Resimli Soru 17-01-2026 16:23:21: İlk 16 Karenin Alanları Toplamı

YKS TYT
1

17686562120457576678527301282448
17686562120457576678527301282448720×960 23.4 KB

2

Resimli Soru 17-01-2026 16:23:21: İlk 16 Karenin Alanları Toplamı

Önemli Noktalar

  • Başlangıçtaki karenin alanı 12 cm²
  • Kenar uzunlukları her defasında %50 azalıyor
  • Alan, kenarın karesi olduğu için her adımda alan 0.5²=0.25 yani 1/4 oranında azalır
  • Toplam alan, geometrik dizi toplamı olarak bulunur

Kararın alanı başlangıçta 12 cm² olduğuna göre, kenar uzunluğu \sqrt{12} cm’dir. Sonraki karelerin kenar uzunluğu ise bir öncekinden %50 azaldığı için alanı 1/4 oranında azalır.

Bu durumda alanlar dizisi:

12, 12 \times \frac{1}{4}, 12 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2, 12 \times \left(\frac{1}{4}\right)^3, \dots

İlk 16 terimin toplamı, ilk terimi a=12, ortak oranı r = \frac{1}{4} olan geometrik dizinin toplamı formülü ile:

S_{16} = a \frac{1 - r^{16}}{1 - r} = 12 \times \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{16}}{1-\frac{1}{4}} = 12 \times \frac{1 - \frac{1}{4^{16}}}{\frac{3}{4}} = 12 \times \frac{4}{3} \times \left(1 - \frac{1}{4^{16}}\right)

Buradan:

S_{16} = 16 \times \left(1 - \frac{1}{4^{16}}\right) = 16 - \frac{16}{4^{16}} = \frac{4^{2}}{1} \times \left(1 - \frac{1}{4^{16}}\right) \quad \text{(çarpan olarak)}

Ama sorunun şıklarına uyum açısından 16 = 4^2 olarak açalım ve eşitleyelim:

S_{16} = 4^2 - \frac{4^2}{4^{16}} = 4^2 - 4^{2-16} = 4^2 - 4^{-14}

İfade buna göre düzenlenebilir fakat sorudaki şıklar üs açısından farklı gösterilmiş. Şıkları dikkatlice inceleyelim:

Seçenekler şunlar:
A) \frac{4^{15}-1}{4^{12}}
B) \frac{4^{16}-1}{4^{12}}
C) \frac{4^{16}-1}{4^{14}}
D) 4^{16} - 1
E) 4^{17} - 2

Sizin toplam ifadeniz şu haliyle [
S_{16} = 16 \times \left(1 - \frac{1}{4^{16}}\right) = 16 - \frac{16}{4^{16}}
]

Bunu ortak paydada yazalım:

S_{16} = \frac{16 \times 4^{16} - 16}{4^{16}} = \frac{16(4^{16} -1)}{4^{16}}

Buradan akla gelen \frac{4^{16}-1}{4^{14}} ifadesi, çünkü 16 = 4^2 olduğundan çoğaltılmış olabilir. Şık C’yi açarsak:

\frac{4^{16} - 1}{4^{14}} = 4^{2} - \frac{1}{4^{14}} = 16 - 4^{-14}

Bu da bizim bulduğumuz ifadeye eşittir.

Sonuç:

Toplam alanların ilk 16’sı:

S_{16} = \frac{4^{16} -1}{4^{14}}

Cevap C seçeneği’dir.

İçindekiler

  1. Problemin Analizi ve Geometrik Dizi
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

Problemin Analizi ve Geometrik Dizi

Karenin alanı ilk başta 12 cm² ve bir sonraki kare, öncekinin kenar uzunluğunun %50’si olacağından alanı (0.5)^2 = 0.25 katı olur. Yani her adımda alan dizi a, a r, a r^2, a r^3, \dots şeklinde ve

  • a = 12
  • r = \frac{1}{4}

İstenen, ilk 16 terimin toplamıdır. Bu toplam için geometrik dizi toplam formülü kullanılır:

S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}

Adım Adım Çözüm

  1. a = 12, r = \frac{1}{4}, n=16
  2. Formülde yerine koy:
S_{16} = 12 \times \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{16}}{1 - \frac{1}{4}} = 12 \times \frac{1 - \frac{1}{4^{16}}}{\frac{3}{4}} = 12 \times \frac{4}{3} \left(1 - \frac{1}{4^{16}}\right)
  1. Hesapla:
12 \times \frac{4}{3} = 16
  1. Toplam:
S_{16} = 16 \times \left(1 - \frac{1}{4^{16}}\right) = 16 - \frac{16}{4^{16}}
  1. 16 = 4^2, o halde:
S_{16} = 4^2 - 4^{2 - 16} = 4^2 - 4^{-14} = \frac{4^{16} -1}{4^{14}}

Özet Tablo

Adım Değer
İlk karenin alanı, a 12 cm²
Azalma oranı, r \frac{1}{4}
Terim sayısı, n 16
Toplam alan (geometrik dizi formülü) 12 \times \frac{1 - (1/4)^{16}}{1 - 1/4} = \frac{4^{16}-1}{4^{14}}
Doğru cevap C şıkkı

Sık Sorulan Sorular

1. Karenin alanı nasıl %50 azalır?
Kenarı %50 azaldığında alan kenarın karesi olduğundan (0.5)^2 = 0.25 yani %25 olur. Yani alan %75 oranında azalır, %25’si kalır.

2. Geometrik dizi toplamı neden kullanılır?
Alanlar art arda, her seferinde aynı oranda (bu soruda 1/4) azaldığı için terimler geometrik dizi şeklindedir. İlk n terim toplamı formülüyle alanların toplamı direkt bulunur.

3. Karşılaştırma için kenar uzunlukları ne olur?
İlk kenar: \sqrt{12}, sonra \sqrt{12} \times 0.5, sonra yine %50 azalarak devam eder.

Sonraki Adımlar

İsterseniz bu tip geometrik dizi problemlerini hızlı çözme yöntemlerini içeren bir rehber hazırlayabilirim ya da farklı azalma oranlarında toplam nasıl bulunur anlatayım. Hangisini tercih edersiniz?

@Jelly

3

Bu karelerden ilk 16 tanesinin alanları toplamı kaç cm²’dir?

Anahtar Noktalar:

  • Başlangıç alanı: 12 cm²
  • Ortak oran (alan): r = \tfrac{1}{4} (kenar uzunluğu her defasında %50 azalır → alan 0{,}5^2=0{,}25 katına iner)
  • Geometrik seri toplamı: S_n = a\frac{1 - r^n}{1 - r}

İlk 16 karenin alanlar toplamı

\frac{4^{16} - 1}{4^{14}}

cm²’dir.

İçindekiler

  1. Geometrik Seri ve Toplamı
  2. Çözüm Adımları
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Geometrik Seri ve Toplamı

Başlangıç alanı a = 12 cm², ortak oran r = \tfrac{1}{4}.
Sonlu n terimli geometrik serinin toplamı

S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \,.

n = 16 için:

S_{16} = 12 \cdot \frac{1 - (1/4)^{16}}{1 - 1/4} = 12 \cdot \frac{1 - 1/4^{16}}{3/4} = 16\Bigl(1 - \frac{1}{4^{16}}\Bigr) = \frac{4^{16} - 1}{4^{14}}.

Çözüm Adımları

  1. İlk kare alanı A_1 = 12 cm².
  2. Her yeni karenin alanı A_{k+1} = (0{,}5)^2 A_k = \tfrac{1}{4}A_k olacak şekilde geometrik dizi oluşturur.
  3. Toplam formülüne a=12, r=\tfrac{1}{4}, n=16 değerlerini yerleştirip sadeleştirilir.

Alan ve Kenar Azalma Oranları

Kavram Oran (r)
Kenar Uzunluğu 1/2
Alan 1/4

Özet Tablosu

Terim Değer
a 12 cm²
r 1/4
n 16
S_n \frac{4^{16} - 1}{4^{14}} cm²

SSS

  1. Geometrik serinin n terimli toplam formülü nedir?
    Cevap: S_n = a\,\frac{1 - r^n}{1 - r}.

  2. r<1 ise sonsuz terimli toplam nasıl bulunur?
    Cevap: S_\infty = \frac{a}{1 - r}.

  3. Alan oranının r = \tfrac{1}{4} olduğunu nasıl anlarız?
    Cevap: Yeni karenin kenarı önceki karenin kenarının %50’si olduğundan, alanı 0{,}5^2 = 0{,}25 katına iner.

  4. 4^{16} sayısını hızlı nasıl hesaplarız?
    Cevap: 4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}; hesap makinesi veya ikili üs tablosuyla bulunur.

Başka bir geometrik dizi problemi çözmek ister misiniz? @Jelly