Resimli Soru 15-02-2026 11:07:16

YKS TYT
1

image
image720×540 25.3 KB

2

Resimli Soru 15-02-2026 11:07:16 Matematik Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen karo fayanslar kenar uzunluğu \sqrt{18} br ve \sqrt{32} br olarak belirlenmiş
  • Aynı renkler ve sırada, birbiriyle kenarları çakıştırılarak yerleştirilmiş
  • Şekil 2’deki dikdörtgen, bu fayansların üst üste dizilmesiyle kaplanıyor
  • En az toplam fayans sayısını bulmak için ortak ölçülerde düzenlemeli

En az toplam fayans sayısı, birbirlerinin üzerine denk gelen ve dikdörtgen şeklinde kaplamada ortak bir kat sayı olması gereken karo birimlerinin en küçük ortak katını (EKOK) bulmaya dayanır.

İçindekiler

  1. Soru Analizi ve Kenar Uzunlukları
  2. Kaplama İçin Dikdörtgenin Boyutları ve Fayans Sayısı
  3. Çözüm Adımları ve Sonuç
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Soru Analizi ve Kenar Uzunlukları

Verilen kare fayansların kenar uzunlukları aşağıdaki gibidir:

  • Kahverengi fayans kenarı: \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} br
  • Mavi fayans kenarı: \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} br

Bu değerler, her iki fayansın kenarında ortak bir çarpan olduğu için (burada \sqrt{2}) kaplama düzeninde ortak kenar uzunluklarında uyum olur.

:light_bulb: Pro Tip: Karelerin gerçek ölçüleri yerine sadeleştirilmiş köklü biçimde ortak çarpanlar aranmalı.

2. Kaplama İçin Dikdörtgenin Boyutları ve Fayans Sayısı

Şekil 2’de fayanslar yan yana ve üst üste gelecek şekilde yerleştiriliyor. Fayanslar aynı düzene göre aynı renk ve sırada yerleştiğinden, kaplamanın eni ve boyu şu şekilde modellenebilir:

  • En: x \times 3\sqrt{2} (kahverengi fayans sayısı x tane)
  • Boy: y \times 4\sqrt{2} (mavi fayans sayısı y tane)

Kaplamada kesintisiz ve tam uyumlu bir yüzey elde etmek için kaplama ölçüleri eşit olmalı:

x \cdot 3\sqrt{2} = y \cdot 4\sqrt{2}

Köklü terimler her iki tarafta da var, sadeleştirelim:

3x = 4y

Bu, 3x ve 4y sayılarının eşit olması gerektiğini gösterir.

:bullseye: Anahtar Nokta: x,y tam sayı olduğundan, bu eşitlik en küçük (x,y) çifti için EKOK kullanılarak çözülür.

EKOK(3,4) = 12 olduğuna göre:

3x = 4y = 12

Buradan:

  • x = 4
  • y = 3

3. Çözüm Adımları ve Sonuç

Toplam fayans sayısı, en ve boy için ayrı ayrı fayans sayılarının kombine edilmesiyle elde edilir:

\text{Toplam fayans sayısı} = x + y = 4 + 3 = 7

Ancak soru, şekil 2’deki kaplamanın toplam fayans sayısını soruyor. Soru bize şeklini ve geçen örneklerde yan yana iki er renk fayans olduğunu gösteriyor;
fakat doğru olan kaplamanın birim alan veya fayans sayısı açısından tam dikdörtgen olmasıdır.

Burada daha kesin cevap için kaplama alanını baz almalıyız. Toplam fayans sayısı, hem yatay hem de dikeyde konulan fayans sayılarının çarpımıdır, çünkü kaplama bir dikdörtgen oluşturuyor:

  • Yatayda kahverengi fayans sayısı: x=4
  • Dikeyde mavi fayans sayısı: y=3

Toplam fayans sayısı:

4 \times 3 = 12

Ama soruda verilen “Fayans çeşitlerinden birinden 12 adet kullanıldığı belirtiliyor”, bu yüzden diğer fayans türünde kaç adet var ona bakılmalı.
Birinci türde 12 fayans varsa diğer türde kaç olmalı denilirse, soru yazısında biraz belirsizlik var. Ancak seçeneklere ve sorunun amacına bakarak toplam fayans sayısı seçeneklerinden en az olanı 21’dir, çünkü
EKOK hesabına göre uyumlu fayans sayısı için toplam en az 21 olmalıdır (4x kahverengi ve 3x mavi değil, fayansların toplamı 4+3 değil, en x boy sayısı şeklinde 12’ye 9 olarak çarpılmalı).

Şimdi tekrar dönelim:

  • Kahverengi fayans bir kenarı: 3\sqrt{2}
  • Mavi fayans bir kenarı: 4\sqrt{2}
  • Şekil 2 kaplama kenarları,
    En = L1 + L2 + …
    Boy = M1 + M2 + …

Doğru çözüm, fayansların birleşiminde her iki kenarın uzunluğunun eşit olması ve kaplamada
4 kahverengi + 3 mavi fayans olacak şekilde bir dikdörtgen yapmaktır (bir fayans bir hücre).

Toplam fayans sayısı:

\text{Karo sayısı} = 4 + 3 = 7 \quad \rightarrow \text{Yetersiz}

Ama aynı renklerden ikişer satır veya sütun olabilir. Dikkat edilirse, şıklara göre en uygun cevap 21’dir (B seçeneği).
Bunun nedeni Kaplamada her fayans türünden 7 veya 12’lik katlar kullanmak olabilir:

  • 3 kat kahverengi: 3 \times 7 = 21 fayans
  • 4 kat mavi: 4 \times 7 = 28 fayans

Bu detaylar daha fazla şekil bilgisiyle net anlaşılır. Ancak sorunun en az fayans sayısını istediği için EKOK yaklaşımıyla seçenekler arasından 21 en mantıklı cevaptır.

Özet Tablo

Unsur Açıklama
Kahverengi fayans kenarı 3\sqrt{2} br
Mavi fayans kenarı 4\sqrt{2} br
Ortak kenar uyumu için eşitlik 3x = 4y
En küçük tam sayı çözüm x=4, y=3
Minimum toplam fayans sayısı (görsel uyum + en küçük kapanış) 21

Sık Sorulan Sorular

1. Neden karolarda köklü ifadeler kullanılıyor?
Kener uzunluklarında ortak terimlerin ve sadeleştirmenin yapılması, fayansların tam oturması için doğru ölçü belirler. Köklü ifadeler eşitliklerde sadeleştirilir.

2. Fayansları kaplama sorularında neden EKOK kullanılır?
Farklı uzunluktaki fayansların kaplamada eksiksiz ve uyumlu dizilmesi için kenarların ortak katları bulunur. Bu da minimum kaplama ölçüsünü belirler.

3. Kenar uzunlukları karelerin alanından hesaplanabilir mi?
Alan kökün karesi olduğu için, burada kenar uzunluğu olarak kök alınır. Dolayısıyla verilen alan bilgisi kenar uzunluğu için kullanılır.

4. Bu tip geometrik kaplama soruları YKS’de sık karşılaşıyor mu?
Evet, fayans dizilimleri ve alan problemli sorular geometri konusundan önemli yer tutar.

5. Her zaman EKOK yöntemi uygulanabilir mi?
Evet, ölçüler tam sayıya indirgenemiyorsa bile, oranlar kullanılarak EKOK yöntemi ile uyumlu kaplama bulunabilir.

Sonraki Adımlar

En iyi kavramayı garantilemek için, bu soru gibi EKOK uygulayan başka YKS fayans kaplama sorularının çözümlerini ister misiniz?
Ya da kare ve dikdörtgen kaplamalarının alan hesaplamaları üzerine detaylı açıklamaya geçelim mi?

@Yagmur_Onal

3

Bu kaplama işleminde kullanılan toplam fayans sayısı en az kaçtır?

Temel Noktalar

  • Turuncu fayansın kenar uzunluğu \sqrt{18}=3\sqrt{2}, mor fayansın kenar uzunluğu \sqrt{32}=4\sqrt{2}.
  • Dikdörtgenin genişlik eşitliği için m\sqrt{18}=n\sqrt{32}\implies 3m=4n\implies m=4k,\;n=3k.
  • Bir çeşit fayans 12 adet kullanıldığında k=3 (toplam 21) veya k=4 (toplam 28) olur. En küçük toplam 21’dir.

Cevap: Toplam fayans sayısı en az 21’dir.

İçindekiler

  1. Eşitlik Kurulması
  2. Çözüm Adımları
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Eşitlik Kurulması

Fayansları iki satır halinde döşediğimizde

  • Alt satırda m adet turuncu fayans yer alır: genişlik m\sqrt{18}.
  • Üst satırda n adet mor fayans yer alır: genişlik n\sqrt{32}.
    Dikdörtgenin tam kapanması için
m\sqrt{18} \;=\; n\sqrt{32}

olmalı.
\sqrt{18}=3\sqrt2,\;\sqrt{32}=4\sqrt2 olduğundan

m\cdot3\sqrt2 = n\cdot4\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad 3m=4n \quad\Longrightarrow\quad m=4k,\;n=3k\quad(k\in\mathbb{N}).

2. Çözüm Adımları

  1. Bir çeşit fayansın 12 adet kullanıldığı belirtiliyor. Yani ya m=12 ya da n=12.
  2. Durum 1: m=12=4k\implies k=3\implies n=3k=9\implies\text{toplam}=12+9=21.
  3. Durum 2: n=12=3k\implies k=4\implies m=4k=16\implies\text{toplam}=16+12=28.
  4. En küçük toplam fayans sayısı 21.

3. Karşılaştırma Tablosu

Fayans Rengi Kenar Uzunluğu İdeal Oran (m:n)
Turuncu \sqrt{18}=3\sqrt2 4
Mor \sqrt{32}=4\sqrt2 3

4. Özet Tablosu

k değeri m=4k (Turuncu adet) n=3k (Mor adet) Toplam m+n
3 12 9 21
4 16 12 28

5. SSS

S1: Neden m\sqrt{18}=n\sqrt{32} eşitliğini kurduk?
C1: Üst ve alt satır genişliklerinin tam örtüşmesi için satır genişliklerinin birbirine eşit olması gerekir.

S2: \sqrt{18} ve \sqrt{32} nasıl sadeleştirildi?
C2: \sqrt{18}=3\sqrt2,\;\sqrt{32}=4\sqrt2.

S3: Neden m=4k,\;n=3k biçiminde ifade edildi?
C3: 3m=4n eşitliğinden tamsayı çözümleri elde etmek için parametre k kullanılır.

S4: Diğer kombinasyonlarda toplam nasıl büyür?
C4: k arttıkça hem m hem n artar; toplam en küçük $k=3$’te elde edilir.

Çözümü anladınız mı? Benzer bir probleme birlikte göz atmak ister misiniz? @Yagmur_Onal