Doğal Sayı Kenarlı Dikdörtgenlerin Çevresi ve Sayısı
Önemli Noktalar
- Dikdörtgenin çevresi 20 santimetredir.
- Kenar uzunlukları birer doğal sayı olmak zorundadır.
- Dikdörtgenin çevresi formülü:2 \times (uzun \, kenar + kısa \, kenar) = 20
- Buna göre, uzun kenar + kısa kenar = 10 olur.
- Kenar uzunluklarının değerleri doğal sayı ve birbirinden farklı olarak sayılır.
Çevresinin 20 santimetre olduğu ve kenar uzunlukları doğal sayı olan dikdörtgenlerin sayısını bulmak için, kenar uzunluklarının toplamı 10 olacak doğal sayı çiftlerini saymalıyız. Çünkü çevre formülü:
Burada a ve b doğal sayı (1,2,3,…) olup, a ve b kenarları ifade ediyor.
Bu koşula uygun kaç farklı dikdörtgen çizilebileceği, farklı kenar uzunluğu çiftlerinin sayısına bağlıdır. Kenarlar ters çevrildiğinde (örneğin 3 ve 7 ile 7 ve 3) aynı dikdörtgen sayılır.
İnceleyelim:
Doğal sayı çiftleri (a,b):
- (1,9)
- (2,8)
- (3,7)
- (4,6)
- (5,5)
Toplam 5 çift en-boy var. Ancak (5,5) bir kare, yine de dikdörtgen olarak sayılır.
Ters çiftler aynıdır, örneğin (1,9) ve (9,1) aynıdır.
Böylece toplam 5 farklı dikdörtgen mümkündür.
İçindekiler
- Problem Tanımı ve Formül Kullanımı
- Doğal Sayı Çiftlerinin Belirlenmesi
- Karşılaştırma Tablosu: Farklı Dikdörtgen Sayısı
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problem Tanımı ve Formül Kullanımı
Çevresi 20 cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları kaç farklı doğal sayı ikilisi olabilir?
Çevre formülü:
Buradan:
Kenarlardan biri a, diğeri b. a,b doğal sayılar.
Çiftlerin hepsi 1’den başlayarak toplam 10 olacak şekilde bulunur.
Pro Tip: Ters çevrilmiş çiftleri aynı say, yani (3,7) ve (7,3) yalnızca bir kez say.
Doğal Sayı Çiftlerinin Belirlenmesi
Doğal sayı çiftleri:
| a | b | a+b | Dikdörtgen Farklı mı? |
|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 10 | Evet |
| 2 | 8 | 10 | Evet |
| 3 | 7 | 10 | Evet |
| 4 | 6 | 10 | Evet |
| 5 | 5 | 10 | Evet (kare) |
Toplam 5 farklı dikdörtgen var.
Uyarı: Kare olan durum da dikdörtgenin özel bir halidir, sayıma dahil edilmelidir.
Karşılaştırma Tablosu: Farklı Dikdörtgen Sayısı
| Kriter | Değer |
|---|---|
| Çevre uzunluğu | 20 santimetre |
| Kenar uzunlukları | Doğal sayılar |
| Kenar toplamı (a+b) | 10 |
| Toplam farklı dikdörtgen sayısı | 5 |
| Kare durumu | (5,5) kenarları kabul edildi |
Özet Tablo
| Öğe | Detay |
|---|---|
| Çevre | 20 cm |
| Kenar toplamı (a + b) | 10 |
| Mümkün Kenar Çiftleri | (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5) |
| Farklı dikdörtgen sayısı | 5 |
| Kare durumu dahil | Evet |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden (9,1) ve (1,9) aynı dikdörtgen sayılır?
&Cevap; Çünkü dikdörtgenin kenar uzunlukları konum değiştirse de aynı şekli oluşturur, yani birbirinin aynasıdır.
2. Kare de dikdörtgen sayılır mı?
Evet. Kare, tüm kenarları eşit olan özel bir dikdörtgendir.
3. Çevre 20 olunca neden kenar toplamı 10 oluyor?
Çevre formülünden: 2 \times (a+b) = 20 olduğundan a+b = 10.
4. Eğer kenarlar gerçek sayı olsaydı cevap değişir miydi?
Evet, sonsuz sayıda kenar çifti olurdu çünkü gerçek sayılar aralığı sonsuzdur.
5. Kenar uzunlukları doğal sayılar olmadığında ne olur?
Örneğin tam sayılar ya da reel sayılar olursa, çözüm sayısı sonsuzdur.
Sonraki Adımlar
Bu problemi farklı çevre uzunlukları ve farklı sayı kümeleri için çözmek ister misiniz? Örneğin, çevresi 24 cm olan doğal sayı kenarlı dikdörtgen sayısını hesaplayalım mı?
Ya da dikdörtgenin alanını maksimize eden kenar uzunluklarını bulmak ister misiniz?
Santimetre cinsinden kenar uzunlukları birer doğal sayı olan bir dikdörtgenin çevresinin uzunluğu 20 santimetredir. Buna göre bu şartlara uygun kaç farklı dikdörtgen çizilebilir?
Kısa Bilmeniz Gerekenler:
- Dikdörtgen çevresi formülü: P=2\,(a+b)
- Verilen şartta 2\,(a+b)=20\implies a+b=10
- a,b birer doğal sayı olduğuna göre a\in\{1,2,\dots,9\}
- Aynı dikdörtgeni farklı yönde çizimi birbirinden ayırt etmiyoruz, yani a\le b koşulu
Doğru cevap: 5 farklı dikdörtgen.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Çevre formülüne göreP=2\,(a+b)=20\quad\Longrightarrow\quad a+b=10.
- a,b doğal sayı olduğundan a=1,2,\dots,9 değerlerini alabilir.
- Fakat her dikdörtgeni yalnızca bir kez saymak için a\le b şartı eklenir.
- a\le b ve a+b=10 denklemini sağlayan a değerleri:a=1,2,3,4,5Bu beş değer için şöyle karşılayıcı b değerleri elde edilir:b=9,8,7,6,5
- Toplamda 5 farklı dikdörtgen vardır.
Özet Tablosu
| a (cm) | b (cm) | a+b | Geçerli mi? |
|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 10 | Evet |
| 2 | 8 | 10 | Evet |
| 3 | 7 | 10 | Evet |
| 4 | 6 | 10 | Evet |
| 5 | 5 | 10 | Evet |
SSS
Soru 1: Dikdörtgenin çevresi nasıl hesaplanır?
Cevap: Dikdörtgenin iki kısa kenarı a, iki uzun kenarı b ise P=2\,(a+b) formülü kullanılır.
Soru 2: Eğer a,b doğal sayı değilse ne olur?
Cevap: Gerçek sayılar alınırsa a+b=10 denkleminden sonsuz sayıda farklı dikdörtgen elde edilir.
Soru 3: a=b eşitliğini sağlayan durum kaç tanedir ve ne ifade eder?
Cevap: Burada yalnızca a=b=5 durumu mümkün, bu bir karedir.
Soru 4: Başka bir çevre uzunluğu örneği için nasıl genelleme yapılır?
Cevap: P=2\,(a+b)=2n\implies a+b=n koşulunda doğal sayılar için a\le b sayısı \lfloor \tfrac{n}{2}\rfloor kadardır.
Başka bir çevre uzunluğu veya farklı koşullar için benzer sorular çözmek ister misin? @HANDE_KULUALP