Resimli Soru 17-05-2025 12:17:46

YKS TYT
1

image
image720×960 29.5 KB

2

Sorunun çözümüne başlayalım.

Soru:
x \in [a, 4] aralığındaki y = \frac{1}{\sqrt{x}} fonksiyonu ile x ekseni arasında kalan alan S(a) olarak tanımlanmıştır. Buna göre,

\lim_{a \to 1} \left( \frac{a^3 - 1}{S(a) - 2} \right)

limitinin değeri nedir?

Çözüm Adımları:

Alan Hesabı S(a)

S(a) fonksiyonunun tanımına baktığımızda, verilen fonksiyon y = \frac{1}{\sqrt{x}}. Bu fonksiyon x ekseni ile arasında kalan alanın integral ile hesaplanması gerekir.

Alan:

S(a) = \int_a^4 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx

Buradan, \frac{1}{\sqrt{x}} fonksiyonunun integralini alıyoruz:

\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x}

Sınırları uygulayalım:

S(a) = \big[ 2\sqrt{x} \big]_a^4 = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{a}
S(a) = 4 - 2\sqrt{a}

Limit İfadesi

Soru, aşağıdaki limitin değerini sormaktadır:

\lim_{a \to 1} \left( \frac{a^3 - 1}{S(a) - 2} \right)

Yerine koyarak ilerleyelim.

S(a)'yi yerine yazdığımızda:

S(a) - 2 = (4 - 2\sqrt{a}) - 2 = 2 - 2\sqrt{a}

Limit ifadesi ise şu hale gelir:

\lim_{a \to 1} \frac{a^3 - 1}{2 - 2\sqrt{a}}

Pay ve Payda Yaklaşımı

Pay: a^3 - 1
Bu ifade a \to 1 için a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) olarak yazılabilir.

Payda: 2 - 2\sqrt{a}
Bu ifade a \to 1 için 2 - 2\sqrt{a} = -2(\sqrt{a} - 1) olarak yazılabilir.

Limit ifadesi şu şekle dönüşür:

\lim_{a \to 1} \frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{-2(\sqrt{a} - 1)}

Burada (a - 1) ve (\sqrt{a} - 1)'i sadeleştirmek için \sqrt{a} - 1 ifadesini (a - 1) üzerinden yazmamız gerek:

İlişki: \sqrt{a} - 1
Taylor serisinden bilinir ki:

\sqrt{a} - 1 \approx \frac{(a - 1)}{2} \, \text{(a, 1'e oldukça yakınken)}

Bu sonucu ifade içerisine yerleştiriyoruz:

\lim_{a \to 1} \frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{-2 \cdot \frac{(a - 1)}{2}}

Sadeleştirme sonrası:

\lim_{a \to 1} \frac{a^2 + a + 1}{-1} = - (1^2 + 1 + 1) = -3

Sonuç:

\boxed{-3}

Doğru cevap B) -3.

3

Soru: Ekteki şekilde y=\frac{1}{\sqrt{x}} fonksiyonu ile x ekseni arasında, x\in [a,4] aralığında kalan bölgenin alanı S(a) olarak tanımlanmıştır. Bu tanıma göre

\lim_{a\to 1^+}\Bigl(\frac{a^3-1}{S(a)-2}\Bigr)

limitinin değeri nedir?

Cevap:

Table of Contents

  1. Alan S(a)ın Hesaplanması
  2. S(a) İfadesinden Limite Gidiş
  3. 0/0 Biçimi ve Yaklaşım
  4. Adım Adım Limitin Hesabı
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç

1. Alan S(a)ın Hesaplanması

Soruda verilen eğri,

f(x) \;=\; \frac{1}{\sqrt{x}}, \quad x \in [a,4].

Bu durumdaki alan S(a),

S(a)\;=\;\int_{a}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx

şeklinde tanımlanmıştır.

2. S(a) İfadesinden Limite Gidiş

Önce integrali hesaplayalım:

\int_{a}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx \;=\; \Bigl[\,2\sqrt{x}\Bigr]_{a}^{4} \;=\; 2\sqrt{4}\;-\;2\sqrt{a} \;=\; 4\;-\;2\sqrt{a}.

Dolayısıyla

S(a) \;=\; 4 \;-\; 2\,\sqrt{a}.

Soruda paydada \,S(a) - 2\, yer aldığından,

S(a) - 2 = (4 - 2\sqrt{a}) - 2 \;=\; 2 \;-\; 2\sqrt{a}.

3. 0/0 Biçimi ve Yaklaşım

Aranan limit:

\lim_{a\to 1^+}\biggl(\frac{a^3 - 1}{S(a) - 2}\biggr).

Hem pay \,a^3 - 1 hem de payda \,S(a) - 2 ifadesi a \to 1 giderken \,0a yaklaşıyor:

  • \,\lim_{a\to 1} a^3 - 1 = 0.
  • \,\lim_{a\to 1} (2 - 2\sqrt{a}) = 2 - 2\cdot 1 = 0.

Dolayısıyla ifade \,\frac{0}{0} belirsizliği içeriyor. Bu tip durumlarda ister l’Hôpital kuralı uygulanır ister uygun bir yakınsak açılım (Taylor açılımı) kullanılabilir.

4. Adım Adım Limitin Hesabı

Yöntem A: Basit Seri Genişlemesi

a\to 1 yakınlarında a = 1 + e gibi küçük bir \,e ile düşünebiliriz.

  1. Pay a^3 - 1

    a^3 - 1 = (1 + e)^3 - 1 = 1 + 3e + 3e^2 + e^3 - 1 = 3e + 3e^2 + e^3 \approx 3e \quad (\text{küçük }e\text{ için}).

  2. Payda S(a) - 2

    S(a) - 2 = 2 - 2\sqrt{a} = 2\Bigl(1 - \sqrt{a}\Bigr).

    Öte yandan \sqrt{a} \approx \sqrt{1 + e} \approx 1 + \tfrac{e}{2} (ilk mertebe).

    1 - \sqrt{1 + e} \approx 1 - \Bigl(1 + \tfrac{e}{2}\Bigr) = - \tfrac{e}{2}.

    Dolayısıyla

    2\bigl(1 - \sqrt{1 + e}\bigr) \approx 2\Bigl(-\tfrac{e}{2}\Bigr) = -\,e.

    Bu durumda

    S(a) - 2 \approx -\,e.

  3. Oran

    \frac{a^3 - 1}{S(a) - 2} \;\approx\; \frac{3\,e}{-\,e} \;=\; -3.

Dolayısıyla limit değerinin \,-3 olduğu sonucuna ulaşılır.

Yöntem B: l’Hôpital Kuralı

İstenirse l’Hôpital kuralı da uygulanabilir.

  • Pay: a^3 - 1. Türevi: 3a^2.
  • Payda: (S(a) - 2) = (2 - 2\sqrt{a}). Türevi: \tfrac{d}{da}[2 - 2\sqrt{a}] = -\,\tfrac{2}{2\sqrt{a}} = -\,\frac{1}{\sqrt{a}}.

Bu durumda

\lim_{a \to 1^+} \frac{a^3 - 1}{S(a) - 2} \,=\, \lim_{a \to 1^+} \frac{3a^2}{-1/\sqrt{a}} \,=\, \lim_{a \to 1^+} \Bigl(-3\,a^2\,\sqrt{a}\Bigr) \,=\, -3\cdot(1)\cdot(1) \,=\, -3.

İki yöntem de -3 sonucunu vermektedir.

5. Özet Tablo

Adım İşlem veya Formül Sonuç
1. Alan Hesabı S(a) = \int_{a}^{4} \tfrac{1}{\sqrt{x}} dx 4 - 2\sqrt{a}
2. Limiti İnceleme \displaystyle \lim_{a\to 1^+} \frac{a^3 -1}{S(a)-2} \frac{0}{0} belirsizliği
3. Genişleme (veya l’Hôpital) Pay: a^3 -1, Payda: 2-2\sqrt{a} Yakınsak açılımla -3
4. Nihai Limit \displaystyle -3

6. Sonuç

Yukarıdaki integral ve limit hesapları doğrultusunda,

\lim_{a\to 1^+}\Bigl(\frac{a^3-1}{S(a)-2}\Bigr) = \boxed{-3}.

@anonymous13

4

27. Aşağıda dik koordinat düzleminde f fonksiyonunun x ∈ [a, 4] aralığındaki x ekseni ile sınırladığı bölgenin alanı S(a) olarak verilmiştir. Buna göre, lim (a→1⁺) [(a³ - 1) / (S(a) - 2)] limitinin değeri kaçtır?

Cevap: Değer –3’tür.

İçindekiler

1. S(a) Alan Fonksiyonunun İfadesi

Verilen fonksiyon y = 1/√x olsun ve x, [a, 4] aralığı boyunca incelensin. Bu fonksiyonun x ekseniyle sınırladığı bölgenin alanı şu integral ile bulunur:

S(a) = \int_{a}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}}\;dx.

Bu integrali hesaplayalım:

\int \frac{1}{\sqrt{x}}\;dx = \int x^{-\tfrac{1}{2}}\;dx = 2\,\sqrt{x}.

Dolayısıyla,

S(a) = \left[\,2\,\sqrt{x}\,\right]_{a}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{a} = 2 \cdot 2 - 2\sqrt{a} = 4 - 2\sqrt{a}.

2. S(a) - 2 İfadesinin Hesaplanması

Buradaki limit ifadesinde S(a) - 2 terimi geçiyor. O halde:

S(a) - 2 = \bigl(4 - 2\sqrt{a}\bigr) - 2 = 2 - 2\sqrt{a} = 2\bigl(1 - \sqrt{a}\bigr).

3. Limitin Hesaplanması

İstenilen limit şu şekildedir:

\lim_{a\to 1^+} \frac{a^3 - 1}{S(a) - 2} = \lim_{a\to 1^+} \frac{a^3 - 1}{2(1 - \sqrt{a})}.

1 değerine doğrudan yazarsak hem pay hem payda 0’a gidiyor (0/0 belirsizliği). Bu sebeple L’Hopital kuralı veya küçük açılım (seri açılım) yöntemi kullanabiliriz. L’Hopital kuralını uygulayalım:

• Payın türevi:
d/dA(a³ - 1) = 3a²
• Paydanın türevi:
d/dA[2(1 - √a)] = 2 × [0 - (1/(2√a))] = -1/√a

Dolayısıyla,

\lim_{a\to 1^+} \frac{a^3 - 1}{2(1 - \sqrt{a})} = \lim_{a\to 1^+} \frac{3a^2}{-1/\sqrt{a}} = \lim_{a\to 1^+} \bigl[3a^2 \cdot (-\sqrt{a})\bigr] = \lim_{a\to 1^+} \bigl[-3a^{2.5}\bigr].

a → 1 yaklaşırken a^{2.5} = 1^2.5 = 1, dolayısıyla limit:

-3 \times 1 = -3.

4. Örnek Çözüm Adımları Tablosu

Adım İşlem veya Açıklama Sonuç
1. Alan Hesaplama S(a) = ∫(1/√x) dx, a’dan 4’e S(a) = 4 - 2√a
2. S(a) - 2 İfadesi (4 - 2√a) - 2 2 - 2√a
3. Limite Bakış (0/0 Belirsizliği) a=1 koyunca pay ve payda 0 olduğu görülür Belirsizlik: 0/0
4. Türev Hesaplamaları (L’Hopital) Payın türevi: 3a², Paydanın türevi: -1/√a
5. Son Adım -3a²√a ifadesini a=1’de değerlendirme Değer: -3
6. Nihai Limit Değeri -3

5. Kısa Özet

• Alan fonksiyonunu bulmak için (1/√x) integrali alınır.
• Elde edilen S(a) değerinden 2 çıkarıldığında pay ve payda 1’e yaklaşırken 0/0 formu ortaya çıkar.
• L’Hopital kuralı uygulandığında limit değeri -3 bulunur.

Bu nedenle soruda istenen

\lim_{a\to 1^+}\left(\frac{a^3 - 1}{S(a) - 2}\right)

limitinin cevabı -3’tür.

@enf