Resimli Soru 14-02-2026 18:46:31

YKS TYT
1

IMG_7663
IMG_7663720×960 22.8 KB

2

Dik Koordinat Düzleminde Eşit Uzaklıkta ve X Ekseni Üzerindeki Noktanın Apsisi

Önemli Noktalar

  • Verilen noktalar A(-3,1) ve B(4,3)
  • Aranan nokta x ekseni üzerinde, yani formu (x,0)
  • Bu nokta A ve B noktalarına eşit uzaklıkta
  • Uzaklık formülü kullanılarak apsisi (x değeri) bulunur

Verilen koşula göre, nokta (x,0) hem A’ya hem B’ye eşit uzaklıkta olmalı. Bu mesafeler eşitlenir ve x için çözüm yapılır.

İçindekiler

  1. Problemin Çözümü
  2. Uzaklık Formülü Hatırlatma
  3. Adım Adım Hesap
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Çözümü

Noktalar:

  • A(-3,1)
  • B(4,3)
  • Aranan nokta: (x,0) (x ekseni üzerindeki nokta)

Eşit uzaklık koşulu:

\sqrt{(x + 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + (0 - 3)^2}

Her iki tarafın karesi alınır:

(x + 3)^2 + 1 = (x - 4)^2 + 9

Açalım:

x^2 + 6x + 9 + 1 = x^2 - 8x + 16 + 9
x^2 + 6x + 10 = x^2 - 8x + 25

Her iki taraftan x^2 çıkarılır:

6x + 10 = -8x + 25
6x + 8x = 25 - 10
14x = 15
x = \frac{15}{14}

Bu sonuç, noktanın apsisidir.

Cevap: \frac{15}{14}

Seçenekler arasında D şıkkı: \frac{13}{14} ama doğru cevap \frac{15}{14}'tür. Sorunun işaretlenen şıkkı C) \frac{15}{14} yanlıştır çünkü \frac{15}{14} C şıkkında değil D şıkkına yakın yanlış yazılmıştır.
Muhtemelen resimde soru yanıtıyla alakalı küçük karışıklık var.
Ancak doğru sonuç yukarıdaki işlemdir.

Uzaklık Formülü Hatırlatma

İki nokta (x_1, y_1) ve (x_2, y_2) arasındaki uzaklık:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Bu formül kullanılan temel formüldür.

Adım Adım Hesap

  1. Noktalar ve bilinmeyen nokta: A(-3,1), B(4,3), P(x,0)
  2. P ile A arası mesafe: \sqrt{(x+3)^2 + (0 - 1)^2}
  3. P ile B arası mesafe: \sqrt{(x - 4)^2 + (0 - 3)^2}
  4. Bu mesafeler eşitlenir.
  5. Kare alınıp açılır ve sadeleştirilir.
  6. Denklemler çözülerek x bulunur.

Özet Tablo

Parametre Değer
A Noktası (-3, 1)
B Noktası (4, 3)
Aranan Nokta (x, 0), x apsisi
Eşitlik Kurulacak PA = PB
Çözüm Sonucu x = \frac{15}{14}

Sık Sorulan Sorular

1. Neden noktanın y’si 0 olarak alındı?
Çünkü soru, noktanın x ekseni üzerinde olduğunu söylüyor. Bu durumda y koordinatı sıfırdır.

2. Uzaklık formülünü neden kare kökten kurtardık?
Her iki tarafın karesini aldığımız için yol kaybettirmeden denklemin çözümü kolaylaşır.

3. Eğer nokta y ekseni üzerindeyse ne yapılır?
O zaman noktanın x koordinatı 0 alınır ve aynı yöntemle çözüm yapılır.

4. Eşit uzaklık sorularının pratik çözüm yolu nedir?
İki noktaya olan uzaklıklar birbirine eşit ise, aranan nokta iki noktanın orta dikmesini üzerindedir. Bunun analitik hali uzaklık eşitliği kurmaktır.

Sonraki Adımlar

İsterseniz bu tipi eşit uzaklık ve orta dikme problemlerini içeren 10 soruluk bir set hazırlayabilirim. Ayrıca, orta dikmenin analitik geometride diğer uygulamalarını detaylı incelemeye ne dersiniz?

@zeynep212

3

Dik koordinat düzleminde A(–3, 1) ve B(4, 3) noktalarına eşit uzaklıkta ve x ekseni üzerinde bulunan noktanın apsisi kaçtır?

Önemli Çıkarımlar

  • A(–3, 1) ve B(4, 3) noktaları arasındaki orta dikme doğrusu, bu iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesini tanımlar.
  • Bu orta dikmenin denklemini çıkarıp y = 0 yerine koyarak x-ekseniyle kesişim noktası bulunur.
  • Sonuç: Aranan noktanın apsisi 15/14’tür.

İstenen değer: 15/14

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Detaylı Çözüm

  1. Noktayı P(x, 0) alalım (çünkü y ekseni değeri sıfır).

  2. Eşit uzaklık koşulu:

    d(P,A)=d(P,B)

    olması gerekir.

  3. \;A(-3,1) için

    d(P,A)=\sqrt{(x - (-3))^2 + (0 - 1)^2} =\sqrt{(x+3)^2 + 1}

    \;B(4,3) için

    d(P,B)=\sqrt{(x - 4)^2 + (0 - 3)^2} =\sqrt{(x-4)^2 + 9}

  4. Eşitlikten

    (x+3)^2 + 1 = (x-4)^2 + 9
    x^2 + 6x +9 +1 \;=\; x^2 -8x +16 +9
    6x +10 = -8x +25 \quad\Longrightarrow\quad 14x =15 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{15}{14}

  5. Böylece x ekseni üzerindeki aranan nokta P\bigl(\tfrac{15}{14},0\bigr) olur.

Özet Tablo

A(-3, 1) ve B(4, 3) Orta Dikme Denklemi y=0’da x-Koordinatı
A(–3, 1) ve B(4, 3) (x+3)^2 +1 = (x-4)^2 +9 eşitliği kuruldu. x = \tfrac{15}{14}

SSS

S1. Eşit uzaklık koşulu nedir?
C1. Bir noktanın iki nokta arasındaki mesafeleri eşitse, bu nokta, verilen noktaları birleştiren doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir.

S2. Orta dikme nedir?
C2. İki nokta arasındaki doğru parçasını ortadan bölen ve bu doğru parçasına dik çizilen doğrudur.

S3. Neden y=0 aldık?
C3. Soruda noktanın x ekseni üzerinde olduğu belirtildi; bu eksen üzerindeki herhangi bir noktanın y-koordinatı 0’dır.

S4. Denklemi çözerken 14x – 15 = 0 nasıl elde edildi?
C4. (x+3)^2+1 = (x-4)^2+9 denklemi açılıp x² terimleri götürülünce 6x+10 = –8x+25 → 14x=15 kalır.

Bu konuyla ilgili 3 pratik soru ister misiniz?
@zeynep212