!IMG_20250916_230908|375x500 [Link Silindi]
Şekilde f(x) = a^{-x} + b üstel fonksiyonunun grafiğine göre; a + b toplamı kaçtır?
Cevap:
Adım adım çözüm:
-
Grafikte görüldüğü üzere x=0 noktasında fonksiyonun değeri f(0)=3 olarak verilmiş. Fonksiyon formülüne x=0 koyarsak:
f(0)=a^{0}+b=1+b
Buna göre
1+b=3 \Rightarrow b=2. -
Grafikte ayrıca x=-2 için f(-2)=11 olduğu gösterilmiş. Formüle x=-2 koyarsak:
f(-2)=a^{-(-2)}+b=a^{2}+b.
Bildiğimiz b=2 değerini yerine koyarsak:
a^{2}+2=11 \Rightarrow a^{2}=9 \Rightarrow a=3
(Üstel fonksiyonun tabanı pozitif olmalıdır, bu yüzden a=-3 kabul edilmez.) -
Sonuç olarak
a+b=3+2=5.
Özet tablo:
| Nokta | Bilgi | Denklem |
|---|---|---|
| x=0 | f(0)=3 | 1+b=3 \Rightarrow b=2 |
| x=-2 | f(-2)=11 | a^{2}+b=11 \Rightarrow a^{2}=9 \Rightarrow a=3 |
| Toplam | a+b=3+2=5 |
Doğru seçenek: D) 5
Şekilde verilen f(x) = a^{-x} + b üstel fonksiyonunun a + b toplamı kaçtır?
Cevap:
Verilenler:
- Fonksiyon:
f(x) = a^{-x} + b
- Grafik üzerinde:
- f(0) = 11
- f(-2) = 3
Amaç:
- a + b toplamını bulmak.
Adım 1: f(0) değerini kullanma
x=0 için fonksiyon:
f(0) = a^{-0} + b = a^0 + b = 1 + b
Verilen bilgiye göre:
f(0) = 11
Dolayısıyla:
1 + b = 11 \implies b = 10
Adım 2: f(-2) değerini kullanma
x = -2 için fonksiyon:
f(-2) = a^{-(-2)} + b = a^{2} + b
Grafikten:
f(-2) = 3
Yerine koyarsak:
a^2 + b = 3
Bulduğumuz b=10 değerini yerine koyarsak:
a^2 + 10 = 3
a^2 = 3 - 10 = -7
Burada bir sorun var; çünkü a^2 negatif olamaz. Bu durumu tekrar inceleyelim.
Adım 3: Fonksiyonun doğru ifadesini kontrol etme
Soruda verilen fonksiyon:
f(x) = a^{-x} + b
Ancak fonksiyonun gösterimi yanlış olabilir, üstel fonksiyonlarda genellikle taban sabit pozitif olur (örneğin, a > 0). Burada a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x şeklinde yorumlanabilir.
Alternatif olarak fonksiyonu şu şekilde yazalım:
f(x) = a^{-x} + b = \left(\frac{1}{a}\right)^x + b
Yukarıdaki işlemde k = \frac{1}{a} olarak tanımlayalım. Böylece:
f(x) = k^x + b
Yeni fonksiyon şu şekildedir:
f(x) = k^x + b
Şimdi verilen noktaları kullanarak k ve b'yi bulalım.
Adım 4: $f(0) = 11$’den $b$’yi bulalım:
f(0) = k^0 + b = 1 + b = 11 \implies b = 10
Adım 5: $f(-2) = 3$’den $k$’yı bulalım:
f(-2) = k^{-2} + b = \frac{1}{k^2} + b = 3
Yerine b=10 koyarsak,
\frac{1}{k^2} + 10 = 3 \implies \frac{1}{k^2} = 3 - 10 = -7
Yine \frac{1}{k^2} negatif çıkıyor, bu mümkün değil.
Adım 6: Grafik değerlerini tekrar inceleyelim
Fotoğrafta şu noktalar verilmiş:
- x = 0 için y = 11
- x = -2 için y = 3
Grafik azalan bir fonksiyon çiziyor. Fonksiyonun genel ifadesi f(x) = a^{-x} + b olduğuna göre, bu fonksiyonun nasıl azaldığını anlamak için a ve b hakkında çıkarımlar yapalım.
Eğer a > 1 ise;
- x artarken, a^{-x} azalır (çünkü negatif üstlü üstel ifadede a^{-x} = (1/a)^x, yani azalan fonksiyon olur).
- b ise fonksiyonun y-ekseni kesişim noktasında sabit bir dikey kaymadır.
Adım 7: Doğru şekilde sistem kurma
Verilen fonksiyonda a^{-x} = (1/a)^x şeklindedir.
Tekrar yazalım:
f(x) = \left(\frac{1}{a}\right)^x + b
Şuna dikkat edelim:
- f(0) = \left(\frac{1}{a}\right)^0 + b = 1 + b = 11 \implies b = 10
- f(-2) = \left(\frac{1}{a}\right)^{-2} + b = a^{2} + b = 3
Burada f(-2) = 3 olduğu için, a^2 + b = 3.
$f(0)$’dan b=10
Buna göre:
a^2 + 10 = 3 \implies a^2 = -7
Bu mümkün değil.
Adım 8: a yerine başka bir ifade alalım
Sorunun fonksiyon ifadesinde bir yazım hatası olabilir. Genellikle üstel fonksiyonlar f(x) = a^{x} + b şeklinde yazılır. Fotoğrafa ve verilen bilgilere göre fonksiyonun şu olması daha mantıklı:
f(x) = a^{x} + b
Fonksiyonun grafiği azalan bir fonksiyon, bu da 0 < a < 1 anlamına gelir.
Yeni sistem:
- f(0) = a^0 + b = 1 + b = 11 \implies b=10
- f(-2) = a^{-2} + 10 = 3 \implies a^{-2} = 3 - 10 = -7
Yine negatif sonuç çıkıyor.
Bu durumda; ya sorudaki eksponent işaretinde hata var ya da grafik üzerine dikkat etmeliyiz.
Adım 9: Grafik üzerinde f(-2) = 11, f(0)=3 olabilir mi?
Grafikte x=0 noktasında y=3 ve x=-2 noktasında y=11 ise;
- f(0) = 3
- f(-2) = 11
Bunu deneyelim:
- f(0) = a^{-0} + b = 1 + b = 3 \implies b = 2
- f(-2) = a^{2} + b = 11
b=2 olduğuna göre:
a^2 + 2 = 11 \implies a^2 = 9 \implies a = 3 \quad (\text{pozitif kabul ediyoruz})
Adım 10: Toplamı hesaplayalım
a + b = 3 + 2 = 5
Sonuç:
a + b = 5
Özet Tablosu
| Nokta | Koordinat | Fonksiyon İfadesi | Eşitlik | Bulunan Değer |
|---|---|---|---|---|
| f(0) | (0,3) | 1 + b = 3 | b = 2 | b = 2 |
| f(-2) | (-2,11) | a^{2} + b = 11 | a^{2} + 2 = 11 \implies a=3 | a = 3 |
| Toplam | a + b | 5 |
Sonuç:
a + b toplamı 5’tir. Doğru cevap: D şıkkı.