Resimli Soru 17-02-2026 21:18:29

YKS TYT
1

image
image720×960 23.3 KB

2

Polinom Fonksiyonunda Katsayılar Toplamı Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • P(x) bir polinom fonksiyonudur ve P’(x) türevidir.
  • Verilen denkleme göre: P(x) + P'(x) = x^2 - 4x + 2.
  • Polinomun katsayılar toplamı, polinomun x=1 değerindeki karşılığıdır.
  • Amacımız, P(1) değerini bulmak.

P(x)+P'(x) = x^2 - 4x + 2 denklemini çözmek için analiz yapalım.

İçindekiler

  1. Denklemin Anlamı ve Temel Yaklaşım
  2. Polinom Fonksiyonun Genel Şekli ve Türev
  3. Denklemi Sağlayan Polinomun Bulunması
  4. Katsayılar Toplamının Hesaplanması
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

1. Denklemin Anlamı ve Temel Yaklaşım

Verilen:

P(x) + P'(x) = x^2 - 4x + 2

P(x) polinom olduğundan ve türevin sonucu da polinom olduğundan, bu denklem polinomlar arasında gerçekleşir.

Katsayılar toplamını bulmak için, polinom değerini x=1’de bulmak yeterlidir çünkü:

Polinomun katsayılar toplamı = P(1)

Bu yüzden P(1)'i bulmaya odaklanalım.

2. Polinom Fonksiyonun Genel Şekli ve Türev

P(x) polinom, genel olarak:

P(x) = ax^2 + bx + c

(Çünkü sağ tarafta ikinci dereceden polinom var, P de ikinci dereceden olabilir.)

Bunun türevi:

P'(x) = 2ax + b

3. Denklemi Sağlayan Polinomun Bulunması

Denklemimize yerine koyarsak:

P(x) + P'(x) = (ax^2 + bx + c) + (2ax + b) = x^2 - 4x + 2

Toplayalım:

ax^2 + bx + c + 2ax + b = ax^2 + (b + 2a)x + (c + b) = x^2 - 4x + 2

Katsayıları eşitleyelim:

Derece Katsayı Eşitliği
x^2 a = 1
x^1 b + 2a = -4
sabit c + b = 2

İlk denklemden:

a = 1

İkinci denkleme yerine koy:

b + 2(1) = -4 \implies b + 2 = -4 \implies b = -6

Üçüncü denklem:

c + b = 2 \implies c - 6 = 2 \implies c = 8

Bulduğumuz P(x):

P(x) = 1\cdot x^2 - 6x + 8 = x^2 -6x + 8

4. Katsayılar Toplamının Hesaplanması

\text{Katsayılar toplamı} = P(1) = 1^2 - 6 \cdot 1 + 8 = 1 - 6 + 8 = 3

Doğru cevap C) 3 olur.

Özet Tablo

Adım Detay
Polinom türü ax^2 + bx + c
Türev 2ax + b
Denklem P(x) + P'(x) = x^2-4x+2
Katsayılar eşitliği a=1, b=-6, c=8
Katsayılar toplamı P(1) = 3

Sık Sorulan Sorular

1. Katsayılar toplamını neden P(1) olarak hesaplıyoruz?
Bir polinomdaki tüm terimlerin katsayılarının toplamı, polinomun x=1 değeridir. Çünkü:

a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 \text{ için } x=1 \Rightarrow \sum a_i

2. Polinomun derecesi neden 2 alındı?
Sağdaki ifade bir ikinci dereceden polinom. P(x)+P'(x) de ikinci derece olduğundan, P(x) en fazla ikinci derece olabilir.

3. Denklem bir diferansiyel denklem midir?
Evet, ama burada polinom çözümü arandığı için sistem denklemleri kullanılır.

4. Başka yöntemler var mı?
Polinomun genel halini varsaymadan da türev ve denklemlerle çalışabilirsiniz, ama bu en kolay yöntemdir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz bu tür denklemlerde genel diferansiyel denklem çözümleri ve polinom türev uygulamalarını detaylandırabilirim. Dilerseniz size benzer örnek sorular da hazırlayabilirim!

@Sevval_Tanis

3

P(x) + P′(x) = x² – 4x + 2 olduğuna göre, P(x)’in katsayılar toplamı kaçtır?

  • P(x) ve P′(x) toplamı bize ikinci dereceden bir polinom veriyor.
  • Çözüm için birinci dereceden lineer ODE formu P′(x) + P(x) = x^2 - 4x + 2 kullanılır.
  • Entegrasyon faktörü e^x’dir; genel çözümde ortaya çıkan C\,e^{-x} teriminin polinom olması için C=0 olmalıdır.

P(x)’in katsayılar toplamı 3’tür.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. ODE’yi yazalım:
    P′(x) + P(x) = x^2 - 4x + 2.
  2. Entegrasyon faktörü \mu(x)=e^{\int1\,dx}=e^x bulunur.
  3. Eşitliği \mu(x) ile çarparız:
    \bigl(P(x)\,e^x\bigr)' \;=\;(x^2 - 4x +2)\,e^x.
  4. Sağ tarafı entegre ederiz:
    \int (x^2 -4x +2)\,e^x\,dx = e^x\bigl(x^2 -6x +8\bigr) + C.
  5. Böylece genel çözüm:
    P(x)\,e^x = e^x\bigl(x^2 -6x +8\bigr) + C \;\;\Rightarrow\;\; P(x)=x^2 -6x +8 + C\,e^{-x}.
  6. Polinom olması için C\,e^{-x} terimi olmamalı, yani C=0.
  7. Sonuç:
    P(x)=x^2 -6x +8
    Katsayılar toplamı: 1 + (-6) + 8 = 3.

Özet Tablo

Bulunan P(x) Katsayılar Katsayılar Toplamı
x^2 - 6x + 8 1,\,-6,\,8 3

SSS

S1. Polinom fonksiyonun katsayılar toplamı nasıl bulunur?
Cevap: x=1 değeri polinomda yerine yazılır; P(1)=\sum a_i\cdot1^i.

S2. Birinci dereceden lineer ODE’lerde entegrasyon faktörü nasıl bulunur?
Cevap: Denklem y' + p(x)y=q(x) formundaysa, \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.

S3. Çözümde çıkan C\,e^{-x} terimi neden sıfır olmalı?
Cevap: Polinom fonksiyon tanımına uyması için üstel ifade içermemeli.

S4. Başka bir yöntemle katsayılar toplamını nasıl kontrol edersiniz?
Cevap: Bulunan $P(x)$’i x=1 yerine koyarak doğrudan elde edebilirsiniz.

Başka bir polinom + türev sorusu çözmek ister misiniz? @Sevval_Tanis