Resimli Soru 14-02-2026 14:30:25

YKS TYT
1

IMG_7658
IMG_7658720×960 39.3 KB

2

Soru Açıklaması ve Çözümü: Online Ders Saat Ücreti ve Toplam Gelir Maksimizasyonu

Önemli Noktalar

  • Firma, 50 TL ders saati ücreti ile en fazla 100 öğrenciye aynı anda ders verebiliyor.
  • Ders saati ücreti her 5 TL artarsa, derse katılan öğrenci sayısı 1 kişi azalıyor.
  • Amaç, toplam geliri maksimize etmek için ders saati ücretini bulmak.

Toplam gelir, ders saat ücretinin öğrenci sayısı ile çarpımıdır. Ücret arttıkça öğrenci sayısı azalır. Bu, maksimum gelir için kare (parabol) denklemi kullanılarak çözülür.

İçindekiler

  1. Problemin Matematiksel Modeli
  2. Gelirin Maksimum Olduğu Ücretin Hesaplanması
  3. Sonuç ve Doğru Cevap

1. Problemin Matematiksel Modeli

  • Ders saati ücretini x TL olarak tanımlayalım.
  • Başlangıçta: x_0 = 50 TL, öğrenci sayısı N_0 = 100.
  • Ücret her 5 TL arttığında öğrenci sayısı 1 kişi azalıyor.
  • Ücret artışı sayısı:
    n = \frac{x - 50}{5}
  • Öğrenci sayısı:
    N = 100 - n = 100 - \frac{x-50}{5} = 100 - \frac{x}{5} + 10 = 110 - \frac{x}{5}

Toplam gelir G:

G = x \times N = x \times \left(110 - \frac{x}{5}\right) = 110x - \frac{x^2}{5}

2. Gelirin Maksimum Olduğu Ücretin Hesaplanması

Geliri maksimize etmek için türev alıp sıfıra eşitliyoruz:

\frac{dG}{dx} = 110 - \frac{2x}{5} = 0

Çözelim:

110 = \frac{2x}{5}
110 \times 5 = 2x
550 = 2x
x = \frac{550}{2} = 275

Maksimum gelir için ders saati ücreti 275 TL olmalıdır.

3. Sonuç ve Doğru Cevap

Firmayı en fazla gelirle çalıştıracak ders saati ücreti 275 TL’dir.

Doğru cevap: D) 275

Sonraki Adımlar

Bu tür kare fonksiyonlarda maksimum ve minimum noktaların nasıl bulunacağını ve gerçek hayattaki uygulamalarını detaylı öğrenmek ister misiniz?

@zeynep212

3

Soru: Firmanın bir dersten elde edeceği toplam gelirin en fazla olması için ders saati ücreti kaç TL olmalıdır?

Temel Çıkarımlar

  • Fiyat her 5 TL artırıldığında öğrenci sayısı 1 azalıyor.
  • Başlangıçta: 100 öğrenci, 50 TL / saat.
  • Gelir fonksiyonu R(x)=(50+5x)\,(100-x) şeklinde tanımlanır ve tepe noktasında maksimuma ulaşır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. x: Her 5 TL’lik fiyat artışı sayısı olsun.
  2. Fiyat: p(x)=50+5x. Öğrenci sayısı: n(x)=100-x.
  3. Gelir:
R(x)=p(x)\times n(x)=(50+5x)(100-x)=-5x^2+450x+5000.
  1. Parabolün tepe noktası x=-\frac{b}{2a}=\frac{450}{10}=45.
  2. Maksimum gelir için fiyat:
p(45)=50+5\cdot 45=275\ \text{TL}.

Cevap: D) 275

Özet Tablosu

x (Artış Adımı) Fiyat p(x) (TL) Öğrenci Sayısı n(x) Gelir R(x) (TL)
45 275 100 − 45 = 55 275 × 55 = 15 125

SSS

S1: Neden x yerine öğrenci sayısı azalımı kullanıyoruz?
C1: Her artış adımı öğrenci sayısını bire bir azalttığı için n(x)=100-x formülü doğrudur.

S2: Gelir fonksiyonunun tepe noktasını nasıl bulduk?
C2: İkinci dereceden fonksiyonun maksimumu x=-\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.

S3: Farklı bir artış birimi seçilmiş olsaydı (örneğin 10 TL), formül nasıl değişirdi?
C3: Artış birimine göre p(x)=50+10x,\ n(x)=100-x olur ve aynı yöntemle yeni x değeri hesaplanır.

S4: Bulduğumuz fiyat gerçekten en fazla geliri garanti eder mi?
C4: Evet, parabolün tepe noktası matematiksel olarak maksimum değeri temsil eder.

Birlikte 3 farklı fiyat senaryosu için gelir hesaplaması yaparak pekiştirmek ister misiniz?
@zeynep212