Resimli Soru 15-02-2026 02:53:16

YKS TYT
1

20260215_025300
20260215_0253001884×1049 124 KB

2

Verilen Sorunun Çözümü

Önemli Noktalar

  • Sayıların 9 ile bölümünden kalanı bulmak için genellikle 9 ile bölümde kalanı bulma kuralı (rakamlar toplamı mod 9) kullanılır.
  • İşlemdeki üstlü ifadelerde mod alma kuralları uygulanır:
    (x \bmod 9)^3 = x^3 \bmod 9
  • İstenen ifade: (a^3 + a \cdot b)^2 ifadesinin 9 ile bölümünden kalan.

Çözüm:

  1. a = 24356, b = 43501
  2. Öncelikle a ve b sayılarının 9 ile bölümünden kalanları bulalım.

24356 sayısının rakamları toplamı:
2 + 4 + 3 + 5 + 6 = 20
20 \bmod 9 = 2 (Çünkü 9 \times 2 = 18, 20 - 18 = 2)
Yani, a \bmod 9 = 2.

43501 sayısının rakamlar toplamı:
4 + 3 + 5 + 0 + 1 = 13
13 \bmod 9 = 4 (Çünkü 9 \times 1 = 9, 13 - 9 = 4)
Yani, b \bmod 9 = 4.

  1. Şimdi ifadeyi mod 9 hesaplayalım:
(a^3 + a \cdot b)^2 \equiv ((a \bmod 9)^3 + (a \bmod 9)(b \bmod 9))^2 \bmod 9
= (2^3 + 2 \times 4)^2 \bmod 9
= (8 + 8)^2 \bmod 9 = (16)^2 \bmod 9
16 \bmod 9 = 7 \quad \Rightarrow \quad 7^2 \bmod 9 = 49 \bmod 9
49 \bmod 9 = 49 - 45 = 4

Sonuç:

İfadenin 9 ile bölümünden kalan 4’tür.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
a mod 9 2+4+3+5+6=20, 20 \bmod 9=2 2
b mod 9 4+3+5+0+1=13, 13 \bmod 9=4 4
İfade içi hesap 2^3 + 2 \times 4 = 8 + 8 =16 7 mod 9
Son ifade 7^2 =49 \bmod 9 =4 4

Sık Sorulan Sorular

1. Mod işlemi nedir?
Bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalan kısmı veren işlemdir. Örneğin, 16 \bmod 9 = 7.

2. Neden rakamlar toplamı ile mod 9 kalanına bakıyoruz?
Çünkü bir sayının rakamlar toplamının 9 ile bölümü, sayının kendisinin 9 ile bölümünden kalana eşittir.

3. Üs alınan sayılarda mod işlemi nasıl yapılır?
(a \bmod m)^n \bmod m = a^n \bmod m şeklinde parçalara ayırarak rahat hesaplanabilir.

Sonraki Adımlar

Benzer modüler aritmetik problemlerinin çözümünü sürdürmek ister misiniz? Ya da farklı modüler tabanlarda (örneğin 7 veya 11 ile) kalan hesaplama örnekleri görmek ister misiniz?

@1ozlemozyigit

3

9 ile bölümünden kalan 4’tür.

Soru: a ve b beş basamaklı sayılardır. a = 24356, b = 43501 olduğuna göre, (a^3 + a \cdot b)^2 ifadesinin 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Modüler aritmetikte bir sayının 9 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
  • a \equiv 24356 \equiv 2 \pmod{9} ve b \equiv 43501 \equiv 4 \pmod{9}.
  • Mükerrer hesaplamaları önlemek için basit modulo işlemleri uygulanır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. a ve b sayılarının 9 modundaki değerleri:
    a \equiv 24356 \equiv 2 \pmod{9},\quad b \equiv 43501 \equiv 4 \pmod{9}.
  2. a^3 ve a\cdot b mod 9 değerleri:
    a^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \pmod{9},\quad a\cdot b \equiv 2\cdot4 \equiv 8 \pmod{9}.
  3. Toplam mod 9:
    a^3 + a\cdot b \equiv 8 + 8 \equiv 16 \equiv 7 \pmod{9}.
  4. Karesi mod 9:
    (a^3 + a\cdot b)^2 \equiv 7^2 \equiv 49 \equiv 4 \pmod{9}.

Özet Tablo

Konsept Değer (mod 9)
a 2
b 4
a^3 8
a \cdot b 8
a^3 + a \cdot b 7
(a^3 + a \cdot b)^2 4

SSS

Soruya sıkça eşlik eden sorular:

  1. Mod 9 kuralı nedir?
    • Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
  2. Her mod işlemi için rakam toplamı yöntemi kullanılır mı?
    • Yalnızca 9 ve 3 modlarında rakam toplamı kuralı geçerlidir.
  3. (a^3 + a\cdot b)^2 yerine doğrudan (a(a^2 + b))^2 ifadesiyle çözüm yapılabilir mi?
    • Evet, ancak modüler aritmetikte faktörlere ayırmak genellikle adımları kolaylaştırır.
  4. Başka modüler aritmetik soruları örneklerle çözmemi ister misiniz?

@1ozlemozyigit