Resimli Soru 15-02-2026 01:17:55

YKS TYT
1

Screenshot_20260215-011126_YouTube
Screenshot_20260215-011126_YouTube1560×720 65.5 KB

2

Soru 4 ve 5 Çözümü: Oran ve Orantı Problemleri

Önemli Noktalar

  • Soru 4, sayının 2, 3 ve 4 ile ters, 5 ile doğru orantılı 4 parçaya ayrılmasıyla ilgilidir.
  • Soru 5, a ve b doğal sayılarının sırasıyla 3 ve 4 sayıları ile ters orantılı olması durumundadır.
  • Orantı problemlerinde genellikle pay ve payda ilişkilerine dikkat edilir ve uygun değişkenler atanarak çözüme gidilir.

Soru 4: 730 Sayısının Orantılı Parçalara Ayrılması

Verilen:

  • 730 sayısı,
  • 2, 3 ve 4 ile ters orantılı,
  • 5 ile doğru orantılı,
  • 4 parçaya ayrılıyor.

Yani: Parçalar sırasıyla şu şekilde olacak:

    1. parça ∝ 1/2 (ters orantılı 2 ile)
    1. parça ∝ 1/3 (ters orantılı 3 ile)
    1. parça ∝ 1/4 (ters orantılı 4 ile)
    1. parça ∝ 5 (doğru orantılı 5 ile)

Parçaların oranları:

k \times \frac{1}{2}, \quad k \times \frac{1}{3}, \quad k \times \frac{1}{4}, \quad k \times 5

Toplamı 730’a eşit olmalı:

k \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 5 \right) = 730

Paydaları eşitleyelim:

\frac{1}{2} = \frac{6}{12}, \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}

Toplam:

k \left(\frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + 5 \right) = k \left(\frac{13}{12} + 5 \right) = k \left(\frac{13}{12} + \frac{60}{12} \right) = k \frac{73}{12}

Eşitlik:

k \times \frac{73}{12} = 730 \implies k = \frac{730 \times 12}{73} = 120

Parçalar:

    1. parça: 120 \times \frac{1}{2} = 60
    1. parça: 120 \times \frac{1}{3} = 40
    1. parça: 120 \times \frac{1}{4} = 30
    1. parça: 120 \times 5 = 600

En büyük sayı 600’dür.

Soru 5: a ve b Pozitif Doğal Sayılarının Ters Orantısı

Verilen:

  • a ve b pozitif doğal sayılar,
  • a sayısı 3 ile ters orantılı → a \propto \frac{1}{3}, yani a = \frac{k}{3}
  • b sayısı 4 ile ters orantılı → b \propto \frac{1}{4}, yani b = \frac{m}{4}
  • a + b toplamının en küçük değeri isteniyor.

Ancak burada problem, a ve b pozitif doğal sayılar olduğuna göre ve a sadece 3 ile, b sadece 4 ile ters orantılı ise, a ve b için şöyle yazabiliriz:

a = \frac{k}{3} \quad \Rightarrow \quad a \in \mathbb{N} \implies k \text{ 3’ün katı olmalı}
b = \frac{m}{4} \quad \Rightarrow \quad b \in \mathbb{N} \implies m \text{ 4’ün katı olmalı}

Ama sorunun mantığı genellikle şöyle yorumlanır: a ile 3 ters, b ile 4 ters orantılı, yani:

a = \frac{c}{3}, \quad b = \frac{d}{4}

Şimdi pozitif doğal a, b için en küçük toplamı bulmak istiyoruz.

Yaklaşım:

Pozitif doğal sayı olması için a = \frac{c}{3} doğal sayı olmalı → c 3’ün katı olmalı. Aynı şekilde b = \frac{d}{4} doğal sayı olmalı → d 4’ün katı olmalı.

Ancak c ve d’yi eşitlemek için orantı sabitini kullanabiliriz. En küçük toplam için a ve b’nin en küçük değerlerini düşünelim:

En küçük a için a = 1:

1 = \frac{k}{3} \rightarrow k = 3

En küçük b için b = 1:

1 = \frac{m}{4} \rightarrow m=4

Bu durumda a+b=1+1=2.

Ancak a ve b’nin birbirleri ile bir bağı olabileceğini (ör. k=m) düşünebiliriz.

Alternatif olarak, ters orantı demek; a \times 3 = b \times 4 = \text{sabittir}, örnek olarak:

a \times 3 = t, \quad b \times 4 = t

O halde:

a = \frac{t}{3}, \quad b = \frac{t}{4}

a ve b doğal sayılar ise, t 3 ve 4’ün ortak katı olmalıdır, yani en küçük t = 12.
Buna göre:

a = \frac{12}{3} = 4, \quad b = \frac{12}{4} = 3
a + b = 4 + 3 = 7

Ama seçenekler arasında 7 de var. Ancak soruda “en küçük değer” deniyor.

Bir önceki yaklaşımda a=1, b=1 yani toplam 2 vardı. Ancak bu a ve b sırayla 3 ve 4 ile ters orantılı olma koşulunu sağlamıyor.

Soru ifadesi tam net olmasa da, genellikle problem şu şekilde çözülür:

  • a ve 3 ters orantılı: a = \frac{k}{3}
  • b ve 4 ters orantılı: b = \frac{k}{4} (aynı k sabiti, ters orantılı olduğundan)

Toplam:

a + b = \frac{k}{3} + \frac{k}{4} = k \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = k \times \frac{7}{12}

a ve b doğal sayılar olmalı →

  • a = \frac{k}{3} \in \mathbb{N} → k 3’ün katı
  • b = \frac{k}{4} \in \mathbb{N} → k 4’ün katı

En küçük k, 3 ve 4’ün ortak katı olan 12’dir.

Bu durumda:

a = \frac{12}{3} = 4, \quad b = \frac{12}{4} = 3

Toplam:

4 + 3 = 7

Doğru cevap 7’dir (E seçeneği).

Özet Tablo

Soru No Problem Türü En Büyük / En Küçük Sayı Cevap
4 Çoklu ters ve doğru orantı En büyük sayı 600
5 Ters orantı ile doğal sayıların toplamı En küçük toplam değeri 7

Sık Sorulan Sorular

1. Ters orantı ve doğru orantı nedir?
Doğru orantıda iki büyüklük beraber artar ya da beraber azalır. Ters orantıda bir büyüklük artarken diğeri azalır.

2. Ters orantılı sayılarda toplam nasıl bulunur?
Orantı sabiti ile ifadeler yazılır, ortak katlar bulunup sayılar doğal sayı yapacak şekilde sadeleştirilir.

3. Oran problemi çözerken sabit nasıl bulunur?
Parçalar toplamı veya eşitliği kullanılarak sabit (k gibi) bulunur ve ona göre her parça hesaplanır.

Sonraki Adımlar

İsterseniz benzer oran problemleri için size pratik sorular veya adım adım çözümler içeren çalışma kılavuzu hazırlayabilirim. İlgilenir misiniz?

@Duru33

3

Soru 4 ve 5 Çözümü

Önemli Noktalar

  • Ters orantıda bir parçanın büyüklüğü, orantılı olduğu değerin tersiyle doğru, doğru orantıda ise birebir doğru ilişki kurulur.
  • Parçalar genellikle ortak bir “oran sabiti” k ile ifade edilir ve toplamları veriye eşitlenir.
  • Küçük en ortak kat (KEOK) seçimi, doğal sayılarla çalışırken orantı sabitini en küçük pozitif yapmak için kritik önemdedir.

Doğrudan Cevap

730 sayısı 2, 3 ve 4 ile ters; 5 ile doğru orantılı parçalara ayrıldığında en büyük parça 600 olur. İkinci soruda a ve b aynı sabitle ters orantılı olduğunda a+b toplamının en küçük değeri 7’dir.

İçindekiler

  1. 4. Soru İçin Derinlemesine Çözüm
  2. 5. Soru İçin Derinlemesine Çözüm
  3. Doğru vs Ters Orantı Karşılaştırma
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

4. Soru İçin Derinlemesine Çözüm

Parçalar A,B,C,D olarak tanımlanır:

A=\frac{k}{2},\quad B=\frac{k}{3},\quad C=\frac{k}{4},\quad D=5k.

Bunların toplamı 730’a eşittir:

k\Bigl(\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14+5\Bigr)=730.

Hesaplayalım:

\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14=\tfrac{6+4+3}{12}=\tfrac{13}{12}, \quad \tfrac{13}{12}+5=\tfrac{13+60}{12}=\tfrac{73}{12}.

Dolayısıyla

k\;\frac{73}{12}=730 \;\;\Longrightarrow\;\; k=730\cdot\frac{12}{73}=120.

En büyük parça D=5k=5\cdot120=\mathbf{600}.

5. Soru İçin Derinlemesine Çözüm

a ve b aynı sabitle ters orantılıdır:

a=\frac{k}{3},\quad b=\frac{k}{4}.

Bu ifadelerin her ikisinin de doğal sayı olması için $k$’nın 3 ve $4$’ün KKEK’i olan $12$’nin katı olması gerekir. Yani k=12t\;(t\in\mathbb N^+).
Böylece

a+b=\frac{k}{3}+\frac{k}{4}=k\Bigl(\tfrac13+\tfrac14\Bigr) = k\;\frac{7}{12}=12t\;\frac{7}{12}=7t.

t=1 için en küçük değeri elde ederiz: a+b=7.

Doğru vs Ters Orantı Karşılaştırma

Özellik Doğru Orantı Ters Orantı
Tanım y=kx y=\dfrac{k}{x}
İlişki Değişkenlerle aynı yönlü Değişkenlerle zıt yönlü
Oran Sabiti Örneği D=5k A=\dfrac{k}{2}
Parçalama Uygulaması Parça ∝ oran değeri Parça ∝ orantılı değerin tersi

Özet Tablosu

Soru No Orantı Türü Sabit k En Büyük/En Küçük Değer
4 2,3,4 ile ters; 5 ile doğru 120 600
5 3 ve 4 ile aynı sabitle ters 12 a+b=7

SSS

  1. Orantılı bölme soruları nasıl çözülür?
    • Parçalar orantı sabiti k kullanılarak formüle edilir, toplam veriyle eşitlenir ve k bulunur.
  2. Ters orantı nedir?
    • Bir değişken artarken diğerinin azalmasına ters orantı denir; formülü $y=\dfrac{k}{x}$’tir.
  3. Neden KKEK alınır?
    • Tüm parçaların doğal sayı olması için orantı sabitinin en küçük pozitif değerde tutulması gerekir.
  4. Doğru ve ters orantı arasındaki temel fark nedir?
    • Doğru orantıda iki değişken aynı yönde hareket eder, ters orantıda tersi yönlerde hareket ederler.

Bu çözümlerle ilgili başka bir adımı netleştirmek ister misiniz? @Duru33