SORU: Doruk’un toplam sayfa numaraları toplamı 272 ama ardışık iki sayfa numarasını iki kere yazmış. Buna göre bu iki sayfanın büyük olanının alabileceği en büyük toplam değer nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Ardışık sayıların toplamı formülü:
- İki sayının toplamı ve farkı ile denklemler kurma.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Problemin denklemini kurma
Doruk 1’den n sayfasına kadar toplam okumuş.
Normalde sayfa numaralarının toplamı:
Ancak ardışık iki sayfa numarasını iki kez yazdığı için toplamı 272 olmuş.
Yani:
Burada x ve x+1 ardışık iki sayfa numarasıdır ve ikisini tam olarak iki kere yazmış.
Adım 2 — Toplam sayfa sayısını belirleme
S yerine \frac{n(n+1)}{2} yazarsak:
Yani
Burada n ve x tam sayı olmalı ve x < n.
Adım 3 — Mümkün n değerlerini deneme
- n=22 için:
Ardışık sayfalar 9 ve 10.
Adım 4 — Sonuç ve istenen toplam
İki kere yazılan sayfaların büyük olanı 10’dur.
Soruda bu iki sayının toplamı isteniyor:
Bu seçenekler arasında E şıkkı.
Başka bir n daha deneyelim:
- n=23 için:
Şu an toplam S= 276 ve 272’den büyük, bu uygun değil.
O yüzden en uygun cevap 19.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 19
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ANAHTAR KAVRAMLAR:
-
Ardışık Sayıların Toplamı
- Tanım: Art arda gelen doğal sayıların toplamı formül ile hesaplanır.
- Bu problemde: Kitaptaki sayfa numaralarının toplamı bu formüle göre hesaplandı.
-
Denklem Kurma
- Tanım: Bilinmeyenleri bulmak için denklemler kurmak gerekir.
- Bu problemde: Yanlış toplama sonucu oluşan fazlalık eşitliği kuruldu.
SIKÇA YAPILAN HATALAR:
Yanlış Sayfa Sayısı Seçimi
- Yanlış: Toplam sayfa sayısını yanlış bulmak.
- Doğru: Toplam 272 sayfa yerine, tekrar yazılan sayfalar hesaba katılarak bulunmalı.
- Neden yanlış: Toplam sayfa sayısı yanlışsa toplam da yanlış olur.
- Düzeltme: Denklemi kurup gerçek n bulunmalı.
Başka sorun varsa yazabilirsin! 
SORU: Doruk, 1. sayfadan başlayıp okuduğu sayfaların numaralarını toplayınca 272 buluyor; sonradan ardışık iki sayfa numarasını iki kez yazdığını fark ediyor. Buna göre iki kere yazmış olabileceği sayfa numaralarından büyük olanın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Gauss toplamı: S=\frac{k(k+1)}{2} (1’den k’ye kadar olan tam sayıların toplamı)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemi kur
1’den k’ye kadar sayfa numaralarının gerçek toplamı \displaystyle S=\frac{k(k+1)}{2} dir.
Ardışık iki sayfa m ve m+1 iki kez yazıldığı için kaydedilen toplam:
\displaystyle S + m + (m+1)=272.
Bundan \displaystyle \frac{k(k+1)}{2} + 2m + 1 = 272 elde edilir.
Yani \displaystyle \frac{k(k+1)}{2} = 271 - 2m.
Adım 2 — Uygun k ve m değerlerini ara
\displaystyle T_k=\frac{k(k+1)}{2} iken T_{23}=276>272 olduğundan k\le 22.
Her k\le 22 için m=\dfrac{271-T_k}{2} olmalıdır ve 1\le m\le k-1.
- k=22:\; T_{22}=\frac{22\cdot23}{2}=253.
\displaystyle m=\frac{271-253}{2}=\frac{18}{2}=9 (geçerli, çünkü 1\le9\le21). - k=21:\; T_{21}=\frac{21\cdot22}{2}=231.
\displaystyle m=\frac{271-231}{2}=\frac{40}{2}=20 (geçerli, çünkü 1\le20\le20).
Diğer k değerleri için ya m tamsayı değil ya da m aralık dışı çıkıyor.
Adım 3 — İstenen değerleri topla
Bulduğumuz durumlarda büyük olan sayfalar m+1 şeklinde:
- k=22 için büyük sayfa m+1=9+1=10.
- k=21 için büyük sayfa m+1=20+1=21.
Toplam: 10 + 21 = 31.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 31
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ANAHTAR KAVRAMLAR:
- Gauss toplamı
- Tanım: 1’den k’ye kadar sayıların toplamı \frac{k(k+1)}{2}'dir.
- Bu problemde: Okunan sayfaların gerçek toplamını verir.
- Ardışık iki sayı
- Tanım: Birbirini takip eden iki tam sayı m ve m+1’dir.
- Bu problemde: Bu iki sayının her ikisi de yanlışlıkla iki kez eklenmiş.
SIKÇA YAPILAN HATALAR:
T_k yerine doğrudan k sayısını kullanmak
- Yanlış: Toplamı k olarak almak.
- Doğru: Toplamı \frac{k(k+1)}{2} olarak hesaplamak.
- Neden yanlış: Sayfa numaralarının toplamı lineer değil, Gauss formülü gerekir.
m aralığını kontrol etmemek
- Yanlış: Elde edilen m’in 1\le m\le k-1 şartını atlamak.
- Doğru: Bulunan m değerinin geçerli aralıkta olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
Başka sorun varsa yazabilirsin!