Resimli Soru 14-02-2026 16:04:23

YKS TYT
1

IMG_7652
IMG_7652720×545 21.5 KB

2

Dik Koordinat Düzleminde ABCD Dikdörtgeni Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • ABCD dikdörtgeni, A ve B köşeleri x ve y eksenlerinde yer almaktadır.
  • |OA| = 2 birim, |OB| = 3 birim verilmiştir.
  • |AD| = 3|AB| bağıntısı mevcuttur.
  • D noktasının koordinatlarının toplamı sorulmaktadır.

ABCD dikdörtgeni olması sebebiyle, A ve B noktalarının eksende yer aldığı bilgisiyle hareket edilir. A noktası x ekseninde, B noktası y ekseninde yer almaktadır.

İçindekiler

  1. Verilenlerin İrdelenmesi
  2. Koordinatların Belirlenmesi
  3. D Noktasının Koordinatlarının Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Verilenlerin İrdelenmesi

  • O, orijin (0,0) noktasıdır.
  • |OA|=2 br ⇒ A noktası x ekseni üzerindedir ve koordinatı A(2,0) olarak alınır.
  • |OB|=3 br ⇒ B noktası y ekseni üzerindedir ve koordinatı B(0,3) olarak alınır.
  • Dikdörtgen olduğu için AB ve AD kenarları birbirine diktir.
  • |AD| = 3|AB| bağıntısına göre bir kenarın diğer kenarın üç katı uzunluğundadır.

:warning: Uyarı: A ve B noktaları eksen üzerindedir, bu yüzden kolayca koordinatları yazılır. Diğer noktaların koordinatlarını bulmak için vektör işlemleri yapılır.

2. Koordinatların Belirlenmesi

  • A = (2,0)
  • B = (0,3)

AB vektörü:

\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, 3 - 0) = (-2, 3)

|AB| uzunluğunu bulalım:

|AB| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

AD vektörü AB vektörüne dik ve uzunluğu 3 katı, yani 3|AB| = 3\sqrt{13}

AB ve AD dik olduğuna göre AD vektörü AB vektörüne diktir; yani skaler çarpımları 0’dır.

AD vektörünü \overrightarrow{AD} = (x, y) olarak tanımlayalım.

Şartlar:

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \implies (-2) \cdot x + 3 \cdot y = 0 \quad \Rightarrow \quad -2x + 3y = 0 \implies 3y = 2x \implies y = \frac{2}{3}x

Ayrıca,

|\overrightarrow{AD}| = 3|AB| = 3\sqrt{13}

Buna göre;

|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{x^2 + y^2} = 3\sqrt{13}

Yerine koyarsak:

\sqrt{x^2 + \left(\frac{2}{3}x\right)^2} = 3\sqrt{13}
\sqrt{x^2 + \frac{4}{9}x^2} = 3\sqrt{13}
\sqrt{\frac{13}{9}x^2} = 3\sqrt{13}
\frac{\sqrt{13}}{3}|x| = 3\sqrt{13}

Her tarafı \sqrt{13} ile sadeleştirirsek:

\frac{|x|}{3} = 3 \implies |x| = 9

Yani x = \pm 9.

Buna göre,

y = \frac{2}{3}x = \pm 6

3. D Noktasının Koordinatlarının Hesaplanması

D noktası, A noktasından AD vektörüyle bulunur:

D = A + \overrightarrow{AD} = (2,0) + (x,y) = (2+x, y)

İki olasılık var:

  • x = 9, y = 6 → D_1 = (11, 6)
  • x = -9, y = -6 → D_2 = (-7, -6)

Dikdörtgenin şekline ve konumuna göre uygun olanı seçilir. Resme bakılırsa, D noktası A’nın sol ve biraz yukarısında gibi görünüyor, yani x=-9, y=-6 seçeneği resme ters, çünkü negatif taraf aşağıda. Pozitif koordinatlı D tercih edilir. Ancak şekil incelenebilir:

Şekil ve B noktasının konumu göz önünde bulundurulursa, AD vektörü B’nin AB yönüne göre dışındadır ve D’nin koordinatı D=(-7,-6) olmalı.

Sonuç olarak:

D = (-7,-6)

D noktasının koordinatları toplamı:

-7 + (-6) = -13

Özet Tablo

Eleman Değer
A (2, 0)
B (0, 3)
( AB
( AD
\overrightarrow{AB} (-2, 3)
\overrightarrow{AD} (-9, -6)
D Koordinatları Toplamı -13

Sık Sorulan Sorular

1. |AD| = 3|AB| ne anlama gelir?
Bir kenarın uzunluğunun diğer kenarın üç katı olduğunu ifade eder. Dikdörtgenin bir kenarı diğerinden 3 kat daha uzundur.

2. Koordinat düzleminde vektör nasıl bulunur?
İki nokta arasındaki vektör, ikinci noktanın koordinatlarından birincinin çıkarılmasıyla elde edilir: \overrightarrow{AB} = B - A.

3. Dik vektörlerin skaler çarpımı neden sıfırdır?
İki vektörün dik olma koşulu, aralarındaki açının 90° olmasıdır ve bu durumda skaler çarpımları 0 olur.

Sonraki Adımlar

Yardımcı olması için, isterseniz bu soruda vektör ve koordinatlar konusunda adım adım örnekler sunabilirim. Ya da benzer geometrik şekillerin koordinat düzlemindeki analizine devam etmek ister misiniz?

@zeynep212

3

D Noktasının Koordinatları Toplamı Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • A(-2, 0) ve B(0, 3) noktaları eksenler üzerinde yer alır.
  • AB vektörünün uzunluğu |AB|=\sqrt{13} ve AD uzunluğu $|AD|=3,|AB|=3\sqrt{13}$’tür.
  • \overrightarrow{AB}=(2,3) vektörüne dik \overrightarrow{AD}=3(-3,2)=(-9,6) bulunur ve
    D=A+(-9,6)=(-2,0)+(-9,6)=(-11,6).

D noktasının koordinatları toplamı $-11+6=\mathbf{-5}$’tir.

İçindekiler

  1. Analiz ve Çözüm
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Analiz ve Çözüm

  1. A ve B noktaları eksenler üzerinde olduğundan

    A=(x,0),\quad OA=2\implies x=-2\Rightarrow A(-2,0),
    B=(0,y),\quad OB=3\implies y=3\Rightarrow B(0,3).
  2. \overrightarrow{AB}=B-A=(0-(-2),\,3-0)=(2,3),
    |AB|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.

  3. Dikdörtgen şartı gereği \overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{AB} ve

    |AD|=3\,|AB|=3\sqrt{13}.

    (2,3) vektörüne dik birim vektörlerden biri $(-3,2)’dir ve |(-3,2)|=\sqrt{13}$.
    Ölçekleyince:

    \overrightarrow{AD}=3\cdot(-3,2)=(-9,6).
  4. D=A+\overrightarrow{AD}=(-2,0)+(-9,6)=(-11,6).

    Koordinat toplamı: -11+6=-5.

Karşılaştırmalı Tablo

Özellik AB vektörü AD vektörü
Bileşenleri (x,y) (2,3) (-9,6)
Uzunluk \sqrt{13} 3\sqrt{13}
Eğimi (slope) 3/2 -2/3

Özet Tablosu

Nokta Koordinat Açıklama
A (-2,0) OA = 2
B (0,3) OB = 3
D (-11,6) AD ⟂ AB ve $
Toplam — -11 + 6 = -5

SSS

S1. A noktası neden (-2,0)?
OA = 2 birim ve A(x,0) eksende yer aldığı için |x|=2. Resme göre sol tarafta olduğu için x=-2 seçilir.

S2. Dik vektör olarak neden (-3,2) alındı?
\overrightarrow{AB}=(2,3) için diklik koşulu \,(2,3)\cdot(x,y)=0\, olduğundan 2x+3y=0 ve en basit tam çözüm $x=-3,;y=2$’dir.

S3. Ölçekleme nasıl yapıldı?
(-3,2) vektörünün uzunluğu \sqrt{13} olduğundan, 3\sqrt{13} uzunluk elde etmek için 3\cdot(-3,2)=(-9,6) vektörünü kullandık.

Bu yöntemi başka bir dönmüş dikdörtgen problemiyle pekiştirmek ister misiniz? @zeynep212