f Fonksiyonu Grafiği Sorusu Çözümü
Önemli Noktalar
- f(x) = ax² + bx + c bir ikinci derece polinom fonksiyonudur.
- a, b, c gerçek sayıları ve a·b·c < 0 koşulu sağlanmaktadır.
- İkinci derece fonksiyonun grafiği parabol şeklindedir; a>0 ise paraboll açılan yukarı, a<0 ise açılan aşağıdır.
- Grafikte kesişim noktaları ve işaretler a·b·c < 0 koşuluna göre değerlendirilmelidir.
f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunda a·b·c < 0 ise çarpım negatiftir. Yani ya 1 negatif, diğer ikisi pozitif ya da 2 negatif, biri pozitif olmalıdır. Buna göre, a, b ve c işaretleri ve grafiğin x, y kesişimlerine bakarak olası parabolleri tespit ederiz.
İçindekiler
- İkinci Derece Fonksiyon ve Grafiği
- a·b·c < 0 Koşulunun Anlamı
- Grafik İncelemesi
- Sonuç ve Doğru Seçenek
1. İkinci Derece Fonksiyon ve Grafiği
İkinci dereceden bir fonksiyonun genel şekli:
Burada a parabolün açılım yönünü belirler:
- a > 0 ise parabol yukarı açıktır.
- a < 0 ise parabol aşağı açıktır.
c fonksiyonun y-kesiti (y eksenini kestiği nokta), yani f(0) = c.
b katsayısı fonksiyonun tepe noktasının konumunu ve eğimini etkiler.
2. a·b·c < 0 Koşulunun Anlamı
Bu koşul, üç sayının çarpımının negatif olduğunu belirtir.
Yani bu üç sayıdan;
- Birisi negatif ve diğer ikisi pozitif olabilir, veya
- İkisi negatif ve biri pozitif olabilir; toplamda tek sayıda negatif çarpan olmalıdır.
3. Grafik İncelemesi
I. Grafik
- Parabol yukarı açılıyor → a > 0
- y-kesiti (c) y positif (grafikte y eksenini pozitif kesiyor gibi görünüyor)
- b’nin işaretini bilmiyoruz ama a·b·c < 0 olmalı.
Burada a ve c pozitif ise, b negatif olmalıdır. (Tek negatif b)
Çarpım: a(+)·b(-)·c(+) = negatif → Koşula uyuyor.
II. Grafik
- Parabol yukarı açılmış (a > 0)
- y-kesiti negatif (grafikte y eksenini negatif kesiyor) → c < 0
- a(+) ve c(-) ise b pozitif olmalı ki çarpım negatif olsun.
a(+)·b(+)·c(-) = negatif → Koşula uyuyor.
III. Grafik
- Parabol aşağı açılmış (a < 0)
- y-kesiti pozitif (c > 0)
- a(-)·b·c(+) < 0 olmalı
- Eğer b pozitif ise, a(-)·b(+)·c(+) = negatif olur, koşula uyuyor.
- Eğer b negatif ise, a(-)·b(-)·c(+) = pozitif olur, koşula uymaz.
Bu nedenle b > 0 olmalı.
4. Sonuç ve Doğru Seçenek
I ve II ve III grafiklerinin her biri için işaretler a·b·c < 0 koşulunu sağlayabilir. Dolayısıyla, verilen grafiklerden I, II ve III tümü olabilir.
Bu durumda doğru seçenek:
E) I, II ve III
Sık Sorulan Sorular
1. a·b·c < 0 koşulu ne anlama gelir?
Bu koşul, a, b, c katsayılarından çarpımı negatif olanların kombinasyonu demektir; yani negatif işaret sayısı tek olmalıdır.
2. Parabolün açılım yönü nasıl belirlenir?
Parabolün açılımı a’nın işaretine bağlıdır; a pozitifse yukarı, negatifse aşağı açılır.
3. c katsayısı neyi belirtir?
c, fonksiyonun y eksenini kestiği noktadır yani y-kesitidir.
4. b’nin fonksiyondaki etkisi nedir?
b, parabolün simetri eksenini ve tepe noktasını etkiler ancak grafik şeklinin açılım yönünü belirlemez.
Sonraki Adımlar
Fonksiyonların grafik yorumunu pekiştirmek için başka ikinci dereceden fonksiyonların grafiklerini ve işaret koşullarını ister misiniz? Ayrıca, bu tür sorularda hata yapmamak için dikkat edilmesi gereken işaret kurallarını da detaylandırabilirim.
Soru 30: a, b ve c gerçek sayılar için a\cdot b\cdot c<0 iken f(x)=ax^2+bx+c fonksiyonunun grafikleri arasında hangileri olabilir?
Önemli Noktalar
- a işareti, parabolün açılış yönünü belirler: a>0 ise yukarı, a<0 ise aşağı açılır.
- c=f(0) işareti, grafiğin y-eksenini kestiği değerin (fonksiyonun 0’daki değeri) işaretidir.
- Dönüşüm ekseni denklemi x=-\tfrac{b}{2a}’dır; eksenin x-değeri işaretinden b işaretini bulur.
Doğrudan Cevap
Yalnızca Şık I, a\cdot b\cdot c<0 koşulunu sağlar.
İçindekiler
Şık I Analizi
- Parabol yukarı açılıyor ⇒ a>0.
- Vertex x-koordinatı sağda (dönüşüm ekseni x>0) ⇒-\frac{b}{2a}>0\;\Rightarrow\;b<0.
- y-eksenini kestiği nokta (grafiğin x=0 değeri) pozitif ⇒ c>0.
- Ürün: a\cdot b\cdot c=(+)\times(-)\times(+)=(-)\;<0.
→ Mümkün.
Şık II Analizi
- Parabol yukarı açılıyor ⇒ a>0.
- Vertex solda (dönüşüm ekseni x<0) ⇒-\frac{b}{2a}<0\;\Rightarrow\;b>0.
- c=f(0)>0.
- Ürün: (+)\times(+)\times(+)=+\not<0.
→ Olamaz.
Şık III Analizi
- Parabol aşağı açılıyor ⇒ a<0.
- Dönüşüm ekseni x=0 ⇒ b=0.
- c=f(0)>0.
- Ürün: (–)\times0\times(+)=0\not<0.
→ Olamaz.
Karşılaştırma Tablosu
| Şık | a işareti | b işareti | c işareti | a\cdot b\cdot c | Mümkün mi? |
|---|---|---|---|---|---|
| I | + | \multicolumn{1}{c}{-} | + | - | Evet |
| II | + | + | + | + | Hayır |
| III | – | 0 | + | 0 | Hayır |
Özet Tablosu
| Koşul | Yorum |
|---|---|
| a>0 vs a<0 | Açılış yönü |
| c=f(0) işareti | y-eksenini kestiği nokta |
| Eksenin konumu | x=-\tfrac{b}{2a} işaretinden b |
| \,a\cdot b\cdot c<0 | Tamamen farklı işaretlerin çarpımı |
SSS
- Parabol grafiğinden c işaretini nasıl bulurum?
- Grafiğin y-eksenini kestiği değer, yani f(0)=c.
- b işaretini belirlemek için neye bakılır?
- Simetri ekseninin denklemi x=-\tfrac{b}{2a}; eksenin sol/sağ konumuna göre.
- a\cdot b\cdot c<0 koşulu neden önemli?
- Üç katsayının bir arada farklı işaretlerde olması gerektiğini gösterir.
- Vertex’in x-koordinatı’nın sıfıra eşit olması ne anlama gelir?
- b=0 demektir.
Bu konuyla ilgili 3 tane örnek soru çözmek ister misiniz?
@zeynep212