Resimli Soru 14-02-2026 14:21:26

YKS TYT
1

IMG_7654
IMG_7654720×960 34.5 KB

2

D Dikdörtgeninin D Noktası Koordinatları Toplamı Nedir?

Önemli Noktalar

  • Dik koordinat düzleminde A ve B köşeleri eksenler üzerindedir: A(x,0), B(0,y)
  • |OA|=2 br → A noktası (2,0)
  • |OB|=3 br → B noktası (0,3)
  • |AD|=3|AB| ve ABCD dikdörtgen
  • D noktası koordinatları bulunacak, koordinatlar toplamı sorulmuş

Dikdörtgenin köşeleri A=(2,0), B=(0,3) olarak verilir. |AB| uzunluğu ve |AD|=3|AB| şartını kullanarak diğer noktaların koordinatlarını bulabiliriz.

Problemin Çözümü

  1. A ve B noktaları:
  • A(2,0), B(0,3) (çünkü |OA|=2 birim ve A x ekseni üzerinde, |OB|=3 birim ve B y ekseni üzerinde)
  1. AB vektörü:
\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, 3 - 0) = (-2, 3)
  1. |AB| uzunluğu:
|AB| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

  1. AD vektörünün uzunluğu |AD| = 3|AB| = 3\sqrt{13}

  2. Dikdörtgen olduğuna göre, \overrightarrow{AD} vektörü \overrightarrow{AB} vektörüne diktir. Yani, \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0

  3. \overrightarrow{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A) = (x_D -2, y_D - 0) = (x_D - 2, y_D)

  4. D noktasını bulmak için önce \overrightarrow{AD} yönünü bulalım. \overrightarrow{AD} dik vektör, yani \overrightarrow{AB} = (-2, 3) vektörüne dik, bu nedenle:

  • Dik vektörler (a,b) ve (-b,a) şeklindedir.

Bu durumda,

\overrightarrow{AD} = k ( -3, -2) \quad \text{veya} \quad k (3,2)

Çünkü hem (3,2) hem de (-3,-2), (-2,3) vektörüne diktir.

  1. |AD| = 3|AB| = 3 \sqrt{13}, \overrightarrow{AD} = k (3,2) olsun:
|AD| = |k| \times \sqrt{3^2 + 2^2} = |k| \times \sqrt{9 +4} = |k| \times \sqrt{13}

Buradan:

|k| \sqrt{13} = 3 \sqrt{13} \Rightarrow |k|=3
  1. D noktası coordinate:
D = A + \overrightarrow{AD} = (2,0) + 3(3,2) = (2 + 9, 0 + 6) = (11,6)

Alternatif yön için:

D = (2,0) + (-3)(3,2) = (2 - 9, 0 -6) = (-7, -6)
  1. Şimdi D noktası koordinatlarının toplama bakalım:
  • İlk durumda: 11 + 6 = 17
  • İkinci durumda: -7 + (-6) = -13

Bu seçenekler şıklarda yok. Demek ki \overrightarrow{AD} = k(-3,-2) değil, (3, -2) veya (-3, 2) olabilir. Tekrar deneyelim.

  1. \overrightarrow{AB} = (-2,3), dik vektörleri:
  • (3,2) değil, (3,-2) veya (-3,2) vektörleri olabilir. Çünkü
(-2)(3) + 3(-2) = -6 -6 = -12 \neq 0

ya da

(-2)(-3) + 3(2) = 6 + 6 =12 \neq 0

Yani bu iki vektör dik değil.
Dik vektörler için çarpımlar 0 olmalı:

-2a + 3b = 0 \Rightarrow 3b = 2a \Rightarrow b = \frac{2}{3} a

O halde, \overrightarrow{AD} = (a, \frac{2}{3} a).

  1. |AD| ile kural:
|AD| = \sqrt{a^2 + \left(\frac{2}{3}a\right)^2} = |a| \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = |a| \sqrt{\frac{13}{9}} = |a| \frac{\sqrt{13}}{3}

Buna göre:

|AD| = 3 |AB| = 3 \sqrt{13}

Eşitlikten

|a| \frac{\sqrt{13}}{3} = 3 \sqrt{13} \Rightarrow |a| = 9

  1. \overrightarrow{AD} = (9, \frac{2}{3} \times 9) = (9, 6) ya da (-9, -6) olabilir.

  2. D noktası:

D = A + \overrightarrow{AD} = (2,0) + (9,6) = (11,6)

veya

(2,0) + (-9, -6) = (-7, -6)
  1. Toplam koordinatlar:
  • 11 + 6 = 17 (şık yok)
  • -7 + (-6) = -13 (şık yok)

Şıklarla uyuşmuyor.

  1. Soru şöyle demiş: ABCD dikdörtgen, A ve B eksenlerde ve |AD|=3|AB|. Bunlar kesin uzunluk. A’nın y=0, B’nin x=0 olduğunu biliyoruz.

Alternatif olarak:

  • A(2,0)
  • B(0,3)
  • AB vektörü \overrightarrow{AB} = (-2,3)
  • Dikdörtgende AD vektörü AB vektörüne diktir.
  1. Yani AD vektörü için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0
  1. \overrightarrow{AD} = (x - 2, y - 0) = (x-2, y)
(-2)(x - 2) + 3 y = 0
-2x + 4 + 3 y = 0 \Rightarrow 3 y = 2x - 4 \Rightarrow y = \frac{2x -4}{3}
  1. Uzunluk koşulu:
|AD| = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = 3 |AB| = 3 \sqrt{13}
  1. Yerine yazalım:
y = \frac{2x -4}{3}
(x -2)^2 + \left(\frac{2x-4}{3}\right)^2 = 9 \times 13 = 117
(x - 2)^2 + \frac{(2x -4)^2}{9} = 117
  1. Paydaları eşitleyelim:
9 (x-2)^2 + (2x - 4)^2 = 117 \times 9 = 1053
9 (x^2 - 4x + 4) + (4x^2 -16x + 16) = 1053
9x^2 -36x + 36 + 4x^2 -16x + 16 = 1053
13 x^2 -52 x + 52 = 1053
13 x^2 -52 x + 52 - 1053 = 0
13 x^2 - 52 x - 1001 = 0

Hem katsayılar sadeleşmez, denklemi çözelim:

  1. Genel formül:
ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Burada:

a=13, \quad b=-52, \quad c=-1001
\Delta = (-52)^2 - 4 \times 13 \times (-1001) = 2704 + 52052 = 54756
x = \frac{52 \pm \sqrt{54756}}{26}
\sqrt{54756} \approx 234
x_1 = \frac{52 + 234}{26} = \frac{286}{26} \approx 11
x_2 = \frac{52 - 234}{26} = \frac{-182}{26} \approx -7
  1. Y değerleri:
y_1 = \frac{2(11) - 4}{3} = \frac{22 - 4}{3} = \frac{18}{3} = 6
y_2 = \frac{2(-7) -4}{3} = \frac{-14 -4}{3} = \frac{-18}{3} = -6
  1. D noktası iki ihtimal:
(11,6) \quad \text{ve} \quad (-7, -6)
  1. Soruda D noktasının koordinatları toplamı soruluyor:
11 + 6 = 17 \quad \text{ve} \quad -7 + (-6) = -13

Şıklarda bu yok, ama şıklar arasında -5, -3, 0, 3, 5 var.

Bir hata olmuş olabilir; ya soruda verilen bilgi başka şekilde yorumlanmalı ya da şıklarda hata var.

Alternatif düşünce:

|AD| = 3|AB| olması gerekiyor, burada karmaşık çözümler çıkıyor.
Buna karşılık, ABCD dikdörtgen ise, komşu kenarlar dik açılıdır ve uzunluklar verilmiştir.

Daha kolay yol:

  • A(2,0), B(0,3)
  • AB vektörü (-2,3)
  • Dikdörtgen için AD vektörü AB vektörüne diktir.
  • |AB| = √13
  • |AD| = 3√13

AD birim olarak 3 katı değil, 3 katı kadar uzunluk.
AD yönü için \overrightarrow{AD} = \pm 3 \times \frac{(3,2)}{\sqrt{13}} olabilir, çünkü (3,2) vektörü (-2,3) vektörüne diktirken kısa bir hata vardı, aslında (3,2) dik değildir:

(-2)(3) + 3(2) = -6 + 6 =0 doğru!

Yani (3,2) dik vektördür! O zaman AD vektörü şudur:

\overrightarrow{AD} = \pm 3 \times \sqrt{13} \times \frac{(3,2)}{\sqrt{13}} = \pm 3 \times (3,2) = \pm (9,6)

O halde D noktaları:

  • A + (9,6) = (11,6)
  • veya A - (9,6) = (-7,-6)

Koordinat toplamları önceki gibi: 17 ya da -13

Ancak şıklarda yok.

A ve B noktaları verilmiş:

|OA|=2 birim: A(x,0) → |x|=2 → A(2,0) veya A(-2,0)
|OB|=3 birim: B(0,y) → |y|=3 → B(0,3) veya B(0,-3)

Eğer başka ihtimali değerlendirelim:

  • A(-2,0)

  • B(0,3)

  • AB = (0 - (-2), 3 - 0) = (2,3)

  • |AB| = √(2² + 3²) = √13

  • AD dik vektör AB’ye dik, yön olarak ( -3, 2) veya (3, -2) olabilir

AD vektörünün uzunluğu: 3|AB|=3√13
Uzunlukları kontrol:

|(3,-2)| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}

Çarpanı k olarak düşünürsek:

|AD| = |k| \times \sqrt{13} = 3 \sqrt{13} \Rightarrow |k|=3

D noktası:

D = A + k(3,-2) = (-2,0) + 3(3,-2) = (-2 + 9, 0 -6) = (7, -6)

Ya da

D = (-2,0) - 3(3,-2) = (-2 -9, 0 +6) = (-11, 6)

Koordinat toplamları:

  • 7 + (-6) = 1
  • -11 + 6 = -5

Sonuç: -5 şıklarda var.

Cevap: A(-2,0), B(0,3) durumu doğru ve D noktası (-11,6), koordinatlar toplamı -5 olur.

Doğru cevap: A şıkkı, -5

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
A koordinatı OA
B koordinatı OB
AB vektörü B - A (2,3)
Dik vektör AD AB’ye dik, yön (3,-2) veya (-3,2)
AD = 3
D noktası A + k×(dik vektör) (7,-6) veya (-11,6)
Koordinatlar toplamı 1 veya -5
Şık uyumu -5 şıkta var Cevap A) -5

Sık Sorulan Sorular

1. Neden A(-2,0) ve B(0,3) seçildi?
|OA| ve |OB| sadece uzaklık veriyor. A ve B eksen üstünde olduğuna göre A’nın x ya da -x, B’nin y ya da -y olması mümkündür. Uygun çözüm benzerliği ve şıklı uyum ile seçilir.

2. Dik vektör nasıl bulunur?
iki vektör (a,b) ve (-b,a) dik vektörlerdir çünkü skaler çarpımları sıfırdır.

3. Dikdörtgenin özellikleri nelerdir?
İki komşu kenar birbirine diktir ve uzunlukları verilirse, noktaların koordinatları vektör metoduyla kolay bulunabilir.

Sonraki Adımlar

Benzer YKS koordinat soruları için, vektör ve dik açıların koordinatlardaki uygulaması hakkında destek ister misiniz?
Ya da sorunun adım adım çözümlü videosunu ayrıntılı hazırlar mıyım?

@zeynep212

3

Soru

Dik koordinat düzleminde ABCD dikdörtgeninin A ve B köşeleri eksenler üzerindedir.
|AD| = 3|AB|, |OA| = 2 br, |OB| = 3 br.
Buna göre D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Önemli Noktalar

  • A noktası x-ekseninde, B noktası y-ekseninde yer alır.
  • |OA|=2 ⇒ A=(±2, 0), |OB|=3 ⇒ B=(0, ±3).
  • AD kenarı AB’ye dik ve uzunluğu 3·|AB|.

D noktasının koordinatlar toplamı −5’tir.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablo
  4. SSS

Çözüm

  1. A ve B koordinatlarını belirleyelim. Diyagramda A sola, B yukarıda:
    A=(-2,0),\quad B=(0,3).
  2. AB vektörü ve uzunluğu:
    \overrightarrow{AB}=B-A=(2,3),\quad |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.
  3. AD, AB’ye dik ve uzunluğu 3|\overrightarrow{AB}|=3\sqrt{13}. AB ile dik vektörmlerinden biri (-3,2) olduğuna göre birim dik vektör
    \frac{(-3,2)}{\sqrt{13}},
    böylece
    \overrightarrow{AD}=\frac{(-3,2)}{\sqrt{13}}\cdot3\sqrt{13}=(-9,6).
  4. D noktası:
    D=A+\overrightarrow{AD}=(-2,0)+(-9,6)=(-11,6).
  5. Koordinatlar toplamı:
    -11+6=-5.

Karşılaştırma Tablosu

Kenar Uzunluk Yön Vektörü
AB \sqrt{13} (2,3)
AD 3\sqrt{13} (-9,6)

Özet Tablo

Nokta Koordinatlar Not
A (-2,0) x-ekseninde
B (0,3) y-ekseninde
D (-11,6) Hesaplanan köşe
– Toplam -5

SSS

  1. Bir vektörün başka bir vektöre dik olduğunu nasıl anlarım?
    • İki vektörün noktasal çarpımı sıfırsa diktir: \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0.
  2. Bir vektörün birim vektörünü nasıl bulurum?
    • Vektörü kendi uzunluğuna bölerek normalize ederiz: \hat u=\tfrac{\overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{u}|}.
  3. Koordinatların toplamı ne işe yarar?
    • Noktanın hangi bölgeye yakın olduğunu hızlıca gösterir ve bazen simetri kontrollerinde kullanılır.
  4. Yükselen bir dikdörtgenin diğer köşelerini bulmak için hangi adımları izlemeliyim?
    • Bir köşeden başlayan dik vektörleri hesaplayıp ekleyerek diğer köşeleri elde edebilirsiniz.

Bu çözüm adımlarını pekiştirmek için üç alıştırma problemi ister misiniz?
@zeynep212