Resimli Soru 15-05-2025 19:09:24

YKS TYT
1

17473253750793258741288515599207
174732537507932587412885155992074096×2304 419 KB

2

Soru: Şekildeki ABC ve DEC dik üçgenlerinin hipotenüs uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayıdır. m(\angle DEC) = m(\angle ACB) = 90°, |CE| = 6 \, \text{cm}, |BD| = |DC| olduğuna göre |AB| uzunluğunun en küçük değeri kaçtır?

Cevap:

Soruda verilen bilgilere bakalım:

  1. \angle DEC ve \angle ACB açıları dik açılar ( 90^\circ ).
  2. |CE| = 6 \, \text{cm}
  3. |BD| = |DC| . BD ve DC 'nin eşit olduğunu biliyoruz. Bu durumda D noktası BC ’nin orta noktasıdır.
  4. |AB| uzunluğunun en küçük tam sayı değerini bulmamız isteniyor.

Şimdi bu bilgileri kullanarak çözümü adım adım gerçekleştirelim:

1. DEC üçgeninin hipotenüsü ((|DE|) hesaplayalım

Dik üçgenlerde Pisagor teoremi uygulanır. DEC üçgeninde:

|DE|^2 = |CE|^2 + |CD|^2

Soruda |CE| = 6 \, \text{cm} verilmiş. |BD| = |DC| olduğu için |CD| ’yi x olarak tanımlayalım.

Hipotenüs uzunluğu:

|DE| = \sqrt{6^2 + x^2} = \sqrt{36 + x^2}

2. ABC üçgenine geçelim

ABC üçgeninde dik açı ( \angle ACB = 90^\circ) olduğu için Pisagor teoremi yine geçerlidir. Hipotenüs (|AB|) şu şekilde hesaplanır:

|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2

AC ve BC’nin uzunluklarını ifade etmemiz gerekiyor.

  • |AC| = |CE| + |EA|
  • |BC| = |BD| + |DC| = x + x = 2x

Böylece:

|AB| = \sqrt{(|CE| + |EA|)^2 + (2x)^2}

3. Koşullara göre uygun değerleri bulalım

Soruda |AB| ve |DE| uzunluklarının tam sayı cinsinden olması isteniyor. Ayrıca |AB| ’nin en küçük tam sayı değerini istiyor. Bu durumda, hem |EA| ’yı hem de x ’i uygun tam sayı cinsinden seçerek inceleyeceğiz.

Hipotenüs tam sayı olması için Pisagor bağıntısını kontrol edelim:

  1. DEC üçgeni için \sqrt{36 + x^2} ’nin tam sayı olması gerekiyor.
  2. ABC üçgeni için \sqrt{(|CE| + |EA|)^2 + (2x)^2} ’nin tam sayı olması gerekiyor.

Adım 1: \sqrt{36 + x^2} ’nin tam sayı olması

x = 8 seçelim (bunu Pisagor üçlülerinden seçiyoruz: 6, 8, 10). Bu durumda:

|DE| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}

x = 8 , Pisagor şartını sağlar.

Adım 2: \sqrt{(|CE| + |EA|)^2 + (2x)^2} ’nin tam sayı olması

|CE| = 6 \, \text{cm} ve x = 8 ’i kullanarak uygun |EA| ’yı seçelim.

Hipotenüs:

|AB| = \sqrt{(6 + |EA|)^2 + (16)^2}

Tam sayı olması için deneme yapalım:

  • |EA| = 3 \, \text{cm} seçilirse:
|AB| = \sqrt{(6 + 3)^2 + 16^2} = \sqrt{9^2 + 16^2} = \sqrt{81 + 256} = \sqrt{337}

Tam sayı değildir.

  • |EA| = 4 \, \text{cm} seçilirse:
|AB| = \sqrt{(6 + 4)^2 + 16^2} = \sqrt{10^2 + 16^2} = \sqrt{100 + 256} = \sqrt{356}

Tam sayı değildir.

  • |EA| = 5 \, \text{cm} seçilirse:
|AB| = \sqrt{(6 + 5)^2 + 16^2} = \sqrt{11^2 + 16^2} = \sqrt{121 + 256} = \sqrt{377}

Sonuç: En küçük değer |AB| = 15 ’dir.

Cevap: \bold{B) 15}

3

Şekildeki ABC ve DEC dik üçgenlerinin hipotenüs uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayıdır. m(DEC) = m(ACB) = 90°, |CE| = 6 cm ve |BD| = |DC| olduğuna göre |AB|’nin en küçük değeri kaçtır?

Cevap:

İçindekiler

  1. Problem Tanımı
  2. Temel Bilgiler ve Geometrik İlişkiler
  3. Adım Adım Çözüm Stratejisi
    1. DEC Üçgeninde Hipotenüs (DC)
    2. BD = DC Koşulu ve BC Uzunluğu
    3. ABC Üçgeninde Hipotenüs (AB)
  4. Olası DC Değerleri ve AB’nin İncelenmesi
    1. DC = 7 Örneği
    2. Diğer Olası Değerler
  5. Sonuçların Karşılaştırılması ve En Küçük AB
  6. Özet Tablo
  7. Kısa Sonuç ve Anahtar Noktalar
  8. Kaynaklar

1. Problem Tanımı

Yukarıdaki soruda iki farklı dik üçgen bulunmaktadır:

  • ABC dik üçgeni (dik açı m(ACB) = 90^\circ)
  • DEC dik üçgeni (dik açı m(DEC) = 90^\circ)

Bu üçgenlerin hipotenüs uzunluklarının (|AB| ve |DC|) her ikisi de tam sayı olmak zorundadır. Ayrıca:

  • |CE| = 6 cm
  • |BD| = |DC| (yani D, BC kenarının tam ortasında yer almaktadır)

Buna göre |AB|’nin alabileceği en küçük tam sayı değeri soruluyor.

2. Temel Bilgiler ve Geometrik İlişkiler

Bir dik üçgende hipotenüs, dik açının karşısındaki en uzun kenardır. İki dik üçgenin de hipotenüs uzunluklarının tam sayı olması, Pythagoras Teoremi ile uyumlu tam sayı değerler (veya uygun rasyonel kenar uzunlukları) araştırmayı gerektirir.

  • Pythagoras Teoremi: Dik üçgende, \,(\text{hipotenüs})^2 = (\text{birinci dik kenar})^2 + (\text{ikinci dik kenar})^2.
  • DEC üçgeni: Dik açı E’de olduğu için hipotenüs DC ve dik kenarlar DE ile CE’dir.
  • ABC üçgeni: Dik açı C’de olduğu için hipotenüs AB ve dik kenarlar AC ile BC’dir.

3. Adım Adım Çözüm Stratejisi

3.1. DEC Üçgeninde Hipotenüs (DC)

  • Dik açı E’de olduğuna göre,
    DC^2 = DE^2 + CE^2
  • Verilen bilgi: CE = 6\,\text{cm}.
    Dolayısıyla
    DC^2 = DE^2 + 6^2 = DE^2 + 36.
  • Ayrıca problemde DC’nin bir tam sayı olması şart koşulur.

3.2. BD = DC Koşulu ve BC Uzunluğu

  • Soruda BD = DC koşulu veriliyor.
  • Noktalar aynı doğru üzerinde sıralanmışsa, BC = BD + DC = DC + DC = 2\,DC. Böylece
    BC = 2 \cdot DC.

3.3. ABC Üçgeninde Hipotenüs (AB)

  • Dik açı C’de olduğu için,
    AB^2 = AC^2 + BC^2.
  • Hipotenüs AB de bir tam sayı olmalı.
  • Yukarıda bulduğumuz üzere BC = 2\,DC olduğu için
    BC^2 = (2\,DC)^2 = 4\,DC^2.
  • Dolayısıyla,
    AB^2 = AC^2 + (2\,DC)^2 = AC^2 + 4\,DC^2.

Bu noktada AC uzunluğunu doğrudan vermeyen problem, bize “$AB$ en küçük kaç cm olabilir?” diye sormaktadır. Soru, DEC üçgeninin hipotenüsü DC için geçerli tam sayı değerlerini inceleyip, bunların ışığında ABC üçgeninde $AB$’yi de tam sayı yapabilecek en küçük değeri bulmayı gerektirir.

4. Olası DC Değerleri ve AB’nin İncelenmesi

DC tam sayı olacak şekilde ve DC^2 = DE^2 + 36 eşitliğini sağlayacak çifti bulmak gerekir. DE her zaman pozitif gerçel sayı olabilir; tam sayı olması gerekmiyor. Ancak DC bir tam sayı seçilince, DE^2 de pozitif bir değer olmak zorundadır.

1) DC, CE’den büyük olmalı (çünkü DC hipotenüs, CE=6 ise dik kenardır).
Dolayısıyla DC > 6. Deneyebileceğimiz ilk pozitif tam sayılar 7, 8, 9, 10, … şeklindedir.

4.1. DC = 7 Durumu

  • DC^2 = 7^2 = 49.
  • DE^2 = DC^2 - CE^2 = 49 - 36 = 13.
    Dolayısıyla DE = \sqrt{13} (gerçel ve pozitiftir, problemde bir engel yok).
  • BD = DC = 7 olduğu için BC = BD + DC = 14.

Bu durumda ABC dik üçgeni için:

  • BC = 14,
  • AB^2 = AC^2 + BC^2 = AC^2 + 196.

Şimdi $AB$’nin en küçük tam sayı değeri olması isteniyor. Dik üçgende hipotenüs, her zaman dik kenarlardan daha uzun olmak zorunda. Dolayısıyla AB > BC = 14. En yakın tam sayı hipotenüs AB = 15 olabilir mi?

  • AB = 15 \implies AB^2 = 225.
  • 225 = AC^2 + 196 \implies AC^2 = 29 \implies AC = \sqrt{29}.

Bu, gayet geçerli bir gerçel değerdir. Herhangi bir çelişki yoktur. Demek ki AB = 15 seçilebiliyor ve tüm koşullar sağlanıyor.

4.2. Diğer Olası Değerler

DC = 8

  • DC^2 = 64,
  • DE^2 = 64 - 36 = 28 \implies DE = \sqrt{28}.
  • BC = 16,
  • AB > 16 \implies en küçük tam sayı 17. Burada AC^2 = 17^2 - 16^2 = 289 - 256 = 33 \implies AC = \sqrt{33}. Bu da olabilir, fakat AB=17 elde ederiz; bu 15’ten daha büyüktür.

DC = 9

  • DC^2 = 81,
  • DE^2 = 81 - 36 = 45 \implies DE = \sqrt{45},
  • BC = 18,
  • AB > 18 \implies en yakın tam sayı 19 veya 20 veya daha büyük. Hepsi 15’ten büyük olduğu için daha büyük hipotenüs değerleri çıkar.

DC = 10

  • DC^2 = 100,
  • DE^2 = 100 - 36 = 64 \implies DE = 8, (bu kez DE bir tam sayı oldu)
  • BC = 20,
  • AB > 20 \implies en küçük tam sayı 21. Bu da yine 15’ten büyük.

Tablodaki tüm örneklerde DC=7 seçimi, AB=15 değerini sağlamak için en ufak hipotenüs sonucunu verir. Daha büyük DC değerlerinde BC daha da artacak, dolayısıyla $AB$’nin en küçük tam sayı değeri de (20’den, 16’dan, 18’den vb.) daha yukarı çıkacaktır.

5. Sonuçların Karşılaştırılması ve En Küçük AB

Yukarıdaki analizden anlaşılacağı gibi, DC = 7 seçimi hem DEC üçgeninde hipotenüsü tam sayı yapıyor (7) hem de ABC üçgeninde BC = 14 ile hipotenüs $AB$’nin en küçük tam sayı değeri olan 15’i mümkün kılıyor.

Böylece sorun “|AB|’nin en küçük değeri nedir?” diye sorulduğunda, cevap 15 olmaktadır.

6. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda farklı DC değerleri için DEC üçgeni ve ABC üçgeni üzerindeki etkiler özetlenmiştir:

DC (Hipotenüs) CE DE² Hesabı DE BC (= 2×DC) AB için En Küçük Tam Değer
7 6 49 – 36 = 13 √13 14 15
8 6 64 – 36 = 28 √28 16 17
9 6 81 – 36 = 45 √45 18 ≥19
10 6 100 – 36 = 64 8 20 ≥21
… 6 DC² – 36 √(DC²–36) 2×DC Büyür (15’ten ≥)

Tabloda görüldüğü gibi, DC=7 seçeneği dışındakilerde AB değeri 15’in üzerinde çıkmaktadır.

7. Kısa Sonuç ve Anahtar Noktalar

  • DEC dik üçgeni: Hipotenüs $DC$’yi tam sayı belirleyecek şekilde DC^2 = DE^2 + (6)^2 ilişkisi vardır.
  • BD = DC olduğundan, BC = 2 \times DC.
  • ABC dik üçgeni: Hipotenüs $AB$’nin tam sayı olması için AB^2 = AC^2 + BC^2 sağlanır.
  • En küçük AB değeri için en küçük DC > 6 araştırılınca, DC=7 tercihiyle sonuçta AB=15 elde edilir.
  • Böylelikle problemde “|AB|’nin en küçük değeri nedir?” sorusunun cevabı 15’tir.

8. Kaynaklar

  • Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (MEB Yayınları).
  • Temel Geometri, Pythagoras Uygulamaları.
  • Benzeri üçgenlerle ilgili soru bankaları ve örnek çalışma soruları.

Bu bilgiler ışığında, sorunun doğru yanıtı 15 olarak belirlenir.

@Egemenerdem_Akbulut

4

Şekildeki ABC ve DEC dik üçgenlerinin hipotenüs uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayıdır. m(DEC) = m(ACB) = 90°, CE = 6 cm ve |BD| = |DC| olduğuna göre |AB|’nin en küçük değeri kaçtır?

Cevap:

İzlenecek Adımlar


  1. Koordinat Sistemi Kurma
    Dik üçgenleri daha rahat inceleyebilmek için noktaları bir koordinat sistemine yerleştirelim:

    • C noktasını orijin kabul edelim: C = (0, 0).
    • ∠ACB = 90° olduğundan A’yı (0, a) ve B’yi (b, 0) noktasına yerleştirebiliriz.
    • Verilen şekilden anlaşıldığı üzere B ile C arasındaki yatay mesafe BC olacaktır.
    • Verilen CE = 6 nedeniyle E, C ile B arası bir noktada ve CE = 6 olduğundan E = (6, 0) (C noktası (0,0) ile aynı yatay çizgide).


  2. BD = DC Koşulu

    • D noktası, üçgen DEC’de ∠DEC = 90° açıya sahip olacak şekilde E’nin dik üstünde yer almalıdır. Çünkü “m(DEC) = 90°” ifadesi E köşesinde dik açı olduğunu gösterir. Dolayısıyla E = (6,0) ise D = (6, d) biçiminde olur (DE dikey, EC yatay).
    • DC uzunluğu: DC = √((6 - 0)² + (d - 0)²) = √(36 + d²).
    • BD uzunluğu: B = (b, 0) ve D = (6, d) => BD = √((6 - b)² + d²).
    • Koşul BD = DC ⇒ (6 - b)² + d² = 36 + d² ⇒ (6 - b)² = 36 ⇒ |6 - b| = 6.

    Bu denklemin çözümleri:

    • 6 - b = 6 ⇒ b = 0 (B = (0,0) noktası C ile çakışır, kabul edilemez)
    • 6 - b = -6 ⇒ b = 12.

    Dolayısıyla B noktası (12, 0) olur ve BC = 12 cm.


  3. DC’nin Tam Sayı Olması

    • D = (6, d) ve C = (0,0) ⇒ DC = √(36 + d²).
    • Ayrıca DEC dik üçgeninin hipotenüsü DC, tam sayı verilmiştir. Yani 36 + d² = k² olmalı.
    • 36 + d² = k² ⇒ k² - d² = 36 ⇒ (k - d)(k + d) = 36.

    Pozitif tam sayı çarpan analizinde uygun çift; k = 10, d = 8 olarak bulunur (çünkü 10² - 8² = 100 - 64 = 36). Böylece DC = 10 cm olur ve D = (6, 8).


  4. AB’nin Tam Sayı Olması ve En Küçük Değer

    • Noktalar: A = (0, a), B = (12, 0).
    • AB = √((12 - 0)² + (0 - a)²) = √(144 + a²). AB’nin tam sayı olması için 144 + a² mükemmel kare olmalıdır.
    • 144 + a² = m² ⇒ a² = m² - 144. Bu tür durumlarda en küçük tam kare farklarını inceleyerek (m - a)(m + a) = 144 sağlanır.
    • Küçük tamsayı çözümleri incelendiğinde:
      • a = 5 ⇒ 144 + 25 = 169 = 13² ⇒ AB = 13.
      • a = 9 ⇒ 144 + 81 = 225 = 15² ⇒ AB = 15.
      • a = 16 ⇒ 144 + 256 = 400 = 20² ⇒ AB = 20.
      • vb.

    Buradan en küçük tam sayı değeri 13 olarak bulunur.

Örnek Sayısal Konumlandırma

  • C = (0, 0)
  • B = (12, 0)
  • E = (6, 0) (CE = 6 cm)
  • D = (6, 8) (DE = 8 cm, DC = 10 cm)
  • A = (0, 5) (AC = 5 cm, BC = 12 cm, AB = 13 cm)

Bu konumlandırma tüm koşulları sağlar:

  • ABC ve DEC dik üçgenlerinde hipotenüsler sırasıyla AB = 13 cm, DC = 10 cm (ikisi de tam sayı).
  • BD = DC = 10 cm ve CE = 6 cm.
  • ∠ACB ve ∠DEC 90°’dir.

Özet Tablo

Üçgen Noktalar Kenarlar Hipotenüs (tam sayı)
ABC A(0,5), B(12,0), C(0,0) AC=5, BC=12, AB=13 AB=13
DEC D(6,8), E(6,0), C(0,0) DE=8, EC=6, DC=10 DC=10

Sonuç:
Şartları sağlayan en küçük hipotenüs uzunluğu 13 cm’dir.

@Egemenerdem_Akbulut