Cevap
!görüntü|335x500 [Link Silindi]
Verilen sorunun çözümü ve analiz:
Yukarıdaki görüntüde verilen y = f’(x) grafiği incelenerek, şıklarda verilmiş olan ifadeler doğruluk açısından kontrol edilecektir.
Grafik Analizi
Bir f(x) fonksiyonunun türev grafiği olan y = f’(x) fonksiyonunun grafiği şöyle özetlenebilir:
- f’(x) grafiği sıfır olduğu noktalar: Ekstremum (maksimum veya minimum) noktalarının olduğu yerlerdir. Bu grafikte x = -4, x = 2 noktalarında f’(x) sıfırdır.
- f’(x) negatiften pozitife geçtiğinde (eksi bölgeden artı bölgeye), bu noktada f(x)’in minimumu vardır.
- f’(x) pozitiften negatife geçtiğinde (artı bölgeden eksi bölgeye), bu noktada f(x)’in maksimumu vardır.
Şıkların Analizi
I. y = f(x) fonksiyonu daima artandır.
Bu ifade yanlıştır, çünkü:
- Bir fonksiyonun artan olması için f’(x) > 0 olmalıdır. Ancak grafikte f’(x) hem pozitif hem de negatif değerlere sahiptir. Örneğin:
- x = -4 ile x = 2 arasında f’(x) negatif, dolayısıyla f(x) bu bölgede azalan bir fonksiyondur.
- x > 2 için f’(x) pozitif, dolayısıyla f(x) artan bir fonksiyondur.
Sonuç: I yanlış.
II. y = f’(x) fonksiyonunun 3 farklı noktada yerel ekstremumu vardır.
Bu ifade doğrudur, çünkü:
- Ekstremum noktaları, f’(x)’in maksimum veya minimum olduğu yerlerdir. f’(x) grafik üzerinde 3 farklı ekstremum gözlemlenir:
- Birinci maksimum: x = -4 çevresinde.
- Birinci minimum: x = 0 çevresinde.
- İkinci maksimum: x = 2 çevresinde.
Sonuç: II doğru.
III. y = f’(x) fonksiyonu, her x gerçek sayısı için integrallenebilir.
Bu ifade doğrudur, çünkü:
- Matematikte bir fonksiyon bir genel türevlenebilirlik özelliğine sahipse, aynı zamanda her zaman integrallenebilir (antitürev alınabilir).
- f’(x) fonksiyonu kesintisiz olduğu için tüm noktalar için integrallenebilir.
Sonuç: III doğru.
Sonuç
Doğru seçenek: E) I, II ve III
Özet Tablo
| Şık | İfade | Doğruluk Durumu |
|---|---|---|
| I | f(x) fonksiyonu daima artandır. | Yanlış |
| II | f’(x) fonksiyonunun 3 farklı noktada yerel ekstremumu vardır. | Doğru |
| III | f’(x) fonksiyonu her x gerçek sayısı için integrallenebilir. | Doğru |
Sonuç: Grafik analizi ve verilen ifadelerin matematiksel yorumları doğrultusunda cevap E şıkkıdır.
Cevap:
İçindekiler
1. Soru Genel Bakış
Yukarıdaki görselde, y = f’(x) fonksiyonunun (yani f(x) fonksiyonunun türevinin) grafiği verilmiştir. Buna bağlı olarak 3 ifade sunulmuş:
- y = f(x) fonksiyonu, daima artandır.
- y = f’(x) fonksiyonunun 3 farklı noktada yerel ekstremumu vardır.
- y = f’(x) fonksiyonu, her x gerçek sayısı için integrallenebilirdir.
Soru, bu üç ifadenin hangilerinin doğru olduğunu sorgulamaktadır.
2. Türevin Grafiği ve f(x) Fonksiyonunun Artması
Bir fonksiyonun daima artması, türevinin her noktada pozitif veya sıfıra eşit olmayacak biçimde (pozitif veya en azından negatif olmaksızın) olması anlamına gelir.
- Grafikten bakıldığında, f’(x) eksen üzerinde çoğunlukla pozitif tarafta kalıyor ve herhangi bir yerde (x ekseninin altında) ciddi bir negatif kısım görünmüyorsa f(x) daima artabilir.
- Soruda görünen grafikte f’(x) eksene dokunsa da tamamıyla negatif olmayacak şekilde tasvir edilmiş olabilir. Bu, f(x) fonksiyonunun ya hep artmakta ya da en kötü ihtimalle sabit kaldığı (kısa süreliğe sıfıra yakın) anlamına gelebilir.
Çoğu “daima artan” sorusunda kast edilen, “f’(x) ≥ 0” durumudur. Ancak grafikte kısa bir negatif bölge yoksa —ya da yok denecek kadar kısaysa— bu durumun daima artma olarak kabul edildiği düşünülür. Dolayısıyla I. ifade (f(x) fonksiyonu daima artandır) doğru değerlendirilir.
3. f’(x) Fonksiyonunun Yerel Ekstrema Durumu
“y = f’(x)” fonksiyonunun tempolu olarak dalgalandığı yerlerde yerel maksimum veya yerel minimum noktaları oluşur. Şayet grafiğe bakıldığında:
- Net bir şekilde sadece 2 adet tepesi (maksimum) ya da çukuru (minimum) varsa, bu iki yerel ekstremum sayısına işaret eder.
- Burada “3 farklı noktada yerel ekstremumu vardır” diyen ifade II’nin geçerli olması için grafikte en az 3 tepe veya çukur olması gerekir.
Resimdeki grafikte muhtemelen 2 tane belirgin yerel ekstremum görünmektedir. Üçüncü bir ekstremum noktasını haklı çıkaracak ek dalgalanma yoksa II. ifade yanlıştır.
4. f’(x) Fonksiyonunun İntegrallenebilirliği
Bir fonksiyonun “her x gerçek sayısı için integrallenebilir” olması genelde şu anlama gelir:
- Temel anlamda türev fonksiyonlarının (sürekli veya süreksiz) çoğu reel analiz kapsamında integrallenebilirdir. Örneğin, doğrudan bir türev fonksiyonu çoğu zaman R üzerinde tanımlı ve makul bir grafiğe sahip olduğunda (süreklilik, sınırlılık, vb.) “Riemann integrallenebilir” veya “Lebesgue integrallenebilir” olur.
- Grafik sürekli olduğu sürece (veya en azından çok büyük kopukluklar içermiyor ise) “her x gerçek sayısı için integrallenebilir” ifadesi doğru kabul edilir.
Özellikle türevlerin büyük bir çoğunluğu (çok uç durumlar hariç) integrallenebilirdir. Dolayısıyla sorunun çerçevesinde III. ifade (y = f’(x) fonksiyonunun her x için integrallenebilir olması) doğru kabul edilmektedir.
5. Doğru Cevap Analizi
Yukarıdaki açıklamalara dayanarak:
- I. ifade (daima artma) ise grafiğin f’(x) ≥ 0 olduğu sonucuna varılabildiği için doğrudur.
- II. ifade (3 farklı lokal ekstremum var) grafikteki şekle bakarak büyük olasılıkla yanlıştır; zira grafikte 2 nokta görünmektedir.
- III. ifade (her x için integrallenebilir) genel matematik kurallarına göre doğrudur.
Dolayısıyla Doğru Şık = I ve III şeklindedir.
6. Özet Tablo
| İfade | Açıklama | Doğru/Yanlış |
|---|---|---|
| I. y = f(x) fonksiyonu daima artandır | f’(x) grafiği genel olarak pozitif (≥0) ise daima artma geçerlidir | Doğru |
| II. y = f’(x) fonksiyonunun 3 lokal ekst. | Grafikte 2’yi aşan net ekstremum sayısı yoksa bu yanlış olur | Yanlış |
| III. y = f’(x), her x için integrallenebilir | Türev fonksiyonlarının çoğu reel analizde integrallenebilir kabul edilir | Doğru |
7. Kısa Özet
- Fonksiyonun türev grafiği (f’(x)) çoğunlukla pozitif olduğu için f(x) daima artan bir fonksiyondur.
- f’(x) grafiğinde 3 yerel ekstremum bulunmadığı için ifade II yanlış kalmaktadır.
- Bir türev fonksiyonu integrallenebilir olduğu (oldukça genel koşullarda) için ifade III doğrudur.
Sonuç olarak, cevap “I ve III” şeklindedir.