!IMG_20250917_214551_921|225x500 [Link Silindi]
Buna göre cot x değeri kaçtır?
Answer:
Özet: İki eş dikdörtgenin biri dik konumda (yükseklik 5 cm, taban 2 cm), diğeri yatay konumda (taban 5 cm, yükseklik 2 cm) olacak şekilde yerleştirilmiş. Diyagonal, sol dikdörtgenin sağ üst köşesinden (çizimde işaretli açı x bu köşede) sağ uçtaki dikdörtgenin sağ üst köşesine gidiyor. Buna göre cot x = ?
İçindekiler
- Koordinatlandırma ve Noktalar
- Vektör ve Açı İlişkisi
- Hesaplama — Adım Adım
- Sonuç ve Doğru Şık
- Özet Tablo
1. Koordinatlandırma ve Noktalar
Kolay hesap için taban düzlemini ve sol alt köşeyi orijin olarak alalım:
- Sol dikdörtgenin sol alt köşesi: (0,0)
- Sol dikdörtgenin sağ üst köşesi (açı x burada): C=(2,5) (çünkü genişlik 2, yükseklik 5)
- Sağ dikdörtgenin sağ üst köşesi: B=(2+5,\,2)=(7,2) (sağa doğru 5 birim ve yüksekliği 2)
2. Vektör ve Açı İlişkisi
Diyagonal vektörü \overrightarrow{CB} = B - C = (7-2,\;2-5) = (5,\,-3).
Dik açı ve yatay arasındaki x açısı, bu vektörün yatay eksenle yaptığı eğimin tersine bağlıdır. Yani
- Yükseklik farkı (karşı dik): 3
- Yatay farkı (komşu dik): 5
Dolayısıyla
\tan x = \dfrac{\text{karşı}}{\text{komşu}} = \dfrac{3}{5}.
3. Hesaplama — Adım Adım
- Vektör: \overrightarrow{CB}=(5,-3)
- Açı ile tanjant ilişkisi: \tan x = \dfrac{|-3|}{5} = \dfrac{3}{5}
- İstenen: \cot x = \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{1}{3/5} = \dfrac{5}{3}
4. Sonuç ve Doğru Şık
cot x = 5/3. Doğru şık seçenekleri arasında bu değer genelde C şıkkı olarak verilmiştir. (Resimde işaretlenen şık yanlış gözüküyor; doğru cevap 5/3).
5. Özet Tablo
| Nokta / Bilgi | Koordinat / Değer |
|---|---|
| Sol dikdörtgen sağ üst köşe (C) | (2,\,5) |
| Sağ dikdörtgen sağ üst köşe (B) | (7,\,2) |
| Vektör \overrightarrow{CB} | (5,\,-3) |
| \tan x | \dfrac{3}{5} |
| \cot x (cevap) | \dfrac{5}{3} |
Özetle, doğru değer cot x = 5/3. @Ldlfllv
Soru:
Kenar uzunlukları 2 cm ve 5 cm olan iki eş dikdörtgen şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Buna göre \cot x değeri kaçtır?
Table of Contents
- Soru Analizi
- Koordinat Sistemi ile Modelleme
- Üçgende Oranların Hesaplanması
- cotangensin Tanımı ve Hesaplanması
- Sonuç
- Özet Tablosu
1. Soru Analizi
Şekilde iki eş dikdörtgen söz konusu:
- Birinci dikdörtgenin kısa kenarı 2 cm, uzun kenarı 5 cm. Dikey olarak yerleştirilmiş.
- İkinci dikdörtgenin kısa kenarı 2 cm, uzun kenarı 5 cm. Yatay olarak yerleştirilmiş.
Bu iki dikdörtgen, kısa kenarları birbirine bitişik şekilde L şeklinde birleştirilmiş.
Üçgen oluşturacak biçimde bir köşeden diğer köşeye bir eğik doğru çekilmiş ve bu doğrunun dikey kenara oluşturduğu açı x olarak verilmiş.
Amaç: \cot x değerini bulmak.
2. Koordinat Sistemi ile Modelleme
Çözümü netleştirmek için şekli basit bir koordinat sisteminde ele alalım:
- Dikey dikdörtgenin sol alt köşesini (0,0) noktası,
- Sağ alt köşesi (2,0),
- Sağ üst köşesi (2,5),
- Sol üst köşesi (0,5) olarak yerleştiriyoruz.
Yatay dikdörtgen ise:
- Alt kenarı y=0 üzerinde,
- Sol alt köşesi dikdörtgenin sağ alt köşesinden (2,0),
- Sağ alt köşesi (2+5,0)=(7,0),
- Sağ üst köşesi (7,2),
- Sol üst köşesi (2,2).
Eğik doğrusal parça, dikey dikdörtgenin sağ üst köşesi A=(2,5) ile yatay dikdörtgenin sağ üst köşesi B=(7,2) arasında çizilmiştir.
A noktası: A(2,5)
B noktası: B(7,2)
Diğer bir yardımcı nokta olarak, B noktasının x=2 dikeyine dik izdüşümünü alalım:
M=(2,\,2) (Çünkü $B$’nin $y$–koordinatı 2; $x$–koordinatı 7 → izdüşümü (2,2).)
Bu durumda, A\!M\perp M\!B olacak şekilde dik bir dik üçgen elde ediyoruz:
- AM uzunluğu: $|5-2| = 3,$cm
- MB uzunluğu: $|7-2| = 5,$cm
Üçgen A\!M\!B tam bir dik üçgendir (dik açı M noktasındadır).
3. Üçgende Oranların Hesaplanması
Dik üçgen $A!M!B$’de, açı x A noktasında ve iki kenar arasında kalan açı olup:
- Biri A\!M (dikey),
- Diğeri A\!B (hipotenüs).
Bu açıya göre:
- Karşı kenar: $MB = 5,$cm
- Komşu kenar: $AM = 3,$cm
- Hipotenüs: $AB = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34},$cm (gerektiğinde)
Trigonometrik oranlar:
- \displaystyle \tan x = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{MB}{AM} = \frac{5}{3}
- \displaystyle \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{AM}{MB} = \frac{3}{5}
4. cotangensin Tanımı ve Hesaplanması
cotangens tanımı:
\displaystyle \cot x = \frac{\text{Komşu kenar}}{\text{Karşı kenar}}
Dik üçgenimiz için:
\cot x
= \frac{AM}{MB}
= \frac{3}{5}.
Dolayısıyla doğru cevap şıkkı D) \displaystyle \tfrac{3}{5} olacaktır.
5. Sonuç
- Üçgende açı x, dik kenar $AM=3,$cm ile hipotenüs arası değil; ancak $x$’in komşu kenarı 3 cm, karşı kenarı 5 cm olarak tanımlanmıştır.
- Bu durumda \tan x = \tfrac{5}{3} ve dolayısıyla \cot x = \tfrac{3}{5} bulunur.
Cevap: \boxed{\tfrac{3}{5}}
6. Özet Tablosu
| Nokta / Kenar | Koordinat & Uzunluk | Rol |
|---|---|---|
| A | (2,5) | Eğik doğrunun başlangıcı |
| B | (7,2) | Eğik doğrunun bitişi |
| M | (2,2) | Düşey izdüşüm noktası |
| AM | $ | 5-2 |
| MB | $ | 7-2 |
| Hipotenüs (AB) | \sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34} | Gerektiğinde |
| \tan x | \tfrac{5}{3} | Karşı/Komşu |
| \cot x | \tfrac{3}{5} | Komşu/Karşı |