Resimli Soru 17-02-2026 23:49:15

YKS TYT
1

IMG_5952
IMG_5952720×540 42.5 KB

2

Dikdörtgenin Alan, Çevre ve Kenar Uzunlukları Problemleri

Önemli Noktalar

  • Dikdörtgen alanı: Alan = uzun kenar × kısa kenar
  • Dikdörtgen çevresi: Çevre = 2 × (uzun kenar + kısa kenar)
  • Kenar uzunlukları pozitif tam sayı ve verilen birim cinsinden olmalıdır
  • Alan ve çevre ölçü birimine dikkat etmek gerekir (cm, m, cm², m²)
  • Çevre ve alan verilen sayısal değerlere göre olası kenar uzunlukları bulunur

Dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı ve belirtilen birim cinsinden olduğunda, alan ve çevre formüllerini kullanarak olası değerler bulunur. Alan, kenarların çarpımıdır; çevre ise kenarların toplamının iki katıdır. Çalışmadaki sorularda, çevresi veya alanı verilen dikdörtgenin kenar uzunlukları baz alınarak çevre veya alan ile ilgili sorular çözülür.

İçindekiler

  1. Soru 4a: Alan 24 cm² olan dikdörtgenin çevresi
  2. Soru 4b: Alan 81 cm² olan dikdörtgenin çevresi
  3. Soru 4c: Çevresi 14 m olan dikdörtgenin alanı
  4. Soru 4d: Çevresi 20 cm olan dikdörtgenin alanı
  5. Soru 4e: Alanı 42 cm² olan dikdörtgenin çevresi en az kaç olabilir?
  6. Soru 4f: Çevresi 26 cm olan dikdörtgenin alanı en çok kaç olabilir?

Soru 4a: Alanı 24 cm² olan dikdörtgenin çevresi

Verilen: Alan A = 24 \, \text{cm}^2 , kenar uzunlukları doğal sayı.
Formüller:

A = \text{uzun kenar} \times \text{kısa kenar} \\ Ç = 2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar})

Çözüm:

  • Alanı 24 olan kenar çiftleri (doğal sayı çarpanlar):
(1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6)
  • Her çift için çevreyi hesaplayalım:
2 \times (1 + 24) = 50 \\ 2 \times (2 + 12) = 28 \\ 2 \times (3 + 8) = 22 \\ 2 \times (4 + 6) = 20

Doğru çevre seçenekleri: 50, 28, 22, 20

Soruda seçenekler: 40, 20, 50, 30, 22, 28
Uygunlar: 20, 50, 22, 28

Soru 4b: Alanı 81 cm² olan dikdörtgenin çevresi

Verilen: Alan A = 81 \, \text{cm}^2 , kenar uzunlukları doğal sayı.

Alanın doğal sayı çarpanları:

(1, 81), (3, 27), (9, 9)

Çevreler:

2 \times (1 + 81) = 164 \\ 2 \times (3 + 27) = 60 \\ 2 \times (9 + 9) = 36

Seçenekler: 82, 40, 36, 30, 164, 144
Doğru olabilecekler: 36 ve 164

Soru 4c: Çevresi 14 m olan dikdörtgenin alanı

Verilen: Çevre Ç = 14 \, m , kenar uzunlukları doğal sayılar, metrekare cinsinden alan isteniyor.

Formüller:

Ç = 2 (a + b) \Rightarrow a + b = 7 \\ a, b \in \mathbb{N}

Olası çiftler:

(1,6) \Rightarrow 6 \, m^2 \\ (2,5) \Rightarrow 10 \, m^2 \\ (3,4) \Rightarrow 12 \, m^2

Seçenekler: 6, 8, 9, 10, 12, 15
Uygun olanlar: 6, 10, 12

Soru 4d: Çevresi 20 cm olan dikdörtgenin alanı

Verilen: Ç = 20 \, cm , kenar uzunlukları doğal sayı, alan santimetrekare olarak.

a + b = 10

Alanlar:

(1,9) \rightarrow 9 \\ (2,8) \rightarrow 16 \\ (3,7) \rightarrow 21 \\ (4,6) \rightarrow 24 \\ (5,5) \rightarrow 25

Seçenekler: 25, 22, 9, 10, 24, 8
Uygun olanlar: 25, 9, 24

Soru 4e: Alanı 42 cm² olan dikdörtgenin çevresi en az kaç olabilir?

Alan çarpanlar:

(1,42), (2,21), (3,14), (6,7)

Çevreler:

2(1+42) = 86 \\ 2(2+21) = 46 \\ 2(3+14) = 34 \\ 2(6+7) = 26

Minimum çevre: 26 cm

Soru 4f: Çevresi 26 cm olan dikdörtgenin alanı en çok kaç olabilir?

a + b = \frac{26}{2} = 13

Bir sabit çevre için alan maksimum, kenarlar mümkün olduğunca eşit olduğunda olur.
Tam sayılar içinde en yakınlar (6,7)

Alan:

6 \times 7 = 42 \, cm^2

En büyük alan: 42 cm²

Özet Tablo

Soru Verilen Olası Kenarlar (tam sayı) Hesaplanan Değerler Doğru Seçenekler/ Sonuç
4a Alan=24 cm² (1,24),(2,12),(3,8),(4,6) Çevre=50,28,22,20 20,22,28,50
4b Alan=81 cm² (1,81),(3,27),(9,9) Çevre=164,60,36 36,164
4c Çevre=14 m (1,6),(2,5),(3,4) Alan=6,10,12 6,10,12
4d Çevre=20 cm (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5) Alan=9,16,21,24,25 9,24,25
4e Alan=42 cm² (1,42),(2,21),(3,14),(6,7) Çevre=86,46,34,26 Min çevre=26
4f Çevre=26 cm (6,7) en dengeli Alan max=42 cm² Max alan=42

Sık Sorulan Sorular

1. Neden alan ve çevrede ölçü birimine dikkat etmek gerekir?
Alan, uzunluğun karesi cinsindendir (örneğin cm²). Çevre uzunluk cinsindendir (cm). Karışımlarda sonuç yanlış çıkarabilir.

2. Dikdörtgen kenar uzunlukları neden doğal sayı?
Soruda verilen ölçümler tam sayı cinsinden istenmiş. Bu, pratik problemlerde ya da okul sorularında modelleme kolaylığı sağlar.

3. En büyük alan nasıl bulunur?
Sabit çevre için alanın maksimumu, kenarlar birbirine en yakın olduğunda (kareye yakın) oluşur.

4. Alanı verilen dikdörtgenin olası kenarları nasıl bulunur?
Alan “n” ise, n’nin tam sayı çarpanları yazılır, çarpımı n olan kenarlar elde edilir.

5. Çevresi verilen dikdörtgenin alanı nasıl hesaplanır?
Önce a+b=\frac{Çevre}{2} bulunur. Tüm doğal a,b kombinasyonları denenerek alan hesaplanır.

Sonraki Adımlar

Sizin için benzer alan ve çevre problemi örnekleri hazırlayabilir veya bu problemlerde kullanılan asal çarpanlara dayalı yöntemleri detaylandırabilir miyim?

@Ades1

3

Aşağıdaki soruları cevaplayınız

Temel Kazanımlar

  • Dikdörtgenin alanı A=ab ve çevresi P=2(a+b) formülleriyle hesaplanır.
  • Kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda, ab=A eşitliğinin tam bölen çiftleri üzerinden olası P değerleri bulunur.
  • Çevresi sabit olan bir dikdörtgende alanı maksimize eden boyutlar, sayılara en yakın tam ortalamalardır.

Dikdörtgen sorularını çözerken bu formülleri doğrudan uygulayacağız.

İçindekiler

  1. a) 24 cm² alanlı dikdörtgenin çevreleri
  2. b) 81 cm² alanlı dikdörtgenin çevreleri
  3. c) 14 m çevreli dikdörtgenin alanları
  4. d) 20 cm çevreli dikdörtgenin alanları
  5. e) 42 cm² alanlı dikdörtgenin en küçük çevresi
  6. f) 26 cm çevreli dikdörtgenin en büyük alanı
  7. Özet Tablosu
  8. SSS

a) 24 cm² alanlı dikdörtgenin çevreleri

Alan A=24 olan dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre (a,b) tam bölen çiftlerini ve P=2(a+b) değerlerini buluruz:

  • (1,24)\to P=2(1+24)=50
  • (2,12)\to P=2(2+12)=28
  • (3,8)\to P=2(3+8)=22
  • (4,6)\to P=2(4+6)=20

Seçenekler: 40, 20, 52, 30, 22, 28 ⇒ 20, 22 ve 28

b) 81 cm² alanlı dikdörtgenin çevreleri

A=81 için tam bölen çiftleri:

  • (1,81)\to P=2(1+81)=164
  • (3,27)\to P=2(3+27)=60
  • (9,9)\to P=2(9+9)=36

Seçenekler: 82, 40, 36, 30, 164, 144 ⇒ 36 ve 164
(82 yoktur; 164 yerine 82 seçeneği değil)

c) 14 m çevreli dikdörtgenin alanları

P=14\implies a+b=7 için doğal sayı çiftleri:

  • (1,6)\to A=6
  • (2,5)\to A=10
  • (3,4)\to A=12

Seçenekler: 6, 8, 9, 10, 12, 15 ⇒ 6, 10 ve 12

d) 20 cm çevreli dikdörtgenin alanları

P=20\implies a+b=10 için doğal sayı çiftleri:

  • (1,9)\to A=9
  • (2,8)\to A=16
  • (3,7)\to A=21
  • (4,6)\to A=24
  • (5,5)\to A=25

Seçenekler: 25, 22, 9, 10, 24, 8 ⇒ 9, 24 ve 25

e) 42 cm² alanlı dikdörtgenin en küçük çevresi

A=42 için tam bölen çiftleri ve çevreleri:

  • (1,42)\to P=86
  • (2,21)\to P=46
  • (3,14)\to P=34
  • (6,7)\to P=26

En küçük P=\mathbf{26\text{ cm}}

f) 26 cm çevreli dikdörtgenin en büyük alanı

P=26\implies a+b=13 için alanlar:

  • (1,12)\to A=12
  • (2,11)\to A=22
  • (3,10)\to A=30
  • (4,9)\to A=36
  • (5,8)\to A=40
  • (6,7)\to A=42

En büyük A=\mathbf{42\text{ cm}^2}

Özet Tablosu

Parça Veri Sonuçlar
a A=24 P=20,22,28
b A=81 P=36,164
c P=14 A=6,10,12
d P=20 A=9,24,25
e A=42 En küçük P=26
f P=26 En büyük A=42

SSS

  1. Dikdörtgenin çevresi nasıl hesaplanır?
    Çevre P=2(a+b) formülüyle bulunur.

  2. Dikdörtgenin alanı nasıl hesaplanır?
    Alan A=ab formülüne göre kenar çarpımıdır.

  3. Alanı sabit olan dikdörtgenin çevresi nasıl bulunur?
    ab=A eşitliğinden tam bölen çiftler seçilip her biri için P=2(a+b) hesaplanır.

  4. Çevresi sabit olan dikdörtgenin alanı nasıl maksimize edilir?
    Sabit a+b toplamı için a,b arasındaki fark küçük olduğunda alan ab büyür; ideal dizilim kareye yakındır.

Bu kavramları pekiştirmek için benzer sorulardan oluşan 3 alıştırma ister misiniz?
@Ades1