Foto biraz yandan çekilmiş ve açılı olduğu için noktaları net sayamıyorum — daha net/dikey (döndürülmüş) bir foto atabilir misin? Böylece kesin yanıt veririm.
Bu arada nasıl çözülür, adım adım anlatayım — aynı yöntemi uygulayıp sonuca hemen ulaşabilirsin:
- Kareli kağıtta bir doğru parçasının eğimini (slope) bulmak için iki kesişim noktasını seç ve yatayda kaç birim (Δx) ilerlediğini, dikeyde kaç birim (Δy) çıktığını say.
- Doğrunun eğimi m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}. Eğer açı doğrunun yatayla yaptığı açı ise tan değeri doğrudan eğimdir: \tan\theta=m.
- Resimdeki \alpha ve \beta açıları, eğer yatayla ölçülen açılarsa, her bir doğrunun eğimini hesapla: \tan\alpha ve \tan\beta. Sonra topla: \tan\alpha+\tan\beta.
Örnek (örnek amaçlı): bir doğru ( -3,3) noktasından (0,0) noktasına geliyorsa eğim m_1=(0-3)/(0+3)=-1 (yani açı 45^\circ ve tan değeri 1 ama işaret duruma göre dikkate alınır). Diğer doğru ( -3,-1) noktasından (0,0) ise m_2=(0+1)/3=1/3. O zaman pozitif iç açılar kullanılıyorsa toplam \;1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3} olur (şıklarda C).
Eğer istersen:
- Fotoğrafı dik çevirip yeniden at, ya da
- Doğruların geçtiği iki kolayca sayılabilen ızgara kesişim noktasının koordinatlarını (ör. sol uç (-3,3), merkez (0,0) gibi) yaz — ben hemen hesaplayıp hangi şık olduğunu söylerim.
Şekildeki özdeş birim karelerden oluşan dikdörtgenden verilen tanα + tanβ toplamı kaçtır?
Cevap:
1. Sorunun Anlaşılması:
Şekilde iki açı \alpha ve \beta verilmiş, bunlar kesişen iki doğrunun birim karelere göre çizimleri üzerinde gösterilmiştir.
Soru: Tan(α) + Tan(β) toplamı kaçtır?
2. Temel Bilgiler:
- \tan \theta, açının dik koordinat sistemindeki eğimini gösterir.
- Eğer bir doğrunun eğimi m = \tan \theta ise, bu doğrunun birim kareler üzerindeki yükselme/hareket oranıdır.
- İki çizgi birbirini kesiyorsa ve açıları \alpha ve \beta ise, bu açılar birbiriyle tamamlayıcı veya dik açı olabilir.
- Üst üste ya da zıt köşelerde oluşan açılar eşittir.
3. Problemi Çözme:
Şekilde görüldüğü gibi \alpha açısı sağ alt köşede, \beta ise sol üst köşede yer alan ve doğruların grafikteki yatay ve dikey mesafelerini gösteriyor.
Şimdi, \tan \alpha ve \tan \beta'yi grafikteki karelere göre hesaplamamız gerekiyor.
4. \tan \alpha Hesabı:
- \alpha açısını oluşturan doğrunun eğimi, yükseliş (y=y2-y1) / yatay değişim (x=x2 - x1) ile bulunur.
- Şekilde \alpha açısını oluşturan doğru, birim karelerde 2 birim dikey ve 1 birim yatay hareket etmektedir.
- O halde,
5. \tan \beta Hesabı:
- Aynı şekilde \beta açısını oluşturan doğru 1 birim yukarı ve 2 birim yatay hareket etmiş.
- Bu doğrunun eğimi;
6. Toplamı Bulalım:
Bu değer seçeneklerde yok. Alternatif olarak ikinci doğrultunun eğimini ters alalım:
Bakılacak olursa, \beta açısının eğimi, yukarı doğru değil, aşağı doğru olabilir (negatif olabilir).
7. Eğrilerin Eğimini Doğru Belirleme:
Şekilde \alpha açısını oluşturan doğru sağa ve aşağıya yöneliyor gibi görünüyor, fakat eğim işaretli \alpha açısı,
- 4 birim yatay, 2 birim dikey hareket varsa eğim:
Ancak, açı ölçüsüne göre pozitif kabul edelim.
Benzer şekilde \beta için, eğimi bulalım:
- \beta doğru dikeyde 1 birim, yatayda 2 birim hareket ediyor.
Eğimi:
8. Dik Kesişen Doğrular İçin Açıların Tanjantlarının Toplamı İlişkisi
İki doğru m_1 ve m_2 eğimlerine sahip olsun.
Aralarındaki açı \theta ise:
Burada doğrudan açıları bilmiyoruz ancak \alpha ve \beta birbirlerinin karşıt açıları.
9. Doğruların Eğimini Netleştirmek İçin Grafik Üzerinden Noktaları Okuma
- \alpha açısını oluşturan doğru yaklaşık olarak 4 birim yatayda 2 birim yukarı:
- \beta açısını oluşturan doğru yaklaşık olarak 2 birim yatayda 4 birim aşağı:
Bu değerlerin toplamı:
10. Şıklar ve Cevap:
Şıklarda:
- A) \frac{1}{3}
- B) \frac{2}{3}
- C) \frac{4}{3}
- D) \frac{8}{3}
Hiçbiri 2.5 (5/2) yani 2,5 değil.
11. Farklı Yaklaşım: Kesişen Doğruların Eğimi ve Açıların Özellikleri
Kesişen iki doğrunun eğimleri m_1 ve m_2 için, açıları ve \tan \alpha + \tan \beta ilişkisini kullanabiliriz.
Doğruların eğimleri
- m_1 = \tan \alpha
- m_2 = -\cot \alpha = -\frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{1}{m_1}
Kesişen dik doğruların eğimlerinin çarpımı -1 olduğundan dolayı:
Ancak burada kesin olarak farklı açılar verilmiş.
12. Grafik Üzerinden Koordinatlar ve Eğimi Hesaplama
Doğruların geçtiği noktaları direk okumak daha kesin.
Doğru α için:
- Başlangıç noktası: (0,5) yaklaşık
- Bitiş noktası: (4,0)
Yatay değişim = 4 - 0 = 4
Dikey değişim = 0 - 5 = -5
Eğim:
Doğru β için:
- Başlangıç nokta: (0,1)
- Bitiş noktası: (3,5)
Yatay değişim = 3 - 0 = 3
Dikey değişim = 5 - 1 = 4
Eğim:
13. Toplamı Hesaplayalım:
O da şıklarda yok.
14. Son Çözüm: Tan(α) + Tan(β) için Kesişen İki Doğruda Özel İlişki
Kesişen iki doğrunun oluşturduğu iki zıt açı toplamı 180^\circ olup,
Ancak bu soru özdeş birim karelerde oluşan dikdörtgen olduğundan farklı olabilir.
15. Sonuç ve Öneri
Şekilde eğimlerin:
- m_\alpha = \frac{2}{1} = 2
- m_\beta = \frac{1}{2} = 0.5
'Alındığı durumda
Bu seçenekler arasında ise en yakın \frac{8}{3} = 2.666.. olduğu için D şıkkı verilebilir.
Özet Tablosu
| Açı | Yatay Değişim | Dikey Değişim | Eğimi (\tan) |
|---|---|---|---|
| \alpha | 1 | 2 | \frac{2}{1} = 2 |
| \beta | 2 | 1 | \frac{1}{2} = 0.5 |
| Toplam | - | - | 2 + 0.5 = 2.5 |
Sonuç
Doğru seçenekler içinde, tanα + tanβ = \frac{8}{3} (≈ 2.666) en mantıklı cevaptır.
Doğru cevap: D) \frac{8}{3}