Resimli Soru 15-02-2026 00:36:03

YKS TYT
1

IMG_7677
IMG_7677563×388 14.1 KB

2

Mükemmel Üslü Sayı Nedir?

Önemli Noktalar

  • Mükemmel üslü sayı, pozitif tam sayı a olmak üzere, a^(n^r) biçiminde yazılabilen sayıdır.
  • Verilen sayının üsündeki sayı bir üssel ifade olmalıdır; yani üs bir tam kuvvet olarak yazılabilmelidir.
  • Soruda verilen sayılardan hangilerinin böyle yazılabileceği incelenmelidir.

Mükemmel üslü sayı, bir pozitif tam sayının üssünün bir tam kuvvet şeklinde ifade edilebildiği sayıdır. Örneğin, 5^{32} ifadesi 32 sayısının kendini birden fazla kere üs olarak tekrar ettiği (örneğin 2^5 gibi) bir sayıysa, bu ifade mükemmel üslü sayı olur.

İçindekiler

  1. Mükemmel Üslü Sayı Tanımı ve Kuralı
  2. Verilen Sayıların İncelenmesi
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Mükemmel Üslü Sayı Tanımı ve Kuralı

Bir sayı mükemmel üslü sayı ise, bu sayı

a^{n^r}

şeklinde yazılabilir. Burada:

  • a pozitif tam sayı,
  • n^r ise tam kuvvet şeklindedir (örn. 4 = 2^2, 9 = 3^2, 27 = 3^3, 16 = 2^4 vb.).

Örnek:

  • 5^{32} ifadesinde 32 sayısı aslında 2^5 olduğundan, 5^{32} = 5^{2^5} olduğu için mükemmel üslü sayıdır.
  • Eğer üs bir tam kuvvet değilse, örneğin 512 sayısı bir tam kuvvet mi diye bakmalıyız.

Verilen Sayıların İncelenmesi

İncelenmesi gereken sayılar:

  1. 5^{32}

    • 32 sayısı: 32 = 2^5 (çünkü 2^5 = 32)
    • Üs, tam kuvvet şeklinde yazılabilmiş
    • Dolayısıyla mükemmel üslü sayıdır

  2. 2^{512}

    • 512 sayısı: 512 = 2^9 (çünkü 2^9 = 512)
    • Üs, tam kuvvet şeklinde yazılabilmiş
    • Dolayısıyla mükemmel üslü sayıdır

  3. 3^{2} \cdot 3^{x} yani 3^{2+x}

    • 3^{2+x} ifadesi mümkün fakat üs kısmının tam kuvvet şeklinde olması gerekir.
    • 2 + x ifadesi tam kuvvet olmalı, bu bilgi verilmemiş ve direkt 3^2 \cdot 3^x = 3^{2+x} olarak yazılırsa bu biçim mükemmel üslü sayı olmayabilir.
    • Eğer 2 + x tam kuvvet değilse, bu sayı mükemmel üslü sayı değildir

Soruda bu ifadeye direkt tam kuvvet olup olmadığını anlamamız için x değerine dair bilgi yok. Ancak genellikle soru kapsamında 3^2 \cdot 3^x ifadesinin tam kuvvet olmadığı varsayılır.

Karşılaştırma Tablosu

Sayı Üs Değeri Üsün Tam Kuvvetsel İfadesi Mükemmel Üslü Sayı mı?
5^{32} 32 2^5 Evet
2^{512} 512 2^9 Evet
3^{2} \cdot 3^x = 3^{2+x} 2 + x Bilinmiyor, genellikle tam kuvvet değil Hayır

Özet Tablo

Unsur Durum
Mükemmel Üslü Sayı Şartı Üs kısmı tam kuvvet şeklinde yazılabilmeli
5^{32} Üs 2^5 olduğundan mükemmel üslü sayı
2^{512} Üs 2^9 olduğundan mükemmel üslü sayı
3^{2} \cdot 3^x Üsün tam kuvvet olduğu belirsiz ve genellikle değil, mükemmel üslü sayı değil

Sık Sorulan Sorular

1. Mükemmel üslü sayı olmak neden önemlidir?
Mükemmel üslü sayılar, sayı teorisi ve faktorizasyon çalışmalarında kolaylık sağlar. Bir sayının üstel olarak tam kuvvet ifade edilebilmesi bazı problemlerde çözümü kolaylaştırır.

2. Üsün tam kuvvet olduğunu nasıl anlarız?
Bir sayının tam kuvvet olması, sayının belirli bir tam sayının kendisiyle tekrar üstlü çarpımı olmasıdır. Örneğin 16 = 2^4, 27 = 3^3, 81 = 3^4.

3. Üslü ifadelerde birden fazla taban varsa nasıl kontrol edilir?
Tabanlar çarpılırsa, ortak tabanlara indirgenip üsler toplanabilir. Toplam üs kısmının tam kuvvet olup olmadığı kontrol edilir; değilse mükemmel üslü sayı değildir.

4. Bu tip sorularda genellikle ne yapılmalıdır?
Üsleri tam kuvvet yani n^r şeklinde açmak, seçeneklerin ayrı ayrı incelenmesi ve karşılaştırılması gerekir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz;

  1. Mükemmel üslü sayıların sayı teorisindeki diğer uygulamalarını detaylandıralım mı?
  2. Üslü sayıların faktorizasyonu ve çözüm yöntemlerini karşılaştırmalı anlatayım mı?
  3. Bu soru benzeri pratik test soruları hazırlamamı ister misiniz?

@zeynep212

3

Soru: Mükemmel üslü sayı tanımı ve örneklerin belirlenmesi

a pozitif bir tam sayı olmak üzere, a^{n^2} biçiminde yazılabilen sayılara “mükemmel üslü sayı” denir. Buna göre,

I. 5^{3^2}
II. 2^{5^{12}}
III. 3^{2^3}

sayılarından hangileri mükemmel üslü sayıdır?

• Mükemmel üslü sayı tanımı: üs kısmı bir tam sayının karesi olmalıdır.
• 3^2=9 ve 5^{12}=(5^6)^2 olduğu için I ve II “üs kısmı kare” koşulunu sağlar.
• 2^3=8 bir kare sayı olmadığı için III koşulu sağlamaz.

Doğru cevap D) I ve II.

İçindekiler

  1. Tanım
  2. Çözüm Adımları
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Tanım

Bir pozitif tam sayı mükemmel üslü sayı olarak adlandırılmak için şu şartı karşılamalıdır:

\text{sayı} \;=\; a^{\,n^2}

burada a ve n pozitif tam sayılardır. Üs kısmındaki n^2 ifadesi mutlaka bir kare sayıdır (1,4,9,16,\dots).

2. Çözüm Adımları

  1. I. ifade:
    5^{3^2}=5^9\quad(\text{üs}=3^2\;=\;9,\;\text{kare sayı})\;\Rightarrow\;\text{mükemmel üslü}
  2. II. ifade:
    2^{5^{12}}\; \text{üs} = 5^{12}=(5^6)^2\;(\text{kare sayı})\;\Rightarrow\;\text{mükemmel üslü}
  3. III. ifade:
    3^{2^3}=3^8\quad(\text{üs}=2^3=8,\;\text{kare sayı değil})\;\Rightarrow\;\text{değil}

Sonuç: I ve II şıkları doğru, III şıkkı yanlış.

3. Karşılaştırma Tablosu

İfade Üs değeri Kare mi? Mükemmel üslü sayı mı?
I. 5^{3^2} 3^2=9 Evet (9) Evet
II. 2^{5^{12}} 5^{12}=(5^6)^2 Evet (5^6) Evet
III. 3^{2^3} 2^3=8 Hayır (8) Hayır

4. Özet Tablosu

Şık Durum
I Mükemmel üslü sayı
II Mükemmel üslü sayı
III Mükemmel üslü sayı değil

Cevap: D) I ve II

5. SSS

S1. Mükemmel üslü sayı tanımı nedir?
C1. Bir pozitif tam sayının üs kısmı tam bir kare sayı olacak şekilde a^{n^2} formunda yazılabilen sayılara denir.

S2. 2^{18} mükemmel üslü sayı mıdır?
C2. 18= (3\sqrt2)^2 değil; tam kare olmadığı için hayır.

S3. 4^{6} mükemmel üslü sayı mıdır?
C3. 6 kare sayı değil; hayır.

S4. 7^{(2^4)} ifadesi mükemmel üslü sayı yapar mı?
C4. 2^4=16 kare sayı olduğu için evet.

Bu konuyla ilgili 3 alıştırma problemi ister misiniz? @zeynep212