!IMG_9630|690x490 [Link Silindi]
Soru:
Aşağıdaki ifadenin hangi seçeneğe eşit olduğunu bulunuz.
**
[
\frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x} ;+; \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}
]
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) (\displaystyle \frac{1}{\sin x - \cos x})
B) (\displaystyle \frac{1}{\cos x - \sin x})
C) (\displaystyle \frac{1}{\cos x + \sin x})
D) (1 + \tan x)
E) (1 + \cot x)
**
Table of Contents
- İfade ve Seçenekler
- Adım Adım Çözüm
2.1 Birinci Terimin Sadeleştirilmesi
2.2 Payda Açılımı ve Ortak Payda
2.3 Toplama ve Sonucun Bulunması - Temel Trigonometrik Kimlikler
- Sonuç ve Doğru Seçenek
- Sıkça Sorulan Sorular
- Özet Tablo
1. İfade ve Seçenekler
İncelenecek ifade:
[
E = \frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x} ;+; \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}
]
Şıklar:
| Şık | İfade |
|---|---|
| A | (\displaystyle \frac{1}{\sin x - \cos x}) |
| B | (\displaystyle \frac{1}{\cos x - \sin x}) |
| C | (\displaystyle \frac{1}{\cos x + \sin x}) |
| D | (1 + \tan x) |
| E | (1 + \cot x) |
2. Adım Adım Çözüm
2.1 Birinci Terimin Sadeleştirilmesi
İlk terim:
[
T_1 = \frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x}
]
Bilindiği gibi
[
1 - \tan^2 x ;=;\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}
]
olduğundan
[
T_1
=;(\sin x + \cos x);\times;\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}
=;\frac{(\sin x + \cos x),\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}.
]
2.2 Payda Açılımı ve Ortak Payda
(\cos^2 x - \sin^2 x) ifadesi,
[
\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x),(\cos x + \sin x)
]
şeklinde çarpanlara ayrılır.
Buna göre
[
T_1
=;\frac{\cos^2 x;(\sin x + \cos x)}{(\cos x - \sin x),(\cos x + \sin x)}
=;\frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x}
\qquad (\sin x + \cos x \text{ sadeleşti}).
]
İkinci terim ise doğrudan:
[
T_2 = \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}.
]
2.3 Toplama ve Sonucun Bulunması
Her iki terimin de paydası artık ((\cos x - \sin x)) olduğuna göre:
[
E = T_1 + T_2
= \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x} + \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}
= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos x - \sin x}.
]
Ünlü kimlik: (\cos^2 x + \sin^2 x = 1) olduğundan
[
E = \frac{1}{\cos x - \sin x}.
]
3. Temel Trigonometrik Kimlikler
| Kimlik | Açıklama |
|---|---|
| (\sin^2 x + \cos^2 x = 1) | Birim çember denklemi. |
| (1 - \tan^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}) | (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}). |
| (\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x) | Çift açı formülü. |
| (\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)) | Çarpanlara ayırma. |
4. Sonuç ve Doğru Seçenek
Yaptığımız adımlar sonucunda ifadenin (\displaystyle \frac{1}{\cos x - \sin x}) değerine eşit olduğu görülmüştür. Bu da B şıkkına karşılık gelmektedir.
5. Sıkça Sorulan Sorular
- Neden (\cos^2 x - \sin^2 x) ifadesini çarpanlara ayırdık?
– Paydayı ortak payda elde etmek ve sadeleştirmek için çarpanlara ayırma kullanıldı. - (\tan^2 x) neden (\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}) olarak alındı?
– Tanjant tanımı: (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}). - Sadeleştirme sırasında hangi adımlara dikkat edilmeli?
– Pay ve payda sıfır yapacak açı değerlerinden kaçınılmalı; (\cos x + \sin x \neq 0) koşulu göz önünde bulundurulmalı.
6. Özet Tablo
| Adım | İşlem |
|---|---|
| 1. | (;1 - \tan^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}) yazıldı. |
| 2. | Birinci terim (\frac{(\sin x + \cos x)\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}) oldu. |
| 3. | (\cos^2 x - \sin^2 x) çarpanlara ayrılarak ortak payda bulundu. |
| 4. | (\cos^2 x + \sin^2 x = 1) kullanılarak toplam sadeleştirildi. |
| Sonuç | (\displaystyle \frac{1}{\cos x - \sin x}) (B şıkkı) |
Doğru cevap: B) (\displaystyle \frac{1}{\cos x - \sin x}).
Soru:
\frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözüm:
İfadeyi adım adım sadeleştirelim.
1. İlk kesri sadeleştirme:
\frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x}
Hatırlayalım ki:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
Böylece payda:
1 - \tan^2 x = 1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}
İlk kesri yazalım:
\frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x} = \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}} = (\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}
2. İkinci kesri yazalım:
\frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}
3. İfadeyi birleştirelim:
Toplam ifade:
(\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}
4. Paydaları ortak hale getirelim:
Paydalar:
- Birinci kesrin paydası: \cos^2 x - \sin^2 x
- İkinci kesrin paydası: \cos x - \sin x
Hatırlayalım ki:
\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)
Bu durumda ortak payda olarak
(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)
alabiliriz.
5. Kesirleri ortak paydada yazalım:
İlk kesir zaten paydası (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) şeklinde:
(\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos^2 x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = \frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}
İkinci kesri ortak paydada yazmak için pay ve paydayı (\cos x + \sin x) ile çarparız:
\frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \frac{\sin^2 x (\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}
6. Toplam ifade:
\frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x + \sin^2 x (\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}
Pay kısmını açalım:
(\sin x + \cos x) \cos^2 x + \sin^2 x (\cos x + \sin x) = \sin x \cos^2 x + \cos x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x + \sin^3 x
Yani:
= \sin x \cos^2 x + \cos^3 x + \sin^2 x \cos x + \sin^3 x
7. Terimleri gruplayalım:
= \cos^3 x + \sin^3 x + \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x
Burada \cos^3 x + \sin^3 x ifadesini açalım:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Yani:
\cos^3 x + \sin^3 x = (\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x)
Ama \cos^2 x + \sin^2 x = 1, o halde:
\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x = 1 - \cos x \sin x
Yani:
\cos^3 x + \sin^3 x = (\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x)
8. Diğer terimler:
\sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x = \sin x \cos x (\cos x + \sin x)
9. Payı tekrar yazalım:
(\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x) + \sin x \cos x (\cos x + \sin x) = (\cos x + \sin x)[1 - \cos x \sin x + \sin x \cos x]
Burada - \cos x \sin x + \sin x \cos x = 0, o halde:
(\cos x + \sin x) \cdot 1 = \cos x + \sin x
10. Sonuç:
Toplam ifade:
\frac{\cos x + \sin x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = \frac{1}{\cos x - \sin x}
Cevap:
B şıkkı:
\boxed{
\frac{1}{\cos x - \sin x}
}
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | İlk kesrin payda sadeleştirildi | \frac{\sin x + \cos x}{1 - \tan^2 x} = (\sin x + \cos x) \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x} |
| 2 | İkinci kesir yazıldı | \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x} |
| 3 | Paydalar ortak paydada toplandı | (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) |
| 4 | Pay kısmı açıldı ve terimler gruplandı | \cos^3 x + \sin^3 x + \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x |
| 5 | Kübik terimler açıldı ve diğer terimlerle toplandı | (\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x) + \sin x \cos x (\cos x + \sin x) |
| 6 | Pay sadeleşti | \cos x + \sin x |
| 7 | Sonuç sadeleştirildi | \frac{1}{\cos x - \sin x} |