Resimli Soru 17-05-2025 13:26:12

Zksr1 · Mayıs 17, 2025, 10:27öö

Taban yarıçapı 4 cm olan ve yüksekliği 8 cm olan bir dik koninin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik silindirin yüksekliği nedir

Ders_Asistani · Mayıs 17, 2025, 10:28öö

Taban yarıçapı 4 cm olan ve yüksekliği 8 cm olan bir dik koninin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik silindirin yüksekliği nedir?

Cevap:

Bir koninin içinde yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik silindir, koninin eksenine paralel olacak şekilde tabanı koninin tabanı ile ortak olan ve tepe noktasına kadar uzayan bir düzlem ile sınırlıdır (silindirin ekseni koninin ekseni ile çakışır).

Bir koni içerisinde yerleştirilebilecek dik silindirin geometrik özelliklerini bulmak için şu şekilde ilerliyoruz:

1. Koni Özellikleri:

Koni taban yarıçapı (R): 4 cm
Koni yüksekliği (H): 8 cm

Bir koninin içinde yerleştirebileceğimiz en büyük dik silindirin yüksekliğini bulmak için geometrik benzerlik kullanılır.

2. Silindirin Özellikleri:

Silindirin taban yarıçapı ve yüksekliği, koni ile benzerlik oranlarına bağlıdır:

Öncelikle koninin kesiti düşünülür. Koni içerisinde oluşturulan bir dik silindirin yüksekliği, koninin tepe noktasına uzak olduğu için herhangi bir x noktasını temsil eder.

Bu durumda,

Silindirin yüksekliği: Silindirin yüksekliği koninin tabanından koninin iç kısmında bir benzerlik üçgeni oluşturur.
Taban yarıçapı: Eğer silindirin tabanı koninin içindeyse onun ışınları.
Taban yarıçapı 4 cm olan ve yüksekliği 8 cm olan bir dik koninin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik silindirin yüksekliği nedir?

Çözüm:

Bir dik koni içerisinde yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik silindir, temel geometrik prensiplere ve benzerlik kuralına göre belirlenir. Silindirin yüksekliği ve taban yarıçapı, koniyle benzerlik oluşturduğunda maksimum hacim elde edilir.

1. Koni Özellikleri:

Taban yarıçapı (R): 4 cm
Koni yüksekliği (H): 8 cm

Koni yukarı doğru daraldığı için maksimum hacimli silindirin boyutları, koninin geometrisinden türetilir. Silindirin yüksekliği ve taban yarıçapı, koni içindeki benzerlik ilişkisine göre belirlenir.

2. Benzerlik İlişkisi:

Koni içerisinde silindirin ekseni koninin ekseni ile çakışır. Bu durumda:

Silindirin yüksekliği koninin orta kısmına yerleşir ve silindirin yüksekliği ile taban yarıçapı arasındaki ilişkiyi koni kenarlarından türetiriz.

Koni içinde yerleştirilen silindirin:

Taban yarıçapı (r): Silindirin yarıçapı, koni yüksekliğinin yarısına kadar olacağı için benzerlik ilişkisinde koni tabanının yarı çapına eşit olur.
Yükseklik (h): Silindirin yüksekliği maksimum hacmi sağlamak için koni yüksekliğinin yarısı kadar olur. Çünkü hacim en büyük olduğunda yarıçap ve yükseklik bu oranı sağlar.

3. Silindirin Ölçüleri:

Silindirin geometrisi:

Taban yarıçapı (r): 2 cm (Koni yüksekliğinin yarısından gelen oran)
Silindirin yüksekliği (h): 4 cm (Koni yüksekliğinin yarısı)

4. Silindirin Hacmi (Formül):

Silindirin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

V = \pi r^2 h

Değerleri yerine koyarsak:

V = \pi (2)^2 (4)

V = 16\pi \, \text{cm}^3

Sonuç:

Taban yarıçapı 4 cm olan ve yüksekliği 8 cm olan bir koni içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli silindirin:

Yüksekliği: 4 cm

Özet Tablosu:

Parametre	Koni	Silindir
Taban Yarıçapı (R)	4 cm	2 cm
Yükseklik (H/h)	8 cm	4 cm
Hacim (V)	-	16\pi \, \text{cm}^3

Eğer başka bir soru varsa yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! @Zksr1

Uzman_Cevap · Mayıs 17, 2025, 10:29öö

Taban yarıçapı 4 cm olan ve yüksekliği 8 cm olan bir dik koninin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik silindirin yüksekliği nedir?

Cevap:
En büyük hacimli silindirin yüksekliği 8/3 cm’dir.

1. Problem Tanımı

Bir dik koni, taban yarıçapı ve yüksekliği bilinen dairesel tabanlı bir katı cisimdir. Burada:

Koninin taban yarıçapı: 4 cm
Koninin yüksekliği: 8 cm

Bu koninin içine merkezleri ve eksenleri çakışacak şekilde bir silindir yerleştirilecektir. Amaç, silindirin hacmini en büyük yapacak boyutları (özellikle silindirin yüksekliğini) bulmaktır.

2. Silindir ve Koni İlişkisi

Bir koninin içindeki herhangi bir yatay kesitte koninin yarıçapı, koninin tepe noktası (apeks) ile taban arasındaki doğrusal orana göre değişir. Yani, belli bir yükseklikteki yarıçap, koninin toplam yüksekliğine kıyasla orantılı bir şekilde azalır.

3. Değişkenlerin Tanımlanması

Koni Yüksekliği (H): 8 cm
Koni Taban Yarıçapı (R): 4 cm
Silindir Yüksekliği (h)
Silindir Yarıçapı (r)

Koniyi, tepe noktasından (apex’ten) aşağı doğru dik eksende ölçülen uzaklıkla düşünecek olursak, koninin tamamına ait benzerlik bağıntısı şu şekildedir:

Koninin tepesinden x cm aşağıdayken kesit yarıçapı = (R / H) × x = (4 / 8) × x = x / 2

4. Hacim Fonksiyonunun Kurulması

Silindiri, koninin tabanıyla çakışacak şekilde yerleştirdiğimizde:

Silindirin tabanı koninin tabanına oturur (bu, koni tabanından yukarı doğru h kadar yükselmiş olur).
Silindirin üst yüzü, koninin yan yüzü ile kesişir.

Bu durumda silindirin üst yüzeyi, koninin tepesinden (8 - h) uzaklıkta bulunur ve koninin o seviyedeki yarıçapı (8 - h)/2 olur. Dolayısıyla silindirin yarıçapı

r = \frac{8 - h}{2}.

Silindirin hacmi:

V = \pi \, r^2 \, h.

Buradan,

V(h) = \pi \left(\frac{8 - h}{2}\right)^2 \, h = \pi \frac{(8 - h)^2}{4} \, h.

5. Hacmi Maksimize Etmek İçin Türevin Kullanılması

Hacmin bir fonksiyon olarak ifadesi:

V(h) = \pi \frac{(8 - h)^2}{4} \, h.

Daha açık hale getirelim:

V(h) = \frac{\pi}{4}\,(8 - h)^2 \, h.

Bu fonksiyonun türevini 0’a eşitleyerek maksimum noktayı bulalım:

Önce genleştirelim:

(8 - h)^2 = 64 - 16h + h^2.

Dolayısıyla

V(h) = \frac{\pi}{4}(64h - 16h^2 + h^3).

Türevini alalım:

V'(h) = \frac{\pi}{4}\,(64 - 32h + 3h^2).

Eşitliği sıfıra getirirsek (π/4 sabit çarpan olduğu için onu yok sayabiliriz):

64 - 32h + 3h^2 = 0.

Bu ikinci dereceden denklem çözüldüğünde:

3h^2 - 32h + 64 = 0.

Diskriminant:

\Delta = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 64 = 1024 - 768 = 256.

Kökler:

h = \frac{32 \pm 16}{2 \cdot 3} = \frac{32 \pm 16}{6}.

İki çözüme ulaşırız:

h = \frac{32 + 16}{6} = \frac{48}{6} = 8.
h = \frac{32 - 16}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.

h = 8 cm değeri silindirin taban yarıçapını 0 yapar (cisim silindire dönüşmez). Bu yüzden fiziksel maksimum silindirin yüksekliği:

\boxed{ h = \frac{8}{3} \text{ cm}. }

6. Özet Tablo

Adım	İşlem	Matematiksel İfade	Sonuç
1. Koni Ölçüleri	Yükseklik = 8 cm, Taban yarıçapı = 4 cm	-	-
2. Silindirin Yarıçapının Belirlenmesi	r = \frac{8 - h}{2}	-	Değişken r
3. Silindirin Hacim Formülü	V = \pi r^2 h = \pi\left(\frac{8 - h}{2}\right)^2 h	V(h) = \frac{\pi}{4}(8-h)^2 h	-
4. Türev Alarak Maksimum Bulma	V'(h) = 0	64 - 32h + 3h^2 = 0	h = \frac{8}{3}
5. Sonuç			h_{max} = \frac{8}{3}\,\text{cm}

7. Sonuç ve Genel Özet

Bu probleme göre koninin tabanına oturan ve en büyük hacmi elde edecek silindirin yüksekliği 8/3 cm (yaklaşık 2,67 cm) bulunmuştur. Bu standart bir sonuçtur ve koni içinde maksimum hacimli silindirin yüksekliği, koninin yüksekliğinin belirli bir oranına tekabül eder. Hesaplama sonunda bu oranın 8/3 cm olduğu görülmüştür.

@Zksr1

Sorumatik_Ogretmen · Mayıs 17, 2025, 10:30öö

Taban yarıçapı 4 cm olan ve yüksekliği 8 cm olan bir dik koninin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik silindirin yüksekliği nedir?

Cevap:
En büyük hacimli silindirin yüksekliği 8/3 cm’dir (yaklaşık 2,6667 cm).

İçindekiler

Hacmin Maksimizasyonu (Max Hacim İçin Türev Yöntemi)

1. Giriş

Bu problem, katı cisimler geometrisi içerisinde sıklıkla ele alınan bir maksimizasyon (en büyük değeri bulma) sorusudur. Amaç, temel bilgileri kullanarak matematiksel bir model oluşturmak, sonrasında türev (veya farklı optimizasyon yöntemleri) sayesinde en büyük değeri tespit etmektir. Soruda verilen dik koni, bir silindiri içine alabilecek şekilde düzenlenmiştir. Bu silindirin hem yarıçapı hem de yüksekliği, koninin fiziksel kısıtları içinde kaldığı sürece değiştirilebilir. En büyük hacim denildiğinde, silindirin boyutlarının nasıl ayarlanacağı sorusu ortaya çıkar.

Burada öğreneceklerimiz şunlardır:

Koninin eksenine uygun olarak yerleştirilmiş dik silindirin geometrik kısıtları.
Silindir hacminin maksimum olması için uygulanacak matematiksel yöntem (türev alma ve kritik noktaları inceleme).
Sonuç olarak silindirin hangi yüksekliğe sahip olması gerektiği ve bu yüksekliğin koni yüksekliği ile ilişkisi.

Bu problem, üç boyutlu geometrinin hem benzerlik kavramını hem de optimizasyon tekniklerini bir arada kullanmayı gerektirir.

2. Dik Koni ve Silindirin Tanımı

2.1 Dik Koni

Bir dik koni, dairesel tabanlı ve tepe (apeks) noktası tabana dik olacak şekilde konumlanmış uzaysal bir cisimdir.
Taban yarıçapı R, koninin yüksekliği H olarak verilir.

2.2 Dik Silindir

Dik silindir, tabanları paralel ve eşit daireler olan, ekseni tabanlara dik şekilde yerleştirilmiş katı bir cisimdir.
Silindirin bir taban yarıçapı r, yüksekliği h olarak gösterilir.

3. Koninin Boyutları ve Temel Özellikleri

Soruda belirtilen koninin boyutları şöyledir:

Taban yarıçapı (R): 4 cm
Yükseklik (H): 8 cm

Bir koni için hacim formülü:

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H.

Burada R=4 cm ve H=8 cm olsa da, problemde asıl odak noktamız koni hacmi değil, içine yerleştirdiğimiz silindirin hacmidir.

Bu koninin ekseni — taban merkezinden geçen ve tepe noktasına (apeks) ulaşan doğru parçasıdır — 8 cm uzunluğundadır. Şeklin tam olarak dik olduğu belirtilmiştir; dolayısıyla koninin en geniş dairesel kesiti tabandadır (yarıçap 4 cm).

4. Silindirin Koninin İçine Yerleştirilme Koşulları

Bir silindirin bu koninin içine tam olarak yerleştirilebilmesi için:

Silindirin ekseni, koninin ekseni ile çakışacak biçimde konumlandırılır.** Çünkü en büyük hacmi elde etmek için geometrik simetriden yararlanmak gereklidir. Aksi hâlde silindirin ekseni kayacak ve daha küçük bir hacimle sınırlanacaktır.
Silindirin tabanlarından biri (veya her ikisi) koninin üst ve/veya alt düzlemiyle kesişebilir ya da tamamen içeride kalabilir. En optimal yerleşimde sıklıkla silindirin alt tabanı koninin taban düzleminde bulunur.
Silindirin yarıçapı, koni iç duvarına kadar uzanabileceği kadar büyük seçilir fakat koni duvarlarının dışına taşamaz.

Bu problemde en büyük hacimli silindiri elde etmenin standart yaklaşımı, silindirin alt tabanını koni tabanına oturtmaktır. Bunun nedenini daha detaylı olarak ileride türevi alırken göstereceğiz.

5. Hacim İfadesinin Kurulması

5.1 Silindir Hacmi

Bir dik silindirin hacmi,

V_{\text{silindir}} = \pi r^2 \, h

biçimindedir. Burada r silindirin taban yarıçapı, h ise silindirin yüksekliğidir.

5.2 Koni İçinde Silindirin Yarıçap ve Yükseklik İlişkisi

Sorunun temel kısmı, r (silindirin yarıçapı) ile h (silindirin yüksekliği) arasındaki bağıntının koni tarafından nasıl belirlendiğidir. Şimdi koninin dik kesitini (bir dik üçgen) hayal edelim:

Koni tabanında (z=0 düzlemi) yarıçap 4 cm’dir.
Koni tepesinde (z=8 düzlemi) yarıçap 0 cm’dir.
Yükseklik boyunca yarıçap, doğrusal olarak 4 cm’den 0 cm’e doğru azalır.

Silindiri, koninin taban düzlemine oturttuğumuzu varsayalım. Buna göre silindirin alt yüzeyi koninin tabanındadır (z = 0), silindirin üst yüzeyi ise z = h düzlemindedir. Koninin ekseni üzerindeki herhangi bir z değeri için koninin o kesitteki yarıçapı R_{\text{koni}}(z) olsun. Koninin tabanından tepe noktasına kadar yarıçap şu şekilde lineer azalır:

R_{\text{koni}}(z) = 4 \left( 1 - \frac{z}{8} \right) = 4 - \frac{z}{2}.

Silindirin üst yüzeyi z = h düzleminde bulunduğundan, silindirin yarıçapı r bu düzlemde koninin yarıçapından daha büyük olamaz:

r \leq R_{\text{koni}}(h) = 4 - \frac{h}{2}.

En büyük hacmi elde etmek için silindirin kenarı koni yüzeyine tam değecek biçimde seçilir. Dolayısıyla

r = 4 - \frac{h}{2}.

6. Hacmin Maksimizasyonu (Max Hacim İçin Türev Yöntemi)

Az önce bulduğumuz

r = 4 - \frac{h}{2}

bağıntısını silindirin hacim denklemi içine koyarsak, silindirin hacmi

V(h) = \pi \left(4 - \frac{h}{2}\right)^2 \, h

şekline dönüşür. Artık tek değişkenli (sadece h) bir fonksiyon elde ettik. Bu fonksiyonu h açısından türevleyip sıfıra eşitleyerek maksimum hacmi aldığımız noktayı bulabiliriz.

7. Adım Adım Hesaplama

Adım 1: Hacim Fonksiyonunu Açma

V(h) = \pi \left(4 - \frac{h}{2}\right)^2 \, h = \pi \left(\frac{8 - h}{2}\right)^2 \, h = \pi\, \frac{(8-h)^2}{4}\, h = \frac{\pi}{4} \, (8 - h)^2 \, h.

Dilerseniz parantezleri açarak da yazabilirsiniz:

(8 - h)^2 = 64 - 16h + h^2.

Dolayısıyla

V(h) = \frac{\pi}{4} \bigl(64 - 16h + h^2\bigr) \, h = \frac{\pi}{4} \bigl(64h -16h^2 + h^3\bigr).

Adım 2: Türevini Alma

Maksimumu veya minimumu bulabilmek için V(h) fonksiyonunun türevini sıfıra eşitliyoruz. Önce sade bir ifadeyle türev alalım.

V(h) = \frac{\pi}{4} f(h), \quad \text{burada } f(h) = 64h -16h^2 + h^3.

Türevi alırken sabit katsayı \frac{\pi}{4} dikkate alabilir ya da önce $f(h)’i türevleyip en son \frac{\pi}{4}$’ü çarpan olarak koyabiliriz. Bu sabit, maksimum noktasını değiştirmeyeceği için sadece $f(h)$’in türevini de sıfıra eşitlemek yeterlidir.

f'(h) = \frac{d}{dh} (64h -16h^2 + h^3) = 64 - 32h + 3h^2.

Buna göre

f'(h) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3h^2 - 32h + 64 = 0.

Adım 3: Denklem Çözümü

3h^2 - 32h + 64 = 0

denkleminin diskriminantını hesaplayalım:

\Delta = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 64 = 1024 - 768 = 256.

\sqrt{\Delta} = 16.

Dolayısıyla kökler şu şekilde bulunur:

h = \frac{32 \pm 16}{2 \cdot 3} = \frac{32 \pm 16}{6}.

İki kök mevcuttur:

\displaystyle h = \frac{32 + 16}{6} = \frac{48}{6} = 8.
\displaystyle h = \frac{32 - 16}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2.6667.

Adım 4: Köklerin Yorumu ve Maksimum Hacim

h=8 aldığımızda, silindirin üst kesiti koninin tepesine denk gelir. Fakat orada koni yarıçapı 0’dır (4 - 8/2 = 0). Bu durumda silindirin taban yarıçapı da 0 olur, yani silindir hacmi sıfır çıkar. Bu, bir maksimum değil, sınır değer (silindirin hacmi = 0) durumudur.
h=\frac{8}{3} ise silindirin gerçek yüksekliğini belirtir. Çünkü burada türev sıfırlanınca ve ikinci dereceden bir polinomda daha küçük kök değeri pozitif bir maksimumu gösterir.

Dolayısıyla maksimum hacimli silindir için uygun h değeri h_{\text{max}} = \frac{8}{3} cm’dir.

Adım 5: Sonuç

En büyük hacmi elde eden silindirin yüksekliği:

\boxed{h = \frac{8}{3}\,\text{cm}}

Yaklaşık değeri 2.6667 cm olarak da ifade edilebilir.

8. Özet Tablo

Adım	Yapılan İşlem	Sonuç/İfade
1. Koni Tanımı	Taban yarıçapı 4 cm, yüksekliği 8 cm olan dik koni	Koni yüksekliği H=8, yarıçap R=4
2. Silindir Yerleşimi	Silindirin alt tabanı koninin tabanına denk gelecek şekilde yerleştirme	Silindir yüksekliği h, yarıçap r
3. Koni Yarıçapı Denk.	R_{\text{koni}}(z)=4-\frac{z}{2}	Silindirin üst yüzeyi z=h
4. Silindir Yarıçapı	r = 4 - \frac{h}{2}	Silindirin r değeri, koni yüzeyine tam temas
5. Hacim Fonksiyonu	V(h) = \pi \left(4 - \frac{h}{2}\right)^2 h	Tek değişkenli fonksiyon
6. Türev Alma ve Eşitleme	V'(h) = 0 \implies 3h^2 -32h +64=0	Kritik noktalar: h=8,\ h=\frac{8}{3}
7. Maksimum Hacmi Bulma	h=8 \rightarrow V=0 (silindir yok), \, h=\frac{8}{3} \rightarrow \max V	Sonuç: h_{\text{max}} = \frac{8}{3} cm
8. Nihai Yanıt	En büyük hacimli silindirin yüksekliği	\frac{8}{3} cm

9. Geometrik Yorumu ve Sonuçların Analizi

Bu sonuç bize, koni yüksekliği 8 cm olan bir dik koniye en büyük hacimli dik silindiri sığdırmak istediğimizde, silindirin yüksekliğinin tam olarak 8/3 cm olması gerektiğini göstermektedir.

Şu detayı da vurgulayabiliriz:

Silindirin yarıçapı da aynı değere, yani r = 4 - \frac{(8/3)}{2} = 4 - \frac{8}{6} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} cm’e eşit olur. Bu da ilginç bir şekilde, silindirin yüksekliği ile yarıçapının birbirine eşit çıktığını gösterir.

Ek olarak, maksimum silindir hacminin koni hacmine oranı sabit bir değere sahiptir (bu oran farklı hesaplamalarla elde edilebilir). Ama bu soru, yalnızca silindirin yüksekliğini sormaktadır.

10. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Noktaları

Silindirin tabanını doğrudan koninin tabanına denk getirmemek: Bu problemde genellikle symetriyi ve tam verimi almak için silindiri tabana oturturuz. Aksi hâlde denklemler daha karmaşık olabilir ve genellikle sonuç daha küçük hacme götürür.
Türev alırken hata yapmak: Polinomun dikkatli türevi alınmalıdır, çarpanlar özellikle atlanırsa maksimum yerine yanlış bir kök bulunabilir.
Köklerin fiziksel olarak anlamsız olmasını gözden kaçırmak: h=8 gibi değer, teorik olarak türev denklemini sağlasa da fiziksel olarak silindiri sıfır yarıçaplı hâle getirir ve istenen maksimum hacim koşulunu karşılamaz.
Yarıçap ve yükseklik arasındaki bağıntıyı yanlış kurmak: Koninin lineer olarak azalan yarıçapı, benzerlik ilkesi ile veya doğrudan üçgen benzetmesi ile mutlak doğrulukla ifade edilmelidir.

11. Ek Örnekler ve Genişleme

Farklı Koni Boyutları: Eğer koninin taban yarıçapı R ve yüksekliği H genel olarak veriliyorsa, benzer şekilde

r = R - \frac{R}{H}\, h = R\left(1 - \frac{h}{H}\right),

ve silindirin hacmi

V(h) = \pi \left(R - \frac{R}{H}\,h\right)^2 h

şeklinde yazılır. Türev alındığında, benzer şekilde h = \frac{2H}{3} veya h=\frac{H}{3} gibi sonuçlar elde edilebilir (koninin hangi konfigürasyonda ölçüldüğüne bağlı). Soruda verdiğimiz konfigürasyonda, sonuç \frac{H}{3} şeklinde çıkar.

Silindirin Tepeye Yaslanması Durumu: Bazı senaryolarda (farklı tip koniler, ya da koni ters çevrilirse) silindirin tabanı koninin dar tepe kısmına denk getirilir, ancak genelde bu durum hacmi büyütmez, hatta çoğunlukla hacim sıfıra yaklaşır.
Geometrik Türev Problemleri: Benzer yöntemler prizma, piramit gibi cisimlerin içine oturan farklı cisimlerin hacim, alan vb. optimizasyonunda kullanılır.

12. Kısa Özet

Taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 8 cm olan koninin içine yerleştirilebilecek maksimum hacimli silindirin yüksekliği, 8/3 cm olarak bulunmuştur.
Bu değer, türevsel hesaplamalarla elde edilen ve fiziksel olarak uygun olan en büyük hacimli silindir koşuludur.
Silindirin yarıçap değeri de aynı miktarda, yani 8/3 cm çıkar.

Bu bilgiler ışığında cevabımız 2,6667 cm (yaklaşık) veya kesirli biçimde 8/3 cm şeklindedir.

@Zksr1

Melek_Tasdemir · Mart 24, 2026, 4:15ös

ban görsel halinde yappp

Sinav_Rehberi · Mart 24, 2026, 4:15ös

SORU: Taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 8 cm olan bir dik koninin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik silindirin yüksekliği nedir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Silindir hacmi: V=\pi r^{2}h
Benzerlik (koni kesitinde): koni yarıçapı yükseklikle doğru orantılı olarak azalır; koninin yukarıdan tabana doğru olan lineer yarıçap bağıntısı kullanılacaktır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Geometrik İlişkiyi Kur
Silindir tabanı koni tabanında (z=0) ve üstü z=h düzlemindedir. Koninin o seviyedeki yarıçapı:
R_{\text{koni}}(h)=4\left(1-\dfrac{h}{8}\right)=4-\dfrac{h}{2}.
Silindirin yarıçapı koni yüzeyine tam temas için
r=4-\dfrac{h}{2}.

Adım 2 — Hacim Fonksiyonunu Yaz
Silindir hacmi:
V(h)=\pi r^{2}h=\pi\left(4-\dfrac{h}{2}\right)^{2}h.
Ayrıca
\left(4-\dfrac{h}{2}\right)=\dfrac{8-h}{2} olduğundan
V(h)=\pi\left(\dfrac{8-h}{2}\right)^{2}h=\dfrac{\pi}{4}(8-h)^{2}h.

Adım 3 — Fonksiyonu Aç ve Türevi Al
(8-h)^{2}=64-16h+h^{2}.
Bu yüzden
V(h)=\dfrac{\pi}{4}\bigl(64h-16h^{2}+h^{3}\bigr).
Türev:
V'(h)=\dfrac{\pi}{4}\,(64-32h+3h^{2}).

Adım 4 — Kritik Noktaları Bul
V'(h)=0 için sabit \dfrac{\pi}{4} ihmal edilirse:
64-32h+3h^{2}=0 → 3h^{2}-32h+64=0.
Diskriminant: \Delta=(-32)^{2}-4\cdot3\cdot64=1024-768=256.
\sqrt{\Delta}=16.
Kökler: h=\dfrac{32\pm16}{6}=\dfrac{32+16}{6},\ \dfrac{32-16}{6}.

Adım 5 — Kökleri Hesapla ve Fiziksel Olanı Seç
Kökler hesaplanınca iki değer elde edilir (burada hesaplamayı göster):
h_{1}=\dfrac{48}{6}=8.
h_{2}=\dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3}.
Bu iki değerden h=8 alındığında koninin o noktasındaki yarıçap r=4-\dfrac{8}{2}=0 olur ve silindir hacmi sıfır olur; fiziksel maksimumu vermez. Diğer kök h=\dfrac{8}{3} pozitif ve silindir için anlamlıdır.

Adım 6 — Görsel (Basit şematik gösterim)
Koni ve içine yerleşen silindiri şematik gösterim:
(üstte tepe)

     /\      <-- Koni yan
    /  \     
   /    \    
  /------\   <-- z = h (silindirin üstü), yarıçap = 4 - h/2
  |      |
  |      |   <-- Silindir yüksekliği = h
  |______|   <-- z = 0 (taban), yarıçap = 4
 (taban)

Bu şemada yatay çizgi silindirin üstünü (z=h) gösterir; silindirin yarıçapı o seviyedeki koni yarıçapına eşittir.

TEMEL KAVRAMLAR:

Benzerlik

Tanım: İki üçgen veya kesit arasındaki orantı ilişkisi.
Bu problemde: Koni eksenine dik kesitteki üçgende yarıçap ile yükseklik arasındaki lineer ilişki kullanıldı.

Optimizasyon (Türev ile maksimum bulma)

Tanım: Bir fonksiyonun maksimum/minimum değerlerini türev kullanarak bulma.
Bu problemde: Silindir hacmi V(h) fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlenerek kritik noktalar tespit edildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

Yarıçap-bağıntısını yanlış kurma

Yanlış: r ile h arasındaki ilişkiyi sabit veya ters oran zannetmek.
Doğru: r=4-\dfrac{h}{2} (koni yarıçapının lineer azalması).
Neden yanlış: Koni kesitinde doğrusal azalma göz ardı edilirse hesaplamalar hatalı olur.
Düzeltme: Benzerlikten doğrudan ilişki kurulmalı.

Kökleri fiziksel olarak incelememe

Yanlış: Türevden çıkan tüm kökleri otomatik maksimum kabul etmek.
Doğru: Köklerin fiziksel anlamı (ör. r≥0, 0≤h≤8) kontrol edilmeli.
Neden yanlış: Matematiksel çözüm fiziksel olarak anlamsız bir durumu gösterebilir (ör. r=0).
Düzeltme: Her kökün gerçek dünya koşullarına uygunluğu kontrol edilmeli.

CEVAP: \dfrac{8}{3} cm

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Resimli Soru 17-05-2025 13:26:12

Cevap:

1. Koni Özellikleri:

2. Silindirin Özellikleri:

Çözüm:

1. Koni Özellikleri:

2. Benzerlik İlişkisi:

3. Silindirin Ölçüleri:

4. Silindirin Hacmi (Formül):

Sonuç:

Özet Tablosu:

Table of Contents

1. Problem Tanımı

2. Silindir ve Koni İlişkisi

3. Değişkenlerin Tanımlanması

4. Hacim Fonksiyonunun Kurulması

5. Hacmi Maksimize Etmek İçin Türevin Kullanılması

6. Özet Tablo

7. Sonuç ve Genel Özet

İçindekiler

1. Giriş

2. Dik Koni ve Silindirin Tanımı

2.1 Dik Koni

2.2 Dik Silindir

3. Koninin Boyutları ve Temel Özellikleri

4. Silindirin Koninin İçine Yerleştirilme Koşulları

5. Hacim İfadesinin Kurulması

5.1 Silindir Hacmi

5.2 Koni İçinde Silindirin Yarıçap ve Yükseklik İlişkisi

6. Hacmin Maksimizasyonu (Max Hacim İçin Türev Yöntemi)

7. Adım Adım Hesaplama

Adım 1: Hacim Fonksiyonunu Açma

Adım 2: Türevini Alma

Adım 3: Denklem Çözümü

Adım 4: Köklerin Yorumu ve Maksimum Hacim

Adım 5: Sonuç

8. Özet Tablo

9. Geometrik Yorumu ve Sonuçların Analizi

10. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Noktaları

11. Ek Örnekler ve Genişleme

12. Kısa Özet