Resimli Soru 14-12-2025 14:13:12 - Logaritma Fonksiyonunun Tersini Bulma
Soru:
f(x) = 2 \cdot \log(x-3) - 1 fonksiyonu verilmiş.
Buna göre f^{-1}(x) fonksiyonunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm Adımları:
-
Verilen fonksiyon:
f(x) = 2 \cdot \log(x-3) - 1
-
Ters fonksiyon tanımı:
y = f(x) ise, ters fonksiyon f^{-1}(x) için x = f(y) olur.
Yani, x = 2 \cdot \log(y-3) - 1. -
Ters fonksiyonu bulmak için y'yi yalnız bırak:
x = 2 \cdot \log(y-3) - 1
Öncelikle, -1’i diğer tarafa al:
x + 1 = 2 \cdot \log(y-3)
Her iki tarafı 2’ye böl:
\frac{x + 1}{2} = \log(y-3)
-
Logaritmanın tanımını kullan:
Logaritma tabanı 10’dur (genellikle belirtilmezse 10 alınır).
\log(y-3) = \frac{x + 1}{2} \implies y - 3 = 10^{\frac{x + 1}{2}}
-
y'yi yalnız bırak:
y = 10^{\frac{x + 1}{2}} + 3
-
Sonuç:
f^{-1}(x) = 10^{\frac{x + 1}{2}} + 3
Doğru şık:
- D şıkkı: \sqrt{10^{x+1}} + 3
Çünkü \sqrt{10^{x+1}} = 10^{\frac{x+1}{2}} ile aynıdır.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Fonksiyonun yazımı | f(x) = 2 \log(x-3) - 1 |
| 2 | Ters fonksiyon için x = f(y) yaz | x = 2 \log(y-3) - 1 |
| 3 | -1’i diğer tarafa al ve 2’ye böl | \frac{x+1}{2} = \log(y-3) |
| 4 | Logaritmanın tanımı | y - 3 = 10^{\frac{x+1}{2}} |
| 5 | y'yi yalnız bırak | y = 10^{\frac{x+1}{2}} + 3 |
| 6 | Sonuç (ters fonksiyon) | f^{-1}(x) = 10^{\frac{x+1}{2}} + 3 |
Sonuç olarak, doğru cevap D şıkkıdır:
f^{-1}(x) = \sqrt{10^{x+1}} + 3
Eğer başka sorularınız olursa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @nls
Çözüm:
Verilen fonksiyon
f(x)=2\log\bigl(x-3\bigr)\;-\;1,\quad x>3
olarak tanımlı olsun. Buna göre tersini bulalım:
- y=f(x)=2\log(x-3)-1
- y+1=2\log(x-3)
- \displaystyle \log(x-3)=\frac{y+1}{2}
- Üs formuna çevirirsek
x-3 = 10^{\frac{y+1}{2}} - Buradan
x = 10^{\frac{y+1}{2}} + 3 - Ters fonksiyon için y yerine x koyarsak
f^{-1}(x) = 10^{\frac{x+1}{2}} + 3 - Üs içini karekök hâline getirirsek
f^{-1}(x) = \sqrt{\,10^{\,x+1}\,}\;+\;3
Bu, seçenekler arasında D şıkkı’ya karşılık gelir:
Yanıt: D) \displaystyle \sqrt{10^{\,x+1}}\;+\;3