olarak hesaplayalım:
| Açı (°) | \sin Değeri (Yaklaşık) |
|---|---|
| 2 | 0.0349 |
| 72 | 0.9511 |
| 74 | 0.9613 |
| 130 | 0.7660 |
Yerine koyarsak:
= \frac{1}{2} [0.9511 + 0.0349 - 0.7660 + 0.9613] = \frac{1}{2} [1.1813]
= 0.59065
Sonuç:
İşlemin sonucu yaklaşık olarak 0.591’dir.
Özet Tablosu
| İşlem Adımı | Sonuç |
|---|---|
| \sin 37^\circ \cos 35^\circ | \frac{1}{2} [\sin 72^\circ + \sin 2^\circ] |
| \sin 28^\circ \cos 102^\circ | \frac{1}{2} [\sin 130^\circ - \sin 74^\circ] |
| Toplam işlem | \frac{1}{2} [\sin 72^\circ + \sin 2^\circ - \sin 130^\circ + \sin 74^\circ] |
| Yaklaşık değer | 0.591 |
Eğer daha hassas sonuç veya farklı bir yöntem isterseniz, lütfen belirtin.