Cevap: Soruların çözümüne geçmeden önce sırasıyla verilen problemlerin analizini yapalım. Verilen resimde çeşitli geometri, trigonometri ve analitik soruları görünmektedir. Soruları adım adım, detaylı bir şekilde çözelim.
1. Soru: Üçgenlerin Benzerlik ve Oranları
ABC ve DEF üçgenleri için;
- ABC üçgeninin uzunluğu 5.
- DEF üçgenine eşlik eden x değeri soruluyor.
Çözüm Adımları:
- Benzerlik kuralları: Eğer iki üçgen benzermiş gibi çizilmişse, benzer üçgenlerin kenar uzunluklarının oranı aynı olur.
- Uzunluk ABC = 5 ve DEF’teki diğer kenar aynı oranda verilmişse x değeri doğru orantı yolu ile çözülecek.
2. Soru: Silindir Geometrisi
Çizimde bir silindir verilmiş ve sorulanlar:
a) Silindirin Yüzey Alanı
b) Silindirin Hacmi
Çözüm Adımları:
- Yüzey Alanı:
Silindir için yüzey alanı formülü:
Burada:
- r yarıçap,
- h yükseklik,
- \pi sabiti (3.14).
- Hacim:
Silindirin hacmi formülü ise:
3. Soru: Pisagor Teoremi
Pisagor teoremi kullanılarak şu ifade çözülecek:
- Verilen uzunluklara göre üçgenin hipotenüs ya da bir kenarı bulunabilir.
4. Soru: Dikdörtgen Prizmanın Hacmi ve Alanı
Prizmanın taban alanı ve hacmi şu şekilde hesaplanır:
-
Alan:
Tüm yüzey alanı = (taban, yan yüzey ve üst alanların toplamları). -
Hacim:
5. Soru: Trigonometri Problemi
Verilen açıların sırasıyla çözümü:
- Sinüs (\sin), cosinüs (\cos) ve açı hesaplamaları yapılmalı.
Bu soruların her birini çözebilmem için daha fazla detay gerekiyor. Verilen ölçüleri doğru bir şekilde çözümlemek için fotoğraftaki formülleri dikkatlice kullanabiliriz. Sorunun üzerindeki verilerden net değilse lütfen ayrıntıları paylaşın. 
Resimdeki Sorular ve Olası Çözümler
Merhaba, elinizdeki fotoğrafta görülen sorular, temel düzeyde geometri ve trigonometri konu başlıklarını içeriyor gibi görünmektedir. Fotoğrafın tam netliği ve ölçüleri belirsiz olsa da, soruları genel hatlarıyla şu şekilde yorumlayıp çözmeye çalışabiliriz:
İçindekiler
- Üçgenlerle İlgili Problem (ABC ve DEF)
- Silindir (Yüzey Alanı ve Hacim)
- Dik Üçgende Pisagor Problemi (5, x, 20)
- Prizma veya Dikdörtgenler Prizması (ABCD)
- Trigonometri Soruları (sin, cos, tan)
- Özet Tablo
- Genel Özet ve Sonuç
1. Üçgenlerle İlgili Problem (ABC ve DEF)
Fotoğrafta, “ABC üçgeninin alanı 5 birim², DEF üçgeninin alanı da buna eşit ise x = ?” şeklinde bir ifade olduğu anlaşılıyor. Burada tipik olarak ya benzer (eş biçimli) üçgenler incelenir ya da ek bilgi gereklidir (kenar uzunlukları, yükseklik vb.). Soruda, “Alan(ABC) = 5” ve “Alan(DEF) = 5, x = ?” olarak geçiyor. Bu tür sorularda genellikle şu iki durumdan biri yaşanır:
-
Benzer Üçgenler
- İki üçgenin benzerlik oranını bilirsek, alanlar arasındaki oranı da biliriz.
- Alan oranı, benzer üçgenlerde (benzerlik oranının karesi) şeklinde hesaplanır.
- Eğer alanlar eşitse, o zaman benzer üçgenlerin benzerlik katsayısı 1 çıkar ve dolayısıyla kenarlarda da aynı uzunluk değerlerini görürüz. Bu durumda soru, x’in verilmiş başka bir kenara eşit olduğunu ima edebilir.
-
Ortak Yükseklik veya Ortak Taban Kullanımı
- Bazı sorularda ABC üçgeninin tabanı belli; DEF üçgeni bu tabanla aynı uzunluğa sahip veya aynı yüksekliği paylaşıyor olabilir.
Ne yazık ki fotoğraftaki netlik kısıtlı olduğu için tam sayısal değerler belli değil. Yine de şu şablon üzerinden ilerleyebiliriz:
- Alan(ABC) = 5 birim²
- Alan(DEF) = 5 birim²
- Üçgenler benzer veya aynı boyda ise, ilgili kenar uzunluklarının eşit olması beklenir.
Adım Adım Genel Örnek Çözüm
-
Alan Formülü
Düzensiz görünen herhangi bir üçgen için alan formülü:\text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{(taban)} \times \text{(yükseklik)} -
Benzerlik Durumu
Eğer üçgenler benzer ise:\frac{Alan(ABC)}{Alan(DEF)} = \left(\frac{\text{Kenar}(ABC)}{\text{Kenar}(DEF)}\right)^2Eşit alanlar için:
\frac{5}{5} = 1 = \left(\frac{\text{Kenar}(ABC)}{\text{Kenar}(DEF)}\right)^2 \implies \frac{\text{Kenar}(ABC)}{\text{Kenar}(DEF)} = 1Dolayısıyla ilgili kenarlar (örneğin x) aynı uzunluğa sahip olur.
-
Pratik Yaklaşım
Eğer soru “x’i bulun” diyorsa ve “DEF üçgeninin de alanı 5 ise,” muhtemelen x, ABC üçgenindeki belirli bir kenarın ölçüsüne eşittir (veya aynı yükseklik/vb.).
Bu aşamada kesin bir değer veremiyoruz çünkü fotoğrafa dair net veri yok; ancak mantık bu şekilde işliyor. Benzerlik varsa ve alanları eşitse, kenar oranı mutlaka 1’dir.
2. Silindir (Yüzey Alanı ve Hacim)
Fotoğrafta silindir çizimi altında iki soru dikkat çekiyor:
- “Yüzey alanı = ?”
- “Hacmi = ?”
Bir silindirin yarıçapını r, yüksekliğini de h kabul edersek:
2.1. Silindirin Yüzey Alanı
Bir silindirin tam yüzey alanı (A) iki dairesel taban ile yan yüzey alanının toplamıdır. Formül:
Burada:
- 2 \cdot (\pi r^2): Üst ve alt dairenin toplam alanı
- 2 \pi r h: Yan yüzeyin alanı (dairesel alanın çevresi 2\pi r, yüksekliği h)
2.2. Silindirin Hacmi
Silindirin hacmi (V) şu şekilde hesaplanır:
Örnek Sayısal Uygulama
- Yarıçap r = 3 cm, Yükseklik h = 5 cm olsun.
- Yüzey alanı:A = 2(\pi \times 3^2) + 2\pi \times 3 \times 5 = 2(9\pi) + 30\pi = 18\pi + 30\pi = 48\pi \approx 150.796
- Hacim:V = \pi \times 3^2 \times 5 = \pi \times 9 \times 5 = 45\pi \approx 141.372
3. Dik Üçgende Pisagor Problemi (5, x, 20)
Fotoğrafta görülen bir üçgende kenarlardan biri 5, diğeri 20 ve “x” adında bir kenar olduğu ve “=> Pisagor” ibaresi yer alıyor. Bir dik üçgende kenarlar a, b, ve hipotenüs c olmak üzere
şeklinde formül uygulanır.
Soru tipik olarak şöyle olabilir: “Bir dik üçgende hipotenüs 20, kısa kenar 5 ise diğer kenar (x) nedir?”
Adım Adım Çözüm
-
Hipotenüsün Belirlenmesi
- 20 ile 5 arasında büyük olan 20, hipotenüs olarak kabul edilir: c = 20.
- Diğer kenarlardan biri 5 (yani a=5), diğeri b=x (bulunacak).
-
Pisagor Teoremi Uygulama
a^2 + b^2 = c^25^2 + x^2 = 20^225 + x^2 = 400x^2 = 400 - 25 = 375x = \sqrt{375} = \sqrt{25 \cdot 15} = 5\sqrt{15} -
Yaklaşık Değer
5\sqrt{15} \approx 5 \times 3.873 = 19.365
Dolayısıyla x = 5√15.
4. Prizma veya Dikdörtgenler Prizması (ABCD)
Fotoğrafta beşinci sırada dikdörtgenler prizması veya başka bir prizma çizimi olduğu anlaşılıyor. Muhtemelen şu iki kavram isteniyor:
- Yüzey Alanı
- Hacim
Eğer şekil gerçekten dikdörtgenler prizması (köşeleri A, B, C, D ve üst tabandaki E, F, G, H gibi) ise boyutları genelde a, b, h şeklinde verilir.
4.1. Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Alanı
Bir dikdörtgenler prizmasının tam yüzey alanı:
- Burada a ve b taban kenarları, h ise yükseklik olabilir.
4.2. Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi
Tabii bu soruda da net rakamlar görünmediğinden, sadece formülü belirtmekle yetiniyoruz. Bazen prizmanın neti (açınımı) verilir ve oradan kenar ölçüleri anlaşılır. “AB = x cm, BC = y cm, yükseklik = z cm” gibi…
5. Trigonometri Soruları (sin, cos, tan)
Fotoğrafta son kısımda “w(Cos x= …), a) x = … b) x=…” vb. bir ifade varmış gibi duruyor. Burada üç temel orana dair (sin, cos, tan) değerleri sorgulanıyor olabilir.
5.1. Temel Bilgiler
- \sin x = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
- \cos x = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
- \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}}
5.2. Örnek Senaryo
Diyelim ki soru “$\cos x = \frac{5}{13}$ ise $x = ?$” şeklinde olsun. Bu hemen akla klasik 5-12-13 dik üçgenini getirir. Bu durumda:
- \sin x = \frac{12}{13}
- \tan x = \frac{12}{5}
- Ve x = \cos^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) radyan veya derece cinsinden hesaplanabilir.
Derece cinsinden yaklaşık değer:
(Elbette soruda farklı değerler geçiyor olabilir; ancak mantık, trigonometrik oranlardan açı veya diğer trigonometrik fonksiyonları bulmaktır.)
6. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, fotoğrafta yer aldığı düşünülen soruların tipik formüllerini ve olası sonuçları kısaca özetliyoruz:
| Soru No | Problem Tipi | Formül/Çözüm Özeti | Olası Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1 | Benzer Üçgenler (ABC, DEF) | Alan(ABC) = 5, Alan(DEF) = 5. Benzerlik ⇒ Kenar oranları = 1 | x, ABC’deki ilgili kenarla eşit |
| 2 | Silindir Yüzey Alanı ve Hacmi | Yüzey Alanı: 2\pi r^2 + 2\pi r h Hacim: \pi r^2 h |
Gerekli yerleştirme sürpriz değer olmaz |
| 3 | Dik Üçgen (Pisagor) (5, x, 20) | 5^2 + x^2 = 20^2 \implies x = \sqrt{375} = 5\sqrt{15} | Yaklaşık 19.36 |
| 4 | Prizma (ABCD …) (Yüzey Alanı, Hacmi) | Verilen kenarlar a, b, h ise Yüzey Alanı: 2(ab + ah + bh) Hacim: a \times b \times h |
Net değerler uzunluklara göre değişir |
| 5 | Trigonometri (sin, cos, tan) | Örn: \sin x = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} vb. x bulunacaksa, ters trig. fonksiyonlar kullanılır |
Değerler tablo veya açısal sonuç |
7. Genel Özet ve Sonuç
Elinizdeki sorular temelde şu konuları kapsıyor:
-
ABC ve DEF Üçgenlerinin Alanları: İki üçgenin alanları eşit veriliyor, benzerlik veya aynı alan koşulu üzerinden “x” değeri aranıyor. Veriler net olmadığından, formüllerle genel yaklaşımı paylaştık. Benzerlikte alan eşitse, ölçek katsayısı 1 olur ve ilgili kenarların uzunluğu da aynıdır.
-
Silindirin Yüzey Alanı ve Hacmi:
- Yüzey Alanı: A = 2\pi r^2 + 2\pi r h
- Hacim: V = \pi r^2 h
-
Pisagor (5, x, 20):
- Dik üçgende hipotenüs 20 ise, diğer kenar 5 verildiğinde x = 5\sqrt{15}.
-
Prizma (Dikdörtgenler Prizması):
- Yüzey Alanı: 2(ab + ah + bh)
- Hacim: a \times b \times h
-
Trigonometri:
- \sin x, \cos x, \tan x hesabı
- Ters trigonometrik fonksiyonları (\sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1}) kullanma
- Klasik üçgenler (3-4-5, 5-12-13 vb.) üzerinden değer bulma
Bu soruların hemen hepsi lisede veya ortaöğretimde karşımıza çıkan standart geometri ve trigonometri konularından örneklerdir. Öğrenme aşamasında:
- Temel formülleri mutlaka ezberleyip birkaç alıştırma çözmek,
- Benzerlik, alan, hacim ve trigonometri yöntemlerini bolca tekrar etmek,
- Bir dik üçgende hangi kenarın hipotenüs olduğunu veya hangi fonksiyonun kullanıldığını dikkatlice analiz etmek,
en önemli püf noktalarıdır. Bu yaklaşımlar ile sorularınızı kolayca yanıtlayabilirsiniz.
Resimdeki Soruların Çözümü ve Açıklamaları
Merhaba! Gönderdiğiniz fotoğrafta birden fazla geometri ve trigonometri sorusu yer alıyor. Sorular kabaca şu bölümlere ayrılmış görünüyor:
- İki farklı üçgen (ABC ve DEF) ile ilgili bir ifade
- Silindirin yüzey alanı ve hacmini bulma
- Üçgenle ilgili Pisagor bağıntısı
- Dik üçgenle ilişkilendirilmiş trigonometri problemleri (cos x vb.)
- Küp veya dikdörtgenler prizması benzeri bir katı cisme ait yüzey alanı/hacim sorusu
- Genel trigonometrik ifadeler (cos x = vb.)
Aşağıda her bir başlığı adım adım inceleyerek ve bilinen temel formülleri kullanarak nasıl yaklaşabileceğinizi gösteriyorum. Elbette sorulardaki tüm rakamlar veya açı değerleri fotoğrafta net görünmediği için örnek formüller ve tipik çözüm yolları üzerinden gideceğiz. Siz soruda verilen sayısal değerleri bu yöntemlere yerleştirerek çözümü elde edebilirsiniz.
Table of Contents
- ABC ve DEF Üçgenleri
- Silindirin Yüzey Alanı ve Hacmi
- Pisagor Bağıntısı ile Üçgen Sorusu
- Trigonometri - cos, sin, vb.
- Küp/Dikdörtgenler Prizması Yüzey Alanı ve Hacmi
- Soru 6: w(cos x) = ? Türü Denklemler
- Özet Tablo
- Genel Özet
1. ABC ve DEF Üçgenleri
Fotoğrafta, “ABC üçgeninin …” ve “DEF üçgeninin …” şeklinde bir ifade var. Muhtemelen:
- Üçgenlerden biri eşkenar, ikincisi de benzer veya eş üçgen olarak tanımlanmış.
- Veya birinde kenar uzunlukları verilmiş, diğerinde bir kenar ya da açı üzerinden x değeri isteniyor.
Çözüm Yöntemi
-
Eşlik & Benzerlik:
- Eş üçgenlerde tüm kenarlar oranı 1:1’dir, açıları aynıdır.
- Benzer üçgenlerde ise kenarların karşılıklı oranları eşit olur (Ör: AB / DE = BC / EF = CA / FD).
-
Açı-Kenar Bağıntıları:
- Eğer üçgenin eşkenar olduğu söyleniyorsa, her kenar aynı uzunlukta olur.
- Eğer bir üçgenin açılarından biri 60°, diğeri 60°, sonuncusu da 60° ise yine eşkenar üçgendir.
-
Verilen Değerlere Göre X’in Bulunması:
- Örneğin, “ABC üçgeninin bir kenarı 5 birim ise, DEF üçgeninin karşılık gelen kenarı x kaçtır?” gibi ifadelerde benzerlik oranı kullanılır.
- Oran = (DEF üçgenindeki kenar) / (ABC üçgenindeki kenar).
Bu kısımda fotoğrafta net değerler göremediğimiz için genel formülü aktarıyorum. Siz, verilen sayıları bu formüllere yerleştirerek x değerini bulabilirsiniz.
2. Silindirin Yüzey Alanı ve Hacmi
Soruda silindire ait iki soru olduğu anlaşılıyor:
- (a) Yüzey Alanı
- (b) Hacim
Bir silindiri tariflerken:
- r = Taban yarıçapı
- h = Yükseklik
Toplam Yüzey Alanı formülü:
- 2 \pi r^2 ifadesi, üst + alt daire alanlarının toplamı
- 2 \pi r h ifadesi, silindirin yanal alanı
Hacim formülü:
Silindirin taban alanı olan \pi r^2 değerini yükseklik h ile çarparsanız hacmi bulursunuz.
Uygulama Örneği
- Taban yarıçapı r=3 cm, yükseklik h=10 cm ise:
- Yüzey Alanı = 2\pi(3)^2 + 2\pi(3)(10) = 2\pi \cdot 9 + 2\pi \cdot 30 = 18\pi + 60\pi = 78\pi \text{ cm}^2
- Hacim = \pi \cdot (3)^2 \cdot 10 = 90\pi \text{ cm}^3
Sizde sorudaki r ve h değerlerini yerine koyarak hesaplama yapabilirsiniz.
3. Pisagor Bağıntısı ile Üçgen Sorusu
Bir dik üçgenin kenarları genelde a, b (dik kenarlar) ve c (hipotenüs) olmak üzere sınıflandırılır. Pisagor Teoremi:
- Eğer c (en uzun kenar) bilinmiyorsa, c = \sqrt{a^2 + b^2}.
- Eğer c veriliyorsa ve bir dik kenar (ör. a) veriliyorsa, b = \sqrt{c^2 - a^2}.
Fotoğrafta “Pisagor” başlığı görüldüğü için büyük ihtimalle şu tip bir soru olabilir:
- Dik kenarı 6, diğer dik kenarı x, hipotenüsü 10 duran bir üçgen. O durumda 6^2 + x^2 = 10^2 \implies x^2 = 100 - 36 = 64 \implies x = 8.
Sizde hangi kenarların verildiğine bakarak bu formülü uygulayın.
4. Trigonometri - cos, sin, vb.
Fotoğrafta trigonometriyle ilgili bazı denklemlerin olduğu görülüyor. Örneğin:
- cos x = …
- sin x = …
Bu tarz sorularda şunlara dikkat etmeliyiz:
-
Temel Kimlikler
- \sin^2 x + \cos^2 x = 1
- 1 + \tan^2 x = \sec^2 x (daha ileri seviye)
-
Temel Açı Değerleri
- \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} vb.
- Eğer bir trigonometrik denklemde sayısal değer verilmişse, tablolara (veya trigonometrik kimliklere) bakmak gerekir.
-
Dönüşüm Formülleri
- \cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta vb.
Fotoğrafta tam olarak hangi rakamların yazdığı belli olmasa da, “$w(\cos x) = 52$” gibi bir ifade varsa, belki w sabittir—o denklemi $\cos x = 52 / w$ haline getirip, oradan x açısı hesaplanabilir (her iki tarafın arccos’u alınarak).
5. Küp veya Dikdörtgenler Prizması Yüzey Alanı ve Hacmi
Fotoğraftaki beşinci soru büyük ihtimalle bir küp (tüm kenarları eşit) veya bir dikdörtgenler prizması (eni, boyu, yüksekliği farklı) ile ilgili:
-
Küpte:
- Kenar uzunluğu = a
- Yüzey Alanı = 6a^2
- Hacim = a^3
-
Dikdörtgenler Prizmasında:
- Kenar uzunlukları = a, b, h
- Toplam Yüzey Alanı = 2(ab + ah + bh)
- Hacim = a \cdot b \cdot h
Soruda “AB = ?, EF= ?” gibi ifadeler olabilir. Ölçüleri yerleştirerek formüllerden faydalanın.
6. Soru 6: w(cos x) = ? Türü Denklemler
Resimde, alt kısımda “(a) … (b) … (c) … (d) …” gibi görünüyor. Muhtemelen farklı trig fonksiyonlarının (ör. \sin x, \cos x, \tan x) belirli değerlere eşit olduğu durumlar yer alıyor. Bu tip soruların çözümünde:
- Denklem basitçe \cos x = k ya da \sin x = k formuna indirilir.
- Sonra x açısı, x = \arccos(k) veya x = \arcsin(k) biçiminde bulunur.
- Döneminize (derece mi radyan mı) ve sorulan aralığa (0^\circ \le x \le 180^\circ gibi) dikkat ederek çözersiniz.
Örnek:
- \cos x = 0.5 → x = 60^\circ veya x = 300^\circ (0°–360° aralığında).
- \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} → x = 45^\circ veya x = 135^\circ.
7. Özet Tablo
| Soru Başlığı | Gerekli Formüller / Yöntem | İpuçları |
|---|---|---|
| 1) ABC ve DEF Üçgenleri | Benzerlik Oranı: (Kenar1 / Kenar2) | Açı ölçülerini veya kenar oranlarını kıyaslayın |
| 2) Silindirin Yüzey Alanı ve Hacmi | A_{\text{toplam}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h, V = \pi r^2 h | r ve h değerlerine göre formülleri uygulayın |
| 3) Pisagor Bağıntısı (Dik Üçgen) | a^2 + b^2 = c^2 | Verilen iki kenardan üçüncüyü bulun |
| 4) Trigonometrik İfadeler (cos, sin vb.) | \sin^2 x + \cos^2 x = 1, Temel açı bilgileri, arccos/arcsin | 0–90° gibi aralıklara dikkat |
| 5) Küp/Dikdörtgenler Prizması (Yüzey Alan/Hacim) | A_{\text{küp}}=6a^2,\ V_{\text{küp}}=a^3; \n$A_{\text{dp}}=2(ab+ah+bh)$ | Kenar uzunluklarını doğru yerleştirin |
| 6) w(cos x) = 52 vb. Denklemler | \cos x = \frac{52}{w} veya \sin x = \frac{k}{m} tipinde dönüştürmek | arccos, arcsin veya tablo kullanarak açı bulunur |
8. Genel Özet
Gönderdiğiniz görselde tek sayfada çeşitli geometri (üçgen benzerliği, silindir, pisagor) ve trigonometri konuları harmanlanmış. Her biri için temel formüller şöyle:
- Üçgenlerde Benzerlik & Eşlik: Kenar veya açı bilgilerini kıyaslayın, orantıyla x bulun.
- Silindir:
- Toplam Yüzey Alanı = 2\pi r^2 + 2\pi r h
- Hacim = \pi r^2 h
- Pisagor: a^2 + b^2 = c^2 (dik üçgenin temel bağıntısı)
- Trigonometri:
- \sin^2 x + \cos^2 x = 1
- Verilen değer üzerinden \arcsin(\cdot) veya \arccos(\cdot) ile açı bulunabilir.
- Küp/Dikdörtgen Prizması: Toplam yüzey alanı ve hacim formüllerini uygulayın.
- Trigon. Denklemler: Denklemi sadeleştirip taban trig. fonksiyon formuna (\cos x = \dots) indirgemeye çalışın.
Bu temel yöntemleri kullanarak fotoğrafta yer alan her alt soruyu, soruda verilen sayısal değerlerle tek tek çözebilirsiniz. Umarım yardımcı olur!