Resimli Soru 15-02-2026 14:55:34

YKS TYT
1

IMG_20260215_145352
IMG_20260215_145352720×960 40.2 KB

2

Sınıftaki Kaç Erkek Öğrenci Vardır?

Önemli Noktalar

  • Erkek öğrencilerden oluşan ikişerli grup sayısı, sınıftaki kız sayısına eşit
  • Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 21
  • Erkek ve kız öğrenci sayılarının toplamı 21’dir
  • İkişerli erkek grup sayısı kombinasyonla hesaplanır: C(n,2) = \frac{n(n-1)}{2}

Bir sınıfta toplam 21 öğrenci vardır. Erkek öğrencilerden ikişerli oluşturulan grup sayısı, kız öğrencilerin sayısına eşittir. Buradan erkek öğrenci sayısını x ve kız sayısını 21 - x olarak alalım. İkişerli erkek grup sayısı C(x, 2) = \frac{x(x-1)}{2} formülüne göre hesaplanır. Soruya göre:

\frac{x(x-1)}{2} = 21 - x

Bu denklemi çözerek erkek öğrenci sayısını bulabiliriz.

İçindekiler

  1. Denklemin Kurulması
  2. Denklemin Çözümü
  3. Sonucun Yorumu ve Doğrulaması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Denklem Kurulması

Sınıftaki erkek öğrenci sayısını x olarak tanımlayalım. Kız öğrenci sayısı ise 21 - x olur.

  • Erkeklerden ikişerli grupların sayısı:
C(x, 2) = \frac{x(x-1)}{2}
  • Kız öğrenci sayısı:
21 - x

Soruya göre bu iki sayı eşit:

\frac{x(x-1)}{2} = 21 - x

Bu temel eşitlik problemi çözmek için kullanılır.

:light_bulb: Pro Tip: Kombinasyon formülünde C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ancak burada k=2 olduğu için basitleştirilmiş formülden faydalanıyoruz.

Denklem Çözümü

\frac{x(x-1)}{2} = 21 - x

Her iki tarafı 2 ile çarpalım:

x(x-1) = 42 - 2x
x^2 - x = 42 - 2x

Kenarları birleştir:

x^2 - x + 2x - 42 = 0
x^2 + x - 42 = 0

Bu ikinci dereceden denklemi çözelim:

Diskriminant (D) = 1^2 - 4 \times 1 \times (-42) = 1 + 168 = 169

Kökler:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 \pm 13}{2}
  • Pozitif kök:
x = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6
  • Negatif kök (anlamlı değil):
x = \frac{-1 - 13}{2} = -7

Bu durumda sadece x=6 anlamlıdır.

Sonucun Yorumu ve Doğrulaması

  • Erkek öğrenci sayısı: 6
  • Kız öğrenci sayısı: 21 - 6 = 15

Erkeklerin ikişerli grup sayısı kontrol edelim:

C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2} = 15

Bu sayı kız öğrenci sayısına eşittir ve soru şartını sağlar.

:warning: Uyarı: Negatif ve tam sayı olmayan çözümler dışlanmalıdır çünkü öğrenci sayısı pozitif tam sayı olmak zorundadır.

Özet Tablo

Unsur Değer
Toplam öğrenci sayısı 21
Erkek öğrenci sayısı (x) 6
Kız öğrenci sayısı 15
Erkeklerin ikişerli grup sayısı C(x, 2) 15
Eşitlik doğrulama C(6,2) = 15 = 21 - 6

Sık Sorulan Sorular

1. İkişerli grup sayısı ne anlama gelir?
İkişerli grup, seçilen erkek öğrencilerden iki kişilik farklı kombinasyonları ifade eder. Yani, kaç farklı çift oluşturulabilir anlamındadır.

2. Neden negatif kök kabul edilmez?
Öğrenci sayısı negatif olamaz. Bu nedenle denklemin negatif ya da tam olmayan kökleri gerçekçi değildir.

3. Toplam öğrenci sayısı neden 21 alınır?
Soru zaten sınıftaki toplam öğrenci sayısını 21 olarak belirtmiştir. Erkek ve kız toplamı 21 olmalıdır.

4. Kombinasyon ve permütasyon farkı nedir?
Kombinasyon sıranın önemsiz olduğu seçimlerdir (grup oluşturma), permütasyonda sıra önemlidir. Bu soruda sıra önemli değil.

Sonraki Adımlar

Bu problemi temel alarak, kombinasyon problemlerinde genellikle karşılaşılan formüller ve farklı grup düzenlemeleri hakkında detaylı örnekler ister misiniz? @Vedat4

3

Resimli Soruda Verilen 3 Kombinatorik Problemin Çözümleri

Özetleki Önemli Noktalar

  • Kombinasyon formülü: C(n,k)=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}
  • Permütasyon formülü: P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}
  • İkinci soruda m erkek öğrenci sayısı için
    \frac{m(m-1)}{2}=21-m
    denkleminden m=6 bulunur.

İlk sorunun cevabı 792, ikinci sorunun cevabı 6, üçüncü sorunun cevabı 120.

İçindekiler

  1. Birinci Sorunun Çözümü
  2. İkinci Sorunun Çözümü
  3. Üçüncü Sorunun Çözümü
  4. Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablosu
  6. SSS

1. Birinci Sorunun Çözümü

Soru: 12 kişilik bir turist kafilesinden 5 kişi A otelinde, kalan 7 kişi B otelinde kalacaktır. Gruplar kaç farklı şekilde oluşturulur?
Çözüm Adımları:

  1. Önce A oteline gidecek 5 kişiyi seçmek için kombinasyon:
    C(12,5)=\frac{12!}{5!\,7!}=792
  2. Geriye kalan 7 kişi otomatik olarak B oteline gider.
    Cevap: 792

2. İkinci Sorunun Çözümü

Soru: 21 kişilik bir sınıfta, erkek öğrencilerden oluşan ikişerli grupların sayısı bu sınıftaki kızların sayısına eşittir. Erkek öğrenci sayısı kaçtır?
Çözüm Adımları:

  1. Erkek sayısı m, kız sayısı 21-m.
  2. İkişerli erkek grup sayısı:
    C(m,2)=\frac{m(m-1)}{2}
  3. Denklem:
    \frac{m(m-1)}{2}=21-m
    m^2+m-42=0\;\Rightarrow\;m=6\;(\text{negatif kök eleniyor})

Cevap: 6

3. Üçüncü Sorunun Çözümü

Soru: 5 müşteri, biri 2 yataklı, diğeri 3 yataklı iki odaya yerleşecek. Yatak sıra­ları önemli olduğuna göre kaç farklı yerleşme vardır?
Çözüm Adımları:

  1. 2 yataklı odaya seçilecek 2 kişi ve yatak permütasyonu:
    P(5,2)=\frac{5!}{(5-2)!}=5\cdot4=20
  2. Geriye kalan 3 kişi 3 yataklı odaya ve yatak permütasyonu:
    P(3,3)=3!=6
  3. Toplam yerleşim:
    20\times6=120

Cevap: 120

Karşılaştırma Tablosu

Kavram Formül Açıklama
Kombinasyon C(n,k)=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} Sıra önemli değil, seçilecek eleman sayısı sabit
Permütasyon P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!} Sıra önemli, seçilen elemanların dizilişleri farklı sayılır

Özet Tablosu

Soru No Problem Cevap
1 12 kişiden 5-7 dağılım 792
2 C(m,2)=21-m denkleminden erkek sayısı 6
3 2 yataklı & 3 yataklı odalara permütasyon 120

SSS

  1. Neden C(12,5) kullandık permütasyon değil?
    Çünkü oteller arası yerleşimde yatak sırası önemli değil, sadece kim hangi otele gidecek önemli.
  2. P(5,2) ile seçtikten sonra 2! faktörü neden ayrı düşmedi?
    P(5,2) zaten seçme ve yerleştirmeyi (2!) içerir.
  3. İkinci soruda neden negatif kökü eliyoruz?
    Öğrenci sayısı negatif olamaz.
  4. m(m-1)/2=21-m denklemini nasıl çözdük?
    Önce paydadan kurtulup ikinci derece denkleme geçtik, sonra kökleri bulduk.

Daha fazla örnekle pekiştirmek ister misiniz? @Vedat4