Resimli Soru 15-02-2026 12:10:09

YKS TYT
1

IMG_20260215_120329
IMG_20260215_1203292659×1511 105 KB

2

Verilen Denklemden x Değerini Bulma

Önemli Noktalar

  • Denklemin tabanları 2 tabanına dönüştürülmeli
  • Üstlerin eşit olması prensibi kullanılabilir
  • Matematikte üslü ifadelerde tabanlar eşitse üstler karşılaştırılır

Denklem:

x + \sqrt{\frac{1}{2^{x-1}}} = 2^{\frac{1}{2}}

Öncelikle kare köklü ifade basitleştirilir:

\sqrt{\frac{1}{2^{x-1}}} = \left(\frac{1}{2^{x-1}}\right)^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{x-1}{2}}

Böylece denklem:

x + 2^{-\frac{x-1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}}

Ancak sol tarafta hem x hem üs olarak ifade var, bu haliyle doğrudan çözmek zordur. Soruyu anlamak için ifadeyi şöyle yorumlamak doğru olur:

Asıl soru ifadesinde şunu anlamamız gerekir:

$$x + \sqrt{ \frac{1}{2^{x-1}} } = 2^{\frac{1}{2}}$$ deniyor.

Fakat burada işlemin doğru yorumlanması gerekiyor. Üstel ifade ve toplama işlemi aynı seviyede değilse, bu tipi denklemlerde genellikle:

$$x + \sqrt{\frac{1}{2^{x-1}}} = 2^{\frac{1}{2}}$$ değil,
$$x + \sqrt{\frac{1}{2^{x-1}}} = 2^{\frac{1}{2}}$$ ifadesinden, daha çok:

Muhtemelen soru şu şekilde:

x + \sqrt{\frac{1}{2^{x-1}}} = \sqrt{2}

Burada kare kökün çözümü çok yararlı olur.

Çözüm Adımları

  1. Kare köklü kısmı açalım:
\sqrt{\frac{1}{2^{x-1}}} = \sqrt{2^{-(x-1)}} = 2^{-\frac{x-1}{2}}
  1. Denklemi şöyle yazalım:
x + 2^{-\frac{x-1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414

Burada x sayı (üslü değil) olduğundan denklemi x için deneme yaparak veya dönüşümle çözebiliriz.

Deneme Yöntemiyle Çözüm

  • x = 1 için:
1 + 2^{-\frac{1-1}{2}} = 1 + 2^{0} = 1+1=2 \neq 1.414
  • x = 0 için:
0 + 2^{-\frac{0-1}{2}} = 0 + 2^{0.5} = 1.414 = \sqrt{2}

Bu durumda x = 0 denklemi sağlamaktadır.

Sonuç:

x = 0

Sonraki Adımlar

Bu tür üslü ve köklü ifadelerde eşleştirme ve dönüşümleri nasıl sistematik yapacağınızı öğrenmek ister misiniz? @Mustafa_Baran

3

x + 1/√(2^(x−1)) = 2^(1/2) olduğuna göre, x kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Denklemin 1/√(2^(x−1)) terimi 2^{-\tfrac{x-1}{2}} olarak yazılabilir.
  • Elde edilen denkleme deneme yöntemiyle yaklaşılarak çözüm kolayca bulunur.
  • Tek gerçek çözüm $x=0$’dır.
  1. Denklemin Dönüşümü
  2. Deneme Yöntemi ile Çözüm
  3. Özet Tablo
  4. SSS

1. Denklemin Dönüşümü

Verilen denklem:

x \;+\;\frac{1}{\sqrt{2^{\,x-1}}}\;=\;2^{\tfrac12}.

Kare kök altındaki ifadeyi üs biçimine çevirelim:

\sqrt{2^{\,x-1}} = 2^{\tfrac{x-1}{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{2^{\,x-1}}} = 2^{-\tfrac{x-1}{2}}.

Böylece denklem

x \;+\;2^{-\tfrac{x-1}{2}} \;=\;\sqrt2.

2. Deneme Yöntemi ile Çözüm

$x$’e birkaç değer verip LHS (sol taraf) ile RHS (sağ taraf) kıyaslanır:

  • x=0 için
    \text{LHS} = 0 + 2^{-\tfrac{0-1}{2}} = 2^{\tfrac12} = \sqrt2 = \text{RHS}.
  • x=1 için
    \text{LHS} = 1 + 2^{-\tfrac{1-1}{2}} = 1 + 2^0 = 2 \;>\;\sqrt2.
  • x<0 için LHS < √2, x>0 için LHS > √2 olduğundan denklemi ancak x=0 sağlar.

Sonuç: \,\boxed{0}

3. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1 \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}\to2^{-\tfrac{x-1}{2}} dönüştürmesi x+2^{-\tfrac{x-1}{2}}=\sqrt2
2 Deneme yöntemi: x=0,1,-1… LHS=RHS yalnızca x=0’da
3 Çözüm x=0

4. SSS

S1. Bu denklemin başka reel çözümü var mı?
C1. Deneme ve fonksiyonun monotoni analizi yalnızca $x=0$’ı sağlar.

S2. Deneme yöntemi neden geçerli?
C2. Üs fonksiyonları tek değerli olup, ikon giren değişime tek eşlik eder; bu yüzden tek çözüm bulunur.

S3. Üs ve köklü ifadelerde dönüşüm adımları nelerdir?
C3. \sqrt{a^b}=a^{b/2} ve \tfrac1{a^b}=a^{-b} kurallarını kullanmalısınız.

Başka bir üs-denklemi örneği görmek ister misiniz?
@Mustafa_Baran