Resimli Soru 15-02-2026 15:07:05

YKS TYT
1

IMG_20260215_145419
IMG_20260215_145419720×960 28.4 KB

2

4 erkek ve 5 kadından oluşan bir toplulukta en az biri erkek olmak koşuluyla 5 kişilik kaç farklı grup oluşturulur?

Önemli Noktalar

  • Toplulukta toplam 9 kişi var: 4 erkek + 5 kadın
  • 5 kişilik grup oluşturulacak
  • En az 1 erkek bulunmalı
  • Kombinasyon formülü: C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
  • Tüm 5 kişilik gruplar = C(9, 5)
  • Erkek olmayan grup (sadece kadınlar) = C(5, 5) = 1

Toplam 5 kişilik grup sayısı C(9, 5) = 126 dır. En az 1 erkek olsun koşulu, sadece kadınlardan oluşan grupları hariç tutmayı gerektirir. Sadece kadınlardan oluşan grup sayısı C(5, 5) = 1 olduğu için cevap:

126 - 1 = 125

İçindekiler

  1. Problem Analizi ve Formüller
  2. Çözüm Adımları
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

Problem Analizi ve Formüller

Bu tip bir problem, kombinasyon kullanılarak çözülür. Kombinasyon, sıranın önemli olmadığı, sadece seçim sayısının önemli olduğu durumlarda kullanılır.

Kombinasyon formülü:

C(n, k) = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Burada n, toplam eleman sayısı; k ise seçilecek eleman sayısıdır.

Özel koşul: “En az biri erkek” demek, bütün seçilenlerin kadın olduğu durum dışında kalan tüm durumları kapsar. Bu nedenle, soruyu çözmenin hızlı yolu şöyle:

  • Tüm 5 kişilik grupların toplam sayısını bul
  • Sadece kadınlardan oluşan grubu hesapla ve çıkar

:light_bulb: Pro Tip: “En az biri erkek” koşulu varsa, komplemen durumu hesaplamak (tümü kadın olan) işinizi kolaylaştırır.

Çözüm Adımları

  1. Toplam Kişi Sayısı:
    4 erkek + 5 kadın = 9 kişi

  2. Toplam 5 Kişilik Kombinasyon:

    C(9,5) = \frac{9!}{5!4!} = 126

  3. Sadece Kadınlardan Oluşan Kombinasyon:
    Kadın sayısı: 5, hepsinden grup seçiliyor

    C(5,5) = 1

  4. En az 1 Erkek İçeren Grup Sayısı:

    126 - 1 = 125

Doğru cevap: 125 (C şıkkı)

Özet Tablo

Element Değer
Toplam kişi sayısı 9
5 kişilik tüm kombinasyonlar 126
Kadınlardan oluşan 5 kişilik gruplar 1
En az bir erkek içeren grup sayısı 125

Sık Sorulan Sorular

1. Kombinasyon ile permutasyon arasındaki fark nedir?

Kombinasyonda seçimin sırası önemli değildir; sadece kaç tane seçim yapıldığı önemlidir. Permutasyonda ise seçimin sırası önemlidir. Bu soruda sıra önemli olmadığından kombinasyon kullanılır.

2. Eğer en az 2 erkek olmalı denilseydi nasıl çözülürdü?

Bu durumda, en az 2 erkek olması için önce toplam gruptan sadece 0 veya 1 erkek olan gruplar çıkarılır. Önce 0 erkek = 5 kadın, sonra 1 erkek ve 4 kadın grupları hesaplanır ve toplamdan çıkarılır.

3. Bu formül her durumda geçerli midir?

Evet. Koşullar farklı olsa da, “en az” gibi seçenekler için tüm durumun toplamından olumsuz durumların çıkarılması yaygın çözümdür.

Sonraki Adımlar

Bu konuda örnek soru çözümleriyle daha fazla pratik yapmak ister misiniz? Ya da en az 2 erkek olan grup seçimi problemine nasıl yaklaşılır onu detaylı açıklayayım mı?

@Vedat4

3

4 erkek ve 5 kadından oluşan bir toplulukta en az biri erkek olmak koşulu ile 5 kişilik kaç farklı grup oluşturulur?

Önemli Noktalar

  • 4 erkek ve 5 kadın olmak üzere toplam 9 kişi arasından seçim yapılır.
  • “En az bir erkek” koşulu, tümü kadın olan seçeneklerin çıkarılmasını gerektirir.
  • Kombinasyon formülü C(n,k) kullanılarak hesaplama yapılır.

Direkt Cevap

Toplam grup sayısı

C(9,5)=126

Tümü kadın olan grup sayısı

C(5,5)=1

Buna göre en az bir erkek içeren grupların sayısı

126 - 1 = 125

Doğru cevap C) 125.

Derinlemesine Açıklama

Bir topluluktan k kişi seçme problemleri kombinasyon kavramıyla çözülür. Genel formül:

C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Bu soru iki yöntemle çözülebilir:

  1. Tamamlayıcı Yöntem

    • Önce tüm grupları say: C(9,5)=126.
    • “En az bir erkek” koşulunu sağlamayan (yani tümü kadın) tek grup: C(5,5)=1.
    • Fark: 126-1=125.

  2. Doğrudan Sayma

    • Seçilecek erkek sayısını i=1,2,3,4 için toplarsın:
      \sum_{i=1}^{4} C(4,i)\,C(5,5-i).
    • Hesapla:
      C(4,1)C(5,4)+C(4,2)C(5,3)+C(4,3)C(5,2)+C(4,4)C(5,1) =4\cdot5 + 6\cdot10 + 4\cdot10 + 1\cdot5 =20+60+40+5=125.

Her iki yöntem de 125 sonucuna ulaşır.

Metot Karşılaştırması

Yöntem İşlem Sonuç
Tamamlayıcı Yöntem C(9,5) - C(5,5) 126−1=125
Doğrudan Sayma \sum_{i=1}^{4} C(4,i)\,C(5,5-i) 125

Özet Tablosu

Adım Formül Değer
Toplam grup C(9,5) 126
Sadece kadın grubu C(5,5) 1
En az bir erkek içeren grup 126 - 1 125

SSS

  1. Kombinasyon ile permütasyon arasındaki fark nedir?
    • Kombinasyonda sıra önemli değildir, permütasyonda önemlidir.
  2. “En az” koşulları her zaman tamamlayıcı yöntemle mi çözülür?
    • Hayır, doğrudan sayma veya kategori bazlı toplama da kullanılabilir.
  3. C(n,k) ifadesi nasıl okunur?
    • “$n$’in $k$’li kombinasyonu” veya “$n$ üzeri k kombinasyonu” şeklinde okunur.

Bu yöntemle başka bir “en az” şartlı kombinasyon problemi çözmek ister misiniz?
@Vedat4