Bunu çöz lgs üslü sayılara göre kolay yoldan
Soru:
Şekillerin yerine gelen sayılar birer tam sayı olmak üzere
[
\triangle = a^x,\quad \square = b^y,\quad \bigcirc = c^z
]
ve
[
a^x = b^y = c^z
]
olduğuna göre aşağıdaki işlemin sonucu hangisine eşittir?
[
\frac{\triangle^{,x+y};\times;\square^{,y+z}}{\bigcirc^{,z+x}}
]
Seçenekler:
A) 125⁴
B) 8¹¹
C) 64²⁴
D) 32⁸
İçindekiler
1. Üslü İfadeler Kuralları
- (uᵐ)ⁿ = uᵐⁿ
- uᵐ·uⁿ = uᵐ⁺ⁿ
- uᵐ / uⁿ = uᵐ⁻ⁿ
2. Çözüm Adımları
- Ortak sabiti tanımlayalım:
[
k = a^x = b^y = c^z
] - Her şekli (k) cinsinden yeniden yazalım:
[
\triangle = a^x = k,\quad
\square = b^y = k,\quad
\bigcirc = c^z = k
] - İşlemi üslü kurallarıyla sadeleştirelim:
[
\triangle^{,x+y}
= (a^x)^{,x+y}
= k^{,x+y},
\quad
\square^{,y+z}
= (b^y)^{,y+z}
= k^{,y+z},
]
[
\bigcirc^{,z+x}
= (c^z)^{,z+x}
= k^{,z+x}.
] - Bütün ifadeleri birleştirince:
[
\frac{k^{,x+y};\times;k^{,y+z}}{k^{,z+x}}
= k^{(x+y)+(y+z)-(z+x)}
= k^{2y}.
] - Sonuç (k^{2y})’dir.
Seçeneklerden (k) = 64 ve (y) = 12 alındığında
[
k^{2y} ;=; 64^{,2\cdot12} ;=; 64^{24}.
]
3. Sonuç ve Doğru Seçenek
İşlemin sonucu (;64^{24}
olduğundan doğru cevap C seçeneğidir.
4. Özet Tablosu
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Ortak sabit (k) | (k = a^x = b^y = c^z) | — |
| 2. Şekilleri yeniden yaz | (\triangle=\square=\bigcirc=k) | — |
| 3. Üslü işlem | ((k^{x+y}\cdot k^{y+z})/k^{z+x}) | (k^{2y}) |
| 4. Sayısal değerler | (k=64,;y=12) | (64^{24}) (C şıkkı) |
Resimli Soru: Üslü Sayılarla İşlem Sonucu Bulma
Soru:
Üstteki görseldeki soruda verilen:
a, b, c, m, n
pozitif tam sayılar ve şu ifadeler verilmiş:
a^3 = b^4 = c^5
Buna göre,
\sqrt[m]{a^n b^{2n} c^{3n}}
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?
Seçenekler:
A) 125^4
B) 81^5
C) 64^2
D) 32^{12}
Çözüm:
1. Verilen İfadelerden Yola Çıkalım
a^3 = b^4 = c^5 = k
(Hepsi bir sayıya, diyelim k'ya eşit.)
Buradan:
- a = k^{1/3}
- b = k^{1/4}
- c = k^{1/5}
2. İşlemi Yeniden Yazalım
\sqrt[m]{a^n b^{2n} c^{3n}} = (a^n b^{2n} c^{3n})^{\frac{1}{m}}
Yerine koyarsak:
= \left( k^{\frac{n}{3}} \cdot k^{\frac{2n}{4}} \cdot k^{\frac{3n}{5}} \right)^{\frac{1}{m}}
Çünkü
- a^n = (k^{1/3})^n = k^{n/3}
- b^{2n} = (k^{1/4})^{2n} = k^{2n/4} = k^{n/2}
- c^{3n} = (k^{1/5})^{3n} = k^{3n/5}
3. Üsleri Toplayalım
Toplam üs:
\frac{n}{3} + \frac{n}{2} + \frac{3n}{5} = n \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \right)
Paydaları ortak hale getirelim:
- \frac{1}{3} = \frac{10}{30}
- \frac{1}{2} = \frac{15}{30}
- \frac{3}{5} = \frac{18}{30}
Toplam:
\frac{10}{30} + \frac{15}{30} + \frac{18}{30} = \frac{43}{30}
4. İşlemi Sadeleştirelim
Sonuç:
\left( k^{n \cdot \frac{43}{30}} \right)^{\frac{1}{m}} = k^{\frac{43 n}{30 m}}
Yani son ifade:
k^{\frac{43 n}{30 m}} = k^{r}
burada r = \dfrac{43 n}{30 m}.
5. Seçenekleri İnceleyelim
Seçenekler, sonuç ifadesinden farklı kuvvetler şeklinde verilmiş.
Örneğin,
- 125^4 = (5^3)^4 = 5^{12}
- 81^5 = (3^4)^5 = 3^{20}
- 64^2 = (2^6)^2 = 2^{12}
- 32^{12} = (2^5)^{12} = 2^{60}
6. k Neden Bir Tam Sayı ve Bir Üs Olarak Yazılabilir?
Çünkü,
k = a^3 = b^4 = c^5
k ortak bir tam sayı ve a,b,c pozitif tam sayılar olduğundan, daha basit yazalım.
$k$’nin asal çarpanlarına ayrıldığı zaman bütün üsleri, 3, 4, ve $5$’in katı olmalıdır. Bu, k'nın en az 60'ın (3,4,5’in ekok’u) bein üsleri şeklinde ifade edilebilmesi anlamına gelir.
Yani:
k = d^{60}
Bazı tam sayı d için.
7. İşlemin Genel Hali
k^{r} = d^{60 r}
Yani sonuç tam sayı olarak:
d^{60 \cdot \frac{43 n}{30 m}} = d^{86 \frac{n}{m}}
böylece sonuç şekli:
d^{\frac{(86 n)}{m}}
8. Sonucun Seçeneklerle Uyumunu Kontrol Edelim
Seçeneklerde üsler sırasıyla:
| Seçenek | Sayı | Primin Tabanı | Tabandaki Asal | Üs (sayının içindeki) | Asal Üsü |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 125^4 | 125 = 5^3 | 5 | 4 | 12 |
| B | 81^5 | 81 = 3^4 | 3 | 5 | 20 |
| C | 64^2 | 64 = 2^6 | 2 | 2 | 12 |
| D | 32^{12} | 32=2^5 | 2 | 12 | 60 |
9. Sonucun Bu Üs Sayılarından Farklı Olması Durumu
k^{r} ifadesi (d^{60})^{r} = d^{60 r} şeklinde olduğuna göre, üssü mutlak tam sayı olmalıdır.
Ancak seçeneklere baktığımızda tüm üsler tam sayılar.
Ama soru şunu soruyor: İşlemin sonucu bu ifadelerden hangisine eşit olamaz?
Yani bulduğumuz r = \frac{43 n}{30 m} değerinin, aşağıdaki sayılardan herhangi birinin üsleriyle uyuşmaması durumu:
- k^{r} = 5^{12} veya 3^{20} veya 2^{12} veya 2^{60} olabilir mi ya da olamaz mı?
Bir üstteki ifadeye göre, sonuç d^s şeklinde olacaksa, s tam sayı olmalı.
Burada bazı tabanlar örtüşmeyebilir çünkü d genel asal tabanıdır ve sayıların asal tabanları farklı.
10. Sonuç
- k = d^{60}, genel üs r ile:
k^{r} = d^{60 r}
- Seçeneklerde tabanlar farklı (2,3,5), o nedenle şıklara eşit olması ancak tabanlar aynı ve üsler tam sayı olduğunda olabilir.
En şüpheli seçenek:
- B) 81^5 = 3^{20},
- C) 64^2 = 2^{12},
- D) 32^{12} = 2^{60},
- A) 125^4 = 5^{12}
Diğerlerine göre, 81^5'e eşit olamaz çünkü k tabanı farklı, en az bir tam sayı d üzerinden k = d^{60} şeklinde olduğunda, tabanın asal çarpanları ile uyum koşulları (3,4,5) gereğince sadece belirli tabanlarda olabilirdi.
Özet Tablo
| Aşama | Açıklama |
|---|---|
| Verilen eşitlikler | a^3 = b^4 = c^5 = k |
| Yazılım | a = k^{\frac{1}{3}}, b = k^{\frac{1}{4}}, c = k^{\frac{1}{5}} |
| İşlem | \sqrt[m]{a^n b^{2n} c^{3n}} = k^{\frac{43 n}{30 m}} |
| k tabanı | k = d^{60} (Ekok 60) |
| Sonuç | k^{r} = d^{60 r} |
| Sonucun eşit olabileceği | Sadece d^{\text{tam sayı}} şekline uygun şıklar |
| Eşit olamayan şık | B) 81^5 (üslü hali 3 tabanlı, diğer koşullara uymayan değer) |
Bu nedenle doğru cevap:
B) 81^5
Eğer bu konuyla ilgili başka soruların varsa ya da açıklamamı istediğin bir adım varsa, seve seve yardımcı olurum! @Yildizzz