Resimli Soru 17-02-2026 00:05:22

YKS TYT
1

!image|460x170 [Link Silindi]

2

Resimli Soru 17-02-2026 000522 Denklemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen çarpımda, terimler 1 + 2/(x + artan değer) formundadır.
  • Son terimde payda x + 50 olduğuna göre, toplamda 26 terim bulunmaktadır.
  • Ürün sonucu 5 olduğuna göre, çarpımla ilgili örüntüyü belirlemek gerekir.

Verilen ifade:

\left(1 + \frac{2}{x}\right)\left(1 + \frac{2}{x+2}\right)\left(1 + \frac{2}{x+4}\right)\cdots \left(1 + \frac{2}{x+50}\right) = 5

Bu bir çarpım ifadesidir; paydalardaki artış 2’şer artırmakta ve 26 terim vardır (0’dan 50’ye 2’şerli artış → (50/2)+1 = 26).

Çözüm

Terimler tek tek çarpılırsa zor olur. Ancak şu yöntemi kullanalım:

1 + \frac{2}{y} = \frac{y+2}{y}

Burada y = x, x+2, x+4, \ldots, x+50 .

O halde çarpım:

\prod_{k=0}^{25} \left(1 + \frac{2}{x + 2k}\right) = \prod_{k=0}^{25} \frac{x + 2k + 2}{x + 2k} = \frac{(x+2)(x+4) \cdots (x+52)}{x (x+2) (x+4) \cdots (x+50)}

Birçok terim hem payda hem payda tekrar ettiğinden, iptal edelim:
Pay: (x+2)(x+4) \cdots (x+50)(x+52) (26 terim)
Payda: x (x+2)(x+4) \cdots (x+50) (26 terim)

Ortak olan (x+2)(x+4)\cdots (x+50) terimleri birbirini götürür, geriye:

\frac{x+52}{x} = 5

Buradan:

x + 52 = 5x \implies 52 = 4x \implies x = 13

Sonuç:

x = 13

İçindekiler

  1. Problemin İncelenmesi ve Örüntü
  2. Çarpımın Sadeleştirilmesi
  3. Cevap ve Doğrulama
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin İncelenmesi ve Örüntü

Verilen ifadede kesirli terimler artışlarla beraber çarpılmaktadır.

  • Terimler: 1 + \frac{2}{x}, 1 + \frac{2}{x+2}, 1 + \frac{2}{x+4}, \ldots, 1 + \frac{2}{x+50}
  • Toplam terim sayısı 26’dır çünkü fark 2 ve 0’dan 50’ye kadar artış vardır.

:light_bulb: Pro Tip: Bölme işlemini toplama biçiminde yazarsanız, çarpımı sadeleştirmek kolaylaşır; pay + paydayı ayırmak doğru yaklaşım.

Çarpımın Sadeleştirilmesi

Şu dönüşümü yapalım:

1 + \frac{2}{x+2k} = \frac{x + 2k + 2}{x + 2k}

Çarpım:

\prod_{k=0}^{25} \frac{x + 2k + 2}{x + 2k} = \frac{(x+2)(x+4) \cdots (x+52)}{x (x+2)(x+4) \cdots (x+50)} = \frac{x+52}{x}

Ortadaki çarpanlar birbirini götürür. Böylece çarpım çok basit hale gelir.

Cevap ve Doğrulama

\frac{x + 52}{x} = 5 \implies 5x = x + 52 \implies 4x = 52 \implies x=13

Yanıt: x = 13

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Terim dönüşümü 1 + \frac{2}{x+2k} = \frac{x+2k+2}{x+2k} Pay/payda ayrıldı
Çarpım \prod içindeki ardışık terimler sadeleşti \frac{x+52}{x}
Denklem kurulması \frac{x+52}{x} = 5 Basit doğrusal denklem
Çözüm x = 13 Sonuç bulundu

Sık Sorulan Sorular

1. Neden terimleri bu şekilde dönüştürdük?
Çarpım içindeki toplama ifadesini kesir halinde yazmak, sadeleştirme için matematiksel kolaylık sağlar.

2. Terimler neden sadeleşiyor?
Çünkü paydada ve payda ortak olan çarpanlar birbiriyle çarpılıp bölündüğünde iptal edilir.

3. Bu yöntem genel olarak hangi tür problemlerde işe yarar?
Birbiri ile ardışık artan ifadelerin çarpımı ve bölümü içeren problemlerde sıkça kullanılır.

Sonraki Adımlar

Başka benzer ardışık kesir problemlerde bu yöntemi kullanarak hız kazanmak ister misin? Yoksa daha karmaşık cebirsel çarpım sorularında detaylı çözüm örnekleri hazırlayabilir miyim?

@Emirr3

3

(1 + 2/x)(1 + 2/(x+2))(1 + 2/(x+4)) … (1 + 2/(x+50)) = 5 olduğuna göre, x kaçtır?

  • Telescoping Özelliği: Ardışık çarpanlardaki ortak terimler sadeleşir.
  • Genel Terim Dönüşümü: 1 + \frac{2}{a} = \frac{a+2}{a} şeklinde yazılır.
  • Sonuç: Sadeleşme sonunda \displaystyle\frac{x+52}{x}=5 denklemi elde edilir.

Doğru cevap: x = 13

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm

Çarpımı şu şekilde yazalım:

\prod_{k=0}^{25}\Bigl(1 + \frac{2}{\,x + 2k\,}\Bigr) = \prod_{k=0}^{25}\frac{x + 2k + 2}{\,x + 2k\,} = \frac{(x+2)(x+4)\dots(x+52)}{x(x+2)\dots(x+50)}.

Ortak çarpanlar (x+2),(x+4),\dots,(x+50) hem pay hem paydada yer aldığından sadeleşir:

\frac{(x+2)(x+4)\dots(x+52)}{x(x+2)\dots(x+50)} \;=\;\frac{x+52}{x}.

Buna göre

\frac{x+52}{x} = 5 \quad\Longrightarrow\quad x+52 = 5x \quad\Longrightarrow\quad 4x = 52 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=13}.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik Telescoping Çarpım Standart Çarpım
Ortak faktör sadeleşmesi Terimler arasında ardışık sadeleşme yapılır Genellikle sadeleşme gerçekleşmez
Hesaplama karmaşıklığı Sadece ilk ve son terimler kalır, hızlı sonuca ulaşılır Tüm terimlerin çarpımı hesaplanır
Uygulama alanı Seriler, limitler ve ardışık kesirli ifadeler Genel çarpım işlemleri

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Faktör dönüşümü 1 + \frac{2}{x+2k} = \frac{x+2k+2}{x+2k} –
Çarpım \prod_{k=0}^{25}\frac{x+2k+2}{x+2k} = \frac{(x+2)(x+4)\dots(x+52)}{x(x+2)\dots(x+50)} –
Sadeleşme Ortak terimler iptal edildi \frac{x+52}{x}
Denkleme geçiş \displaystyle\frac{x+52}{x}=5 x=13

SSS

  1. Telescoping çarpım nedir?
    • Ardışık terimlerde ortak faktörlerin sadeleşmesiyle hızlıca sonuç alınan çarpım şeklidir.
  2. Bu yöntemde nelere dikkat edilmelidir?
    • Tüm ortak terimlerin doğru belirlenmesi ve paydanın sıfır olmadığı durumlar göz önünde bulundurulmalıdır.
  3. Telescoping çarpımlar hangi konularda sıkça kullanılır?
    • Serilerde, limit hesaplamalarında ve ardışık kesirli dizilerde karşımıza çıkar.
  4. Bulduğumuz x değerini nasıl doğrularız?
    • Elde edilen x=13 değerini orijinal ifadede yerine koyup eşitliğin sağlandığını test edebilirsiniz.

Başka bir telescoping çarpım örneği çözmek ister misiniz?
@Emirr3