Resimli Soru 15-02-2026 19:14:25

YKS TYT
1

IMG_7688
IMG_7688720×613 29.5 KB

2

Pasta Dilim Paylaşımı Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Pasta 6 eşit dilime ayrılmıştır.
  • Dilim Berk, Canan ve Deniz arasında 1:2:3 ters orantılı olarak paylaşılmıştır.
  • Deniz’in payının, tüm pastaya oranı istenmektedir.

Bu problemde, bir dilimin tamamı küçük bir bütün olarak kabul edilir ve bu dilim 3 kişi arasında ters orantı ile bölüşülür. Öncelikle ters orantılı payların büyüklüklerini bulup, Deniz’in bu dilimdeki payını sonra da tüm pasta dilimlerinden birine oranını hesaplayacağız.

İçindekiler

  1. Problem Analizi ve Ters Orantı
  2. Hesaplamalar
  3. Sonuç ve Oran
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Problem Analizi ve Ters Orantı

Pasta 6 eşit dilime bölünmüş: her bir dilimin pastaya oranı:

\frac{1}{6}

Bir dilim, Berk, Canan ve Deniz arasında ters orantılı olarak paylaşılmış:
Ters orantı oranları sırasıyla 1, 2 ve 3. Yani paylar:
$$ x, \frac{x}{2}, \frac{x}{3} $$ gibi değil; ters orantılılarda paylar ters oranlarla doğru orantılıdır.
Bu durumda paylar şu şekilde hesaplanmalıdır.

Ters orantı durumunda, paylar oranı sayılarla değil, onların tersleriyle doğru orantıdır.
Yani paylar:

\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \Rightarrow 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}

ancak orantının kolay anlaşılması için payların tersleri alınır ve paylar arasında doğru orantı kurulur.

Bunu adım adım gösterelim.

2. Hesaplamalar

Adım 1: Ters Orantıdan Payların Bulunması

Ters orantılı olarak paylaştırma 1 (Berk), 2 (Canan), 3 (Deniz) şeklindedir.

Paylar ters orantılı ise, payların büyüklükleri sayıların tersidir.
Yani paylar:

  • Berk: k \times \frac{1}{1} = k
  • Canan: k \times \frac{1}{2} = \frac{k}{2}
  • Deniz: k \times \frac{1}{3} = \frac{k}{3}

Toplam pay:

k + \frac{k}{2} + \frac{k}{3} = 1

Çünkü dilim tümüyle üç kişi arasında bölüşüldü, payların toplamı 1 olmalı.

Paydaları eşitleyelim:

k + \frac{k}{2} + \frac{k}{3} = k \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = k \times \frac{6 + 3 + 2}{6} = k \times \frac{11}{6}=1

Buradan k:

k = \frac{6}{11}

Adım 2: Deniz’in Dilimdeki Payı

Deniz’in payı:

\frac{k}{3} = \frac{6}{11} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{33} = \frac{2}{11}

Adım 3: Deniz’in Pastadaki Payı

Bir dilim pastanın tamamı \frac{1}{6}'dır. Deniz diliminin payı ise \frac{2}{11} dilimdir.

Deniz’in pastadaki payı:

\frac{1}{6} \times \frac{2}{11} = \frac{2}{66} = \frac{1}{33}

3. Sonuç ve Oran

Deniz’in pastadan aldığı miktar, pastanın tamamına oranla:

\boxed{\frac{1}{33}}

Doğru cevap: C şıkkı

Özet Tablo

Adım Sonuç
Pasta diliminin tamamı \frac{1}{6}
Ters orantı pay sabiti (k) \frac{6}{11}
Deniz’in dilimdeki payı \frac{2}{11}
Deniz’in pastadaki payı \frac{1}{33}

Sık Sorulan Sorular

1. Ters orantıda pay nasıl bulunur?
Ters orantılı büyüklüklerde payların büyüklüğü, verilen sayıların tersleriyle doğru orantılıdır. Yani paylar, oran verilen sayıların çarpmaya göre değil, bölmeye göre ters kullanılır.

2. Paylaştırmada toplam neden 1 kabul edilir?
Bir bütün parçalara bölünürken, paylar toplamı bütünün tamamına eşit, yani 1 olarak alınır.

3. Eğer pasta 8 dilime ayrılsaydı oran nasıl değişirdi?
Deniz’in dilimde aldığı oran değişmez, ancak pastadaki payı \frac{1}{8} \times \frac{2}{11} = \frac{2}{88} = \frac{1}{44} olurdu.

Sonraki Adımlar

Bu tarz ters orantı problemlerinde değişkenlerin genel çözümünü ister misiniz?
Ya da başka paylaştırma çeşitlerinin (doğru orantı, karışık orantı) çözümlerini öğrenmek ister misiniz?

@zeynep212

3

Bu pastadan Deniz’in payına düşen miktarın, pastanın tamamına oranı kaçtır?

  • Her bir dilim, pastanın $1/6$’sını temsil eder.
  • Ters orantıda pay dağılımı için paylar, katsayıların tersi ile orantılıdır.
  • Deniz’in pastaya oranı $$\frac{\tfrac{1}{3}}{,1+\tfrac12+\tfrac13,}\times\frac{1}{6} ;=;\frac{1}{33}.$$

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Pasta, altı eşit dilime bölünmüş olduğundan her dilim $1/6$’dır.
  2. Bir dilim üç kişiye ters orantılı 1:2:3 oranında paylaştırılıyor.
  3. Ters orantıda pay formülü:
    p_i \;=\;\frac{1/k_i}{\sum_{j=1}^3(1/k_j)},
    burada k_1=1, k_2=2, k_3=3.
  4. Payların terslerinin toplamı:
    \sum_{j=1}^3\frac{1}{k_j} \;=\;1 + \tfrac12 + \tfrac13 \;=\;\frac{11}{6}.
  5. Deniz’in pay oranı (dilim içindeki):
    p_3 \;=\;\frac{1/3}{11/6} \;=\;\frac{6}{33} \;=\;\frac{2}{11}.
  6. Pastanın tamamına göre:
    \frac{2}{11}\times\frac{1}{6} \;=\;\frac{2}{66} \;=\;\frac{1}{33}.

Karşılaştırma Tablosu

Kişi Orantı Katsayısı k_i 1/k_i Dilim İçindeki Pay p_i Tüm Pasta ile Oran (p_i\cdot\frac16)
Berk 1 1 \frac{1}{1}/\frac{11}{6}=\frac{6}{11} \frac{6}{11}\times\frac16=\frac{1}{11}
Canan 2 \tfrac12 \frac{1/2}{11/6}=\frac{3}{11} \frac{3}{11}\times\frac16=\frac{1}{22}
Deniz 3 \tfrac13 \frac{1/3}{11/6}=\frac{2}{11} \frac{2}{11}\times\frac16=\frac{1}{33}

Özet Tablosu

Adım Sonuç
Dilim büyüklüğü 1/6
Ters katsayılar toplamı 1 + \tfrac12 + \tfrac13 = \tfrac{11}{6}
Deniz’in dilim içindeki payı p_3 \tfrac{2}{11}
Deniz’in tüm pasta ile oranı \tfrac{1}{33}

SSS

S1: Ters orantıda pay formülü nedir?
C1: Her pay, “katsayının tersi” ile orantılı olup $$p_i=\frac{1/k_i}{\sum_j1/k_j}$$ formülüyle hesaplanır.

S2: Niçin dilim içindeki oran 2/11 iken tüm pasta ile oran 1/33 oluyor?
C2: Bir dilim, pastanın $1/6$’sına eşit olduğu için $$\frac{2}{11}\times\frac16=\frac{1}{33}$$ elde edilir.

S3: Eğer paylar doğrudan orantılı olsaydı ne değişirdi?
C3: Doğru orantıda pay k_i/\sum k_j ile hesaplanır ve sonuç farklı olurdu.

Anladığınızı test etmek için benzer bir ters orantı problemi çözmek ister misiniz?
@zeynep212