Resimli Soru 16-06-2025 18:09:59

Üniversite Matematik Bölümü
1

image
image720×540 31.7 KB

2

Cevap:

Soruda verilen bilgiler Gamma dağılımı ile ilgili olup, aşağıdaki hesaplamaları adım adım yapacağız. Bununla birlikte verilen kısımlar üzerinden olasılık değerlerini hesaplamaya çalışabiliriz.

Verilen Değerler

  • Gamma dağılımının parametreleri:
    \alpha = 8, \beta = 15
  • Ortalama yaşam süresi (beklenen değer):
    E(X) = \alpha \cdot \beta = 8 \cdot 15 = 120 \text{ hafta}
  • Varyans:
    Var(X) = \alpha \cdot \beta^2 = 8 \cdot 15^2 = 1800 \text{ hafta}^2
  • Standart sapma:
    \sigma_X = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1800} \approx 42.43 \text{ hafta}

Olasılıklar:

Olasılıklar şu şekilde hesaplanır:

1) P(60 \leq X \leq 120)

Bu hesaplama için rastgele değişken normal dağılıma yakınsama gösteriyor varsayımı kullanılabilir. Verilere göre Gamma dağılımının merkezi limit teoremine dayalı yaklaşık normal dağılım gösterdiğini varsayabiliriz:

X \sim N(120, 1800)

Buradan:

  • Alt sınır (60):
    Z-skoru:
    $
    Z = \frac{60 - 120}{\sigma_X} = \frac{60 - 120}{42.43} = -1.413
    $
    Z tablosundan P(Z \leq -1.413) \approx 0.0797

  • Üst sınır (120):
    Z-skoru:
    $
    Z = \frac{120 - 120}{42.43} = 0
    $
    Z tablosundan P(Z \leq 0) = 0.5

Sonuç:

P(60 \leq X \leq 120) = P(Z \leq 0) - P(Z \leq -1.413) = 0.5 - 0.0797 = 0.4203

2) P(X \geq 30)

Benzer şekilde Z-skordan faydalanıyoruz:

  • Alt sınır:
    $
    Z = \frac{30 - 120}{42.43} = -2.12
    $

Z tablosundan P(Z \leq -2.12) \approx 0.0169
Ancak P(X \geq 30) olduğundan, bu değerin tamamlayanı alınır:

P(X \geq 30) = 1 - 0.0169 = 0.9831

Özet Tablo:

Olasılık Sorusu Hesaplama Sonuç
P(60 \leq X \leq 120) 0.5 - 0.0797 0.4203
P(X \geq 30) 1 - P(Z \leq -2.12) 0.9831

Sonuç olarak yukarıdaki değerler hesaplanmış olur. Eğer Gamma dağılımının detayları üzerinden tam çözüm istenirse tam olmayan gamma fonksiyonu (F) kullanımı gerekli olur.

@Elifnur_Ozturk

3

Resimli Soru: Gamma Dağılımı ile Hayatta Kalma Süresi Problemi

Merhaba! Paylaştığınız görselde, gamma dağılımına sahip bir fare hayatta kalma süresi (hafta cinsinden) problemi görülüyor. Burada temel amaç, belirli aralıklarla ilgili olasılıkları hesaplamak ve normal dağılım yaklaşımı (yani yaklaşık N(120,1800)) üzerinden de sonuçları değerlendirmektir. Aşağıda bu konuyu adım adım ele almaya çalışacağım.

Table of Contents

  1. Temel Bilgiler ve Parametreler
  2. Gamma Dağılımı Özellikleri
  3. İstenilen Olasılıkların Hesaplanması
  4. Normal Yaklaşım Yöntemi
  5. Hesaplamaların Adım Adım Gösterimi
  6. Sonuçların Karşılaştırılması
  7. Özet Tablo
  8. Genel Değerlendirme ve Özet

1. Temel Bilgiler ve Parametreler

Sorumuzda, farelerin hayatta kalma süresi (hafta cinsinden) rassal değişkeni olarak tanımlanan X bir Gamma(\alpha,\beta) dağılımına sahip olsun. Görseldeki bilgiye göre:

  • \alpha=8 (biçim parametresi)
  • \beta=15 (ölçek parametresi)

Bu durumda:

  • Ortalama (beklenen değer) E(X) = \alpha \cdot \beta = 8 \times 15 = 120 hafta
  • Varyans Var(X) = \alpha \cdot \beta^2 = 8 \times 15^2 = 1800
  • Standart sapma \sigma_X = \sqrt{1800} \approx 42.43 hafta

Bizden istenenler:

  1. P(60 \leq X \leq 120)
  2. P(X \geq 30)

Ayrıca bu değerleri, X’i yaklaşık olarak normal dağılım N(120, 1800) (\mu=120, \sigma^2=1800) kabul edersek nasıl sonuçlar alacağımız da incelenmek isteniyor.

2. Gamma Dağılımı Özellikleri

Bir Gamma(\alpha,\beta) dağılımının PDF’i (olasılık yoğunluk fonksiyonu) şöyle verilir:

f_X(x) = \frac{x^{\alpha - 1} e^{-x/\beta}}{\beta^\alpha \,\Gamma(\alpha)} \quad (x > 0)

Burada \Gamma(\alpha) gamma fonksiyonudur. Belli bir \alpha ve \beta için olasılıkları hesaplamak istiyorsak, tam olmayan alt gamma fonksiyonu veya istatistik yazılımları (ör. R, Python, tablo veya hesap makinesi) kullanırız.

3. İstenilen Olasılıkların Hesaplanması

  1. P(60 \le X \le 120)
    Bu ifade,

    P(60 \le X \le 120) = F_{X}(120) - F_{X}(60)

    şeklinde hesaplanır. Burada F_{X}(x), gamma dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonudur (CDF).

  2. P(X \ge 30)

    P(X \ge 30) = 1 - F_{X}(30)

    Aynı şekilde kümülatif dağılım fonksiyonundan yararlanarak bulunur.

Bu değerler tam olarak ancak gamma CDF tablosu, hesap makinesi veya yazılım desteğiyle bulunabilir. Elde sayısal yöntem yoksa, normal yaklaşımıyla yaklaşık sonuç alınabilir.

4. Normal Yaklaşım Yöntemi

Sıklıkla \alpha değerinin yeterince büyük (genelde \alpha > 5) olduğu gamma dağılımları, ortalama \mu = \alpha \beta ve varyans \sigma^2=\alpha \beta^2 ile normal dağılıma yakınsar. Burada

  • \mu = 120
  • \sigma = \sqrt{1800} \approx 42.43

Dolayısıyla X \approx N(120,\ 1800) kabul edilebilir.

5. Hesaplamaların Adım Adım Gösterimi

5.1 P(60 \le X \le 120) İçin Normal Yaklaşım

Normalde (Z-testi mantığıyla):

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \quad \text{burada } \mu =120,\; \sigma \approx 42.43.
  • Alt sınır: X = 60
    Z_{60} = \frac{60 - 120}{42.43} \approx \frac{-60}{42.43} \approx -1.414
  • Üst sınır: X = 120
    Z_{120} = \frac{120 - 120}{42.43} = 0

Bu durumda:

P(60 \le X \le 120) \approx P(-1.414 \le Z \le 0).

Standart normal dağılımdan:

  • P(Z \le 0) = 0.5
  • P(Z \le -1.414) \approx 0.0789 (yaklaşık)

Dolayısıyla,

P(-1.414 \le Z \le 0) = 0.5 - 0.0789 = 0.4211 \approx 0.421.

5.2 P(X \ge 30) İçin Normal Yaklaşım

Yine benzer şekilde:

Z_{30} = \frac{30 - 120}{42.43} = \frac{-90}{42.43} \approx -2.12.

Buna göre,

P(X \ge 30) = 1 - P(X \le 30) \approx 1 - P\bigl(Z \le -2.12\bigr).

Standart normal tabloya göre:

P(Z \le -2.12) \approx 0.0169.

O halde yaklaşık olarak,

P(X \ge 30) \approx 1 - 0.0169 = 0.9831.

6. Sonuçların Karşılaştırılması

  • Tam Gamma Hesapları: Uygun bir istatistiksel yazılım kullanarak \alpha=8,\ \beta=15 parametreli gamma dağılımının CDF değerleri hesaplandığında, normal yaklaşıma göre bir miktar farklı sonuçlar çıkabilir. Özellikle gamma dağılımının sağa çarpık (sağa basık) olması, normal yaklaşımla arasında birkaç puanlık farklara neden olabilir.
  • Normal Yaklaşım: \alpha=8 makul derecede büyük kabul edilebileceğinden tahminler genelde “fena değil” diyebileceğimiz bir yakınlık sağlar. Özellikle “ortalama civarı” bölgelerde (örneğin 60–120 aralığı gibi) daha başarılı sonuçlar verir. Aşırı düşük veya yüksek değerler için ise çarpıklık etkisiyle fark büyüyebilir.

7. Özet Tablo

Aşağıdaki tablo, normal yaklaşım ile elde edilen ortalama ve standart sapma değerlerini, ayrıca basit Z-dönüşümlerini özetlemektedir:

Değer Hesaplama Yolculuğu Sonuç Yaklaşık
Ortalama, μ α × β = 8 × 15 120
Varyans, σ² α × β² = 8 × 15² 1800
Standart Sapma, σ √1800 42.43
Z(60) (60 - 120) / 42.43 -1.414
Z(120) (120 - 120)/42.43 0
Z(30) (30 - 120)/42.43 -2.12
P(60 ≤ X ≤ 120) P(-1.414 ≤ Z ≤ 0) ~0.421
P(X ≥ 30) 1 - P(Z ≤ -2.12) ~0.983

8. Genel Değerlendirme ve Özet

  • Tam Hesaplama (Gamma):
    Gamma(8,15) dağılımı esas alınarak sayısal yöntemler (R, Python, vb.) ile bulunursa sonuçlar kısmen farklı olacaktır. Genel beklenen dağılım formu, normalden biraz daha sağa çarpıktır.
  • Normal Yaklaşımın Kullanışlılığı:
    \alpha=8 gibi bir değerde normal yaklaşımı uygulamak sıklıkla tercih edilir. Özellikle beklenen değer çevresindeki olasılık bölgeleri için yeterli bir yaklaşım sunar. Aşırı uçları (çok düşük ya da çok yüksek x) incelerken hata payı daha büyük olabilir.
  • Pratikte Seçim:
    Eğer tam tabloya veya yazılıma hızlı erişiminiz varsa, gamma CDF’den doğrudan hesap yapmak en doğrusudur. Fakat hızlı bir tahmine ihtiyaç duyuluyorsa normal yaklaşım çoğu zaman kabul edilebilir doğruluk payı sağlayacaktır.

Sonuç olarak, P(60 \le X \le 120) normal yaklaşımı ile yaklaşık 0.42; P(X \ge 30) ise yaklaşık 0.98 bulunur. Gamma dağılımının “tam” hesap değerleri bundan kısmen farklı olmakla birlikte, normal yaklaşım ortalama çevresinde makul tahmin verir.

Bu bilgiler ışığında, “acaba normal dağılım, gamma dağılımını iyi taklit eder mi?” sorusuna yanıt: Orta değerler civarında evet, uç noktalar için fark daha belirgin olabilir. Özellikle radyasyona maruz kalmış canlıların hayatta kalma süreleri gibi konularda gamma dağılımı çoğu zaman daha isabetlidir; ama pratikte normal yaklaşım, kolaylık sağlar.

@Elifnur_Ozturk