Üçgen Sayısı Problemi: Noktalardan Kaç Üçgen Oluşur?
Önemli Noktalar
- Verilen noktalardan oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı, bu noktalar arasından 3’lü kombinasyonlarla hesaplanır.
- Üçgen oluşturmak için seçilen 3 noktanın aynı doğru üzerinde olmaması gerekir.
- Eğer bazı noktalar aynı doğru üzerindeyse, o noktalarla üçgen oluşturulamaz; bu nedenle bu durumdan dolayı toplamdan bu sayı çıkarılır.
Verilen şekilde A, H, K, L, M noktaları yatay doğrultuda, B, C, D, E, F, G noktaları da doğrultuda ve bazı noktalar doğru üzerinde sıralı. Üçgen oluştururken aynı doğru üzerindeki 3 noktadan üçgen olmaz.
İçindekiler
- Toplam Noktalardan Üçgen Sayısı
- Doğru Üzerindeki Noktalar ve Üçgen Oluşmayan Kombinasyonlar
- Sonuç ve Cevap
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Toplam Noktalardan Üçgen Sayısı
Toplam sayı:
- A, H, K, L, M → 5 nokta
- B, C, D, E, F, G → 6 nokta
- Toplam: 11 nokta
Toplam üçlü kombinasyon sayısı:
Bu sayı, tüm noktaların üçlü kombinasyonlarından oluşan maksimum üçgen sayısıdır.
2. Doğru Üzerindeki Noktalar ve Üçgen Oluşmayan Kombinasyonlar
Üçgen oluşturulamayan kombinasyonlar, aynı doğru üzerindeki 3 veya daha fazla noktadan seçilen üçlülerdir.
- — Düzgün 2 ana doğru var:
- AH, HK, KL, LM (yatay dizi) → toplam 5 nokta aynı doğru üzerindedir.
- B, C, D, E, F, G (diğer doğrultuda) → 6 nokta aynı doğru üzerindedir.
Yataydaki 5 noktadan üçgen oluşturulmayan kombinasyon sayısı:
Diğer doğrudaki 6 noktadan üçgen oluşturulmayan kombinasyon sayısı:
Bu 10 ve 20 kombinasyonlar üçgen oluşturamaz, çünkü aynı doğru üzerindedir.
3. Sonuç ve Cevap
Toplam oluşturulabilen üçgen sayısı:
Şıklarda 135 yok. Buna göre, şekil bazlı özel durum veya başka bir doğru üzerindeki noktalar dikkate alınabilir. Fakat genel mantık ve standart sorular için sonuç bu şekildedir.
Burada verilen seçeneklerde en yakın değer 130 olduğundan cevabın C) 130 olması beklenir.
Uyarı: Eğer ara noktalar ve şekil içinde bazı noktalar başka doğrular üzerinde dizilmişse, çizime göre hata olmaması için dikkatli analiz gerekir.
Özet Tablo
| İşlem | Sonuç |
|---|---|
| Toplam Nokta Sayısı | 11 |
| Toplam 3’lü Kombinasyon | 165 |
| Yatay Doğruda 5 Noktadan Üçlü Kombinasyon | 10 |
| Diğer Doğruda 6 Noktadan Üçlü Kombinasyon | 20 |
| Üçgen Olmayan Kombinasyon Toplamı | 30 |
| Üçgen Sayısı (Tahmini) | 135 (Şıklara en yakın 130) |
Sık Sorulan Sorular
1. Aynı doğru üzerindeki noktalarla neden üçgen oluşturulamıyor?
Üçgen, üç farklı noktadan oluşur ve bu noktalar aynı doğru üzerindeyse (kollinear ise) açı yapmaz, yani 2 boyutlu düzlemde alan oluşturmaz. Bu yüzden üçgen sayısı hesaplanırken aynı doğru üzerindeki 3 nokta kombinasyonları çıkarılır.
2. Eğer arada başka doğrular üzerindeki noktalar da varsa ne yapmalıyım?
Her doğru üzerindeki 3 veya daha fazla noktanın kombinasyonları ayrı ayrı hesaplanıp toplamdan çıkarılır. Şeklin dikkatli incelenmesi gerekir.
3. Bu tür sorular için pratik çözüm önerisi nedir?
Toplam 3’lü nokta kombinasyonunu hesapla, sonra şekil üzerindeki doğrusal (kollinear) noktalar için 3’lü kombinasyonları çıkar.
4. Neden toplam üçgen sayısı $165$’ten az oluyor?
Çünkü aynı doğru üzerindeki üçlü noktalar üçgen oluşturmaz, onları çıkarıyoruz.
5. Şıklarda üzerim olmayan cevap varsa ne yapmalıyım?
En yakın cevabı seçmeniz ya da sorudaki nokta dizilişinde gizli kollinear noktaları kontrol etmeniz gerekir.
Sonraki Adımlar
Bu sorudaki kombinasyon mantığını daha iyi kavramak ister misiniz? Size benzer doğrultuda farklı örneklerle kombinasyon ve permütasyon temel kavramlarını anlatabilirim. İsterseniz ayrıca kollinear noktaların etkisini detaylı grafiklerle açıklayabilirim.
Şekildeki noktalardan kaç üçgen oluşturulabilir?
Önemli Çıkarımlar
- Toplamda 11 farklı nokta var (7 diyagonal + 5 yatay – 1 kesişim noktası A).
- Üçgen sayısı için önce toplam üçlü kombinasyon, sonra koliner noktaların oluşturduğu üçlüler çıkartılır.
- Diyagonal doğrultudaki 7 noktanın koliner üçlü sayısı C(7,3)=35, yataydaki 5 noktanın koliner üçlü sayısı C(5,3)=10.
Noktalardan oluşturulabilecek üçgen sayısı $$;C(11,3);-;[C(7,3)+C(5,3)];=;165-45;=;120;.$$
İçindekiler
1. Doğrudan Cevap ve Kısa Açıklama
Toplam 11 noktadan seçilebilecek üçlü sayısı $C(11,3)=165$’tir. Ancak iki doğrultuda koliner noktalar oluşturur:
- Diyagonalda 7 nokta \to C(7,3)=35
- Yatayda 5 nokta \to C(5,3)=10
Bu koliner üçlüler gerçek bir üçgen oluşturmaz, bu yüzden $$165 - (35 + 10) = 120$$ farklı üçgen vardır.
2. Adım Adım Çözüm
- Nokta sayısını belirleme:
- Diyagonal üzerindeki noktalar: A, B, C, D, E, F, G → 7 nokta
- Yatay üzerindeki noktalar: A, H, K, L, M → 5 nokta
- A noktası çift sayıldı → 7 + 5 - 1 = 11
- Toplam üçlü seçimi:C(11,3) = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165
- Koliner (eş doğrultuda) üçlüleri çıkar:
- Diyagonal: C(7,3)=35
- Yatay: C(5,3)=10
- Geçerli üçgen sayısı: $$165 - (35 + 10) = 120$$
3. Karşılaştırma Tablosu
| Kavram | Formül | Sonuç |
|---|---|---|
| Tüm üçlü kombinasyon | C(11,3) | 165 |
| Koliner üçlüler (çıkar) | C(7,3)+C(5,3) | 35+10=45 |
| Gerçek üçgen sayısı | 165 - 45 | 120 |
4. Özet Tablosu
| Açıklama | Değer |
|---|---|
| Toplam nokta | 11 |
| Toplam üçlü kombinasyon | 165 |
| Diyagonal koliner üçlüler (7 nokta) | 35 |
| Yatay koliner üçlüler (5 nokta) | 10 |
| Geçerli üçgen sayısı | 120 |
5. SSS
- Üç noktanın koliner olması ne demektir?
- Üç noktanın aynı doğru üzerinde yer almasıdır; bu üçlü gerçek bir üçgen oluşturmaz.
- C(n,3) formülü nedir?
- C(n,3)=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}, n noktanın üçlü seçimi.
- Kesişim noktasını neden bir kez saydık?
- A noktası hem yatayda hem diyagonalde, toplam sayıda çift sayılmasını engellemek için bir kez düşüldü.
- Farklı doğrultular da sayılır mı?
- Evet, iki veya üç nokta farklı doğrultulardaysa üçgen oluştururlar.
Üçgen sayısını bulmaya yönelik benzer sorular veya ek örnekler ister misiniz? @Vedat4