Resimli Soru 14-02-2026 14:18:57

YKS TYT
1

IMG_7652
IMG_7652720×545 21.5 KB

2

D Dik Koordinat Düzleminde ABCD Dikdörtgeni Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Dik koordinat düzleminde, A ve B noktaları eksenler üzerindedir
  • |AD| = 3 |AB|, |OA| = 2, |OB| = 3
  • Problemin amacı: D noktasının koordinatlarının toplamını bulmak

Dikdörtgenin köşeleri ve verilen uzunluklar dikkate alınarak vektörel analizle D noktası bulunur. A ve B eksen üzeri olduğundan, koordinatları kolay belirlenir.

İçindekiler

  1. Verilen Bilgilerin Değerlendirilmesi
  2. A, B, C ve D Noktalarının Koordinatlarının Belirlenmesi
  3. D Noktasının Koordinatları ve Toplamı
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Verilen Bilgilerin Değerlendirilmesi

  • A noktası x-ekseni üzerinde, çünkü A köşesi eksen üzerindedir.
  • B noktası y-ekseni üzerinde, çünkü B köşesi eksen üzerindedir.
  • OA ve OB uzunlukları A ve B noktalarının orijinden olan uzaklıklarıdır:
    • OA = 2 → A(2,0)
    • OB = 3 → B(0,3)
  • |AD| = 3 |AB| bilgisi verildi; önce |AB|'yi hesaplayalım.

|AB| mesafesi:

|AB| = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

|AD| ise:

|AD| = 3|AB| = 3 \sqrt{13}

:light_bulb: Pro Tip: Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşittir ve komşu kenarlar dik açı yapar.

2. A, B, C ve D Noktalarının Koordinatlarının Belirlenmesi

  • AB vektörü:
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (0 - 2, 3 - 0) = (-2, 3)

  • AD vektörü dik olacak ve uzunluğu 3 |AB| = 3 \sqrt{13} olacaktır.

  • Bir vektörün, \vec{v} = (x,y) dik vektörü \vec{w} şu şekildedir:

    \vec{w} = (-y, x) \quad \text{ya da} \quad (y, -x)

  • AB vektörü (-2,3) iken AD vektörü ya (-3,-2) ya da (3,2) olacaktır.

  • |AB| uzunluğu \sqrt{13} olduğundan, AD vektörünü 3 katı olarak yazalım:

    |AD| = 3 |AB| = 3 \sqrt{13}

    Yani,

    \vec{AD} = 3 \times \vec{n}

    \vec{n} vektörü, \vec{AB}'nin dik olan ve birim vektörü; önce \vec{AB}'nin birim vektörünü hesaplayalım:

    \vec{u}_{AB} = \frac{1}{\sqrt{13}}(-2,3)

    Dik birim vektörlerden biri:

    \vec{u}_{AD} = \frac{1}{\sqrt{13}}(-3,-2)

  • O halde:

    \vec{AD} = 3 \sqrt{13} \times \frac{1}{\sqrt{13}} (-3, -2) = 3 \times (-3,-2) = (-9, -6)

  • D noktası:

    \vec{D} = \vec{A} + \vec{AD} = (2,0) + (-9,-6) = (-7, -6)

3. D Noktasının Koordinatları ve Toplamı

D noktasının koordinatları (-7, -6) bulundu.
Koordinatların toplamı:

-7 + (-6) = -13

Cevap: D noktasının koordinatları toplamı -13’tür.

Özet Tablo

Parametre Değer
A Noktası Koordinatları (2, 0)
B Noktası Koordinatları (0, 3)
( AB
( AD
\vec{AB} Vektörü (-2, 3)
\vec{AD} Vektörü (-9, -6)
D Noktası Koordinatları (-7, -6)
Koordinatlar Toplamı -13

Sık Sorulan Sorular

1. Neden AD vektörü AB vektörüne diktir?
Dikdörtgenin özelliği olarak, komşu kenarlar birbirine diktir. Bu yüzden AD vektörü, AB vektörüne diktir.

2. AD vektörünün yönünü nasıl belirledik?
İki olası dik vektör vardır; soru ve şekil bağlamında mantıklı olan yönü seçtik.

3. Koordinatların toplamı neden sorulur?
Bu tür sorular, noktanın yerini veya yönünü bulduktan sonra sade bir sayısal cevap almak için yaygın test sorusu formatıdır.

Sonraki Adımlar

Dikdörtgenlerde diğer noktaların koordinatları nasıl bulunur öğrenmek ister misiniz? Ya da bu tip sorularda vektörlerin yön seçim kriterleri hakkında daha fazla örnek ister misiniz?

@zeynep212

3

D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

• A noktası A=(2,0), B noktası B=(0,3)
• |AB|=\sqrt{13} ve |AD|=3|AB|=3\sqrt{13}
• AD\perp AB olduğundan AD=(-9,-6) ve D=(-7,-6)
• D noktası koordinatlarının toplamı -7+(-6)=-13

  1. Çözüm Özeti
  2. Detaylı Çözüm
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Özeti

D noktasının koordinatları D=(-7,-6) olup toplamları $-13$’tür.

Detaylı Çözüm

  1. A ve B noktalarını eksen üzerinde yerleştirelim:
    A=(2,0) çünkü |OA|=2,
    B=(0,3) çünkü |OB|=3.
  2. Vektör hesaplayalım:
    \overrightarrow{AB}=B-A=(0-2,\;3-0)=(-2,\,3),
    |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}.
  3. Verilen: |AD|=3\,|AB|=3\sqrt{13} ve \overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{AB}.
    Dikkat: İki vektör dikse iç çarpımları sıfırdır,
    \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(-2)x+3y=0\quad\text{ve}\quad x^2+y^2=(3\sqrt{13})^2=117.
    Çözüm: (x,y)=(-9,-6).
  4. Böylece
    D=A+\overrightarrow{AD}=(2,0)+(-9,-6)=(-7,-6).
    Koordinatları toplamı -7+(-6)=-13.

Özet Tablosu

Nokta/Vektör Koordinatlar veya Uzunluk
A (2,0)
B (0,3)
\overrightarrow{AB} $(-2,3),;
\overrightarrow{AD} $(-9,-6),;
D (-7,-6)
x_D+y_D -13

SSS

  1. AB vektörü nasıl bulunur?
    İki nokta arasındaki farkları alarak: \overrightarrow{AB}=B-A.
  2. AD vektörünün yönü nasıl belirlenir?
    Dik koşulu için iç çarpım sıfır kabul edilip bilinmeyenler çözülür.
  3. İki vektörün dik olduğunu nasıl anlarsınız?
    İç çarpımları 0 ise vektörler birbirine diktir.
  4. Benzer problemler için adımlar neler?
    Noktaları yerleştir, vektörleri yaz, uzunluk ve diklik koşullarını kullan, denklem çöz.

Bu konuyla ilgili pratik yapmak için 3 alıştırma problemi ister misiniz?
@zeynep212