Resimli Soru 14-01-2026 21:13:19 Integral Problemi Çözümü

YKS TYT
1

IMG_4386
IMG_4386720×1559 33.8 KB

2

Resimli Soru 14-01-2026 21:13:19 Integral Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Fonksiyon parçalı tanımlanmış: f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x - 3, & x < 0 \\ 2x, & x \geq 0 \end{cases}
  • İntegral \int_{-3}^4 3 \cdot f(x-2) \, dx şeklinde verilmiş
  • Parçalı fonksiyonun f(x-2) halini doğru belirlemek gerekiyor

İntegralin değeri, parçalı fonksiyonun x-2 argümanındaki haline göre aralıklar bölünerek hesaplanır.

İçindekiler

  1. Fonksiyonun Parçalı Halinin Belirlenmesi
  2. İntegral Aralığının Bölünmesi
  3. İntegralin Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Fonksiyonun Parçalı Halinin Belirlenmesi

Fonksiyon f(x) şöyle tanımlanmış:

f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x - 3, & x < 0 \\ 2x, & x \geq 0 \end{cases}

Soruda integralde kullanılan ifade f(x-2). Bu sebeple \tilde{x} = x - 2 değişkenine göre koşullar değişir:

  • x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2 olduğunda f(x-2) = (x-2)^2 + 2(x-2) - 3
  • x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 olduğunda f(x-2) = 2(x-2)

Bu nedenle fonksiyon iki parçaya bölünür:

f(x-2) = \begin{cases} (x - 2)^2 + 2(x - 2) - 3, & x < 2 \\ 2(x - 2), & x \geq 2 \end{cases}

2. İntegral Aralığının Bölünmesi

İntegral sınırları [-3, 4] aralığında ve fonksiyon x=2 noktasında tanım değiştiriyor. Bu yüzden integrali şu şekilde yazalım:

\int_{-3}^4 3 \cdot f(x-2) \, dx = 3 \left[ \int_{-3}^2 ((x - 2)^2 + 2(x - 2) - 3) dx + \int_2^4 2(x - 2) dx \right]

3. İntegralin Hesaplanması

3.1. İlk Kısım: \int_{-3}^2 ((x - 2)^2 + 2(x - 2) - 3) dx

Öncelikle açalım:

(x-2)^2 + 2(x-2) - 3 = (x^2 - 4x + 4) + 2x - 4 - 3 = x^2 - 2x - 3

İntegrali hesaplayalım:

\int_{-3}^2 (x^2 - 2x -3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x \right]_{-3}^2

Üst sınır: x=2

\frac{2^3}{3} - 2^2 - 3 \cdot 2 = \frac{8}{3} - 4 - 6 = \frac{8}{3} - 10 = \frac{8 - 30}{3} = -\frac{22}{3}

Alt sınır: x = -3

\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 - 3 \cdot (-3) = \frac{-27}{3} - 9 + 9 = -9 - 9 + 9 = -9

Farkı alalım:

-\frac{22}{3} - (-9) = -\frac{22}{3} + 9 = -\frac{22}{3} + \frac{27}{3} = \frac{5}{3}

3.2. İkinci Kısım: \int_2^4 2(x-2) dx

İntegrali hesaplayalım:

\int_2^4 2(x-2) dx = 2 \int_2^4 (x - 2) dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_2^4 = 2 \left[ \left(\frac{16}{2} - 8\right) - \left(\frac{4}{2} - 4\right) \right]

İç hesaplama:

\left(\frac{16}{2} - 8\right) = 8 - 8 = 0
\left(\frac{4}{2} - 4\right) = 2 - 4 = -2

Farkı:

0 - (-2) = 2

Sonuç:

2 \times 2 = 4

3.3. Toplam İntegral

3 \cdot \left( \frac{5}{3} + 4 \right) = 3 \cdot \left( \frac{5}{3} + \frac{12}{3} \right) = 3 \cdot \frac{17}{3} = 17

Özet Tablo

İşlem Sonuç
\int_{-3}^2 f(x-2) dx \frac{5}{3}
\int_2^4 f(x-2) dx 4
Toplam \int_{-3}^4 f(x-2) dx \frac{17}{3}
\int_{-3}^4 3 f(x-2) dx 17

Sık Sorulan Sorular

1. Parçalı fonksiyonlarda integral nasıl hesaplanır?
Parçalı fonksiyonun tanım değişikliği yaptığı noktalar integral sınırları içine giriyorsa, integre edilecek aralık bu noktalar üzerinden bölünür ve her parça kendi fonksiyonu ile ayrı ayrılır ve hesaplanır. Sonra sonuçlar toplanır.

2. f(x-2) ifadesi nasıl açılır?
f(x-2) fonksiyonun argümanının x-2 ile değiştiği anlamına gelir. Parçalı tanımda koşullar x-2 değişkenine göre yeniden düzenlenir.

3. Sabit çarpanlı integral nasıl hesaplanır?
Sabir bir sayı integrale çarpılmışsa, integral değerinin sonucu ile o sayı çarpılır.

Sonraki Adımlar

İntegral problemlerinde benzer parçalı fonksiyonların çözüm yöntemleri hakkında detaylı rehber ister misiniz? Yoksa türev veya limit konularında da hesaplama örnekleri sunayım mı?

@djszjsldkskckskdjen

3

**Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

$f(x)=\begin{cases}
x^2+2x-3,&x<0,\
2x,&x\ge0
\end{cases}$
ise
\displaystyle \int_{-3}^{4}3\,f(x-2)\,dx değeri kaçtır?**

Ana Çıkarımlar

  • Değişken dönüşümü ile u=x-2 alındığında entegrasyon sınırları x\in[-3,4]\to u\in[-5,2] olur.
  • Parçalı fonksiyon u<0 ve u\ge0 aralıklarında farklı ifadelerle ele alınır.
  • Toplam alan, iki entegralin toplamından ve önündeki 3 katsayısından elde edilir.

İntegral değeri 17’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Parçalı Fonksiyon Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. u = x - 2 değişken dönüşümü yapalım.
    • x=-3\Rightarrow u=-5, x=4\Rightarrow u=2.
    • \int_{-3}^{4}3\,f(x-2)\,dx = 3\int_{-5}^{2}f(u)\,du.
  2. Parçaları belirleyelim:
    • u<0 için f(u)=u^2+2u-3.
    • u\ge0 için f(u)=2u.
  3. Entegralleri hesaplayalım:
    $$\int_{-5}^{0}(u^2+2u-3),du
    =\left[\frac{u^3}{3}+u^2-3u\right]{-5}^{0}
    =\bigl(0\bigr)-\Bigl(-\tfrac{5}{3}\Bigr)
    =\tfrac{5}{3},$$
    $$\int    {0}^{2}2u,du
    =\bigl[u^2\bigr]_{0}^{2}
    =4.$$
  4. Toplam ve katsayı:
    3\Bigl(\tfrac{5}{3}+4\Bigr)=3\cdot\tfrac{17}{3}=17.

Parçalı Fonksiyon Karşılaştırma Tablosu

Özellik u<0 u\ge0
Fonksiyon f(u) u^2+2u-3 2u
Tanım Aralığı (-\infty,0) [0,\infty)
İntegral İfadesi \displaystyle\int(u^2+2u-3)\,du \displaystyle\int2u\,du

Özet Tablosu

Adım Sonuç
Değişken Dönüşümü u=x-2,\;x\in[-3,4]\to u\in[-5,2]
Parça 1 ( u<0 ) \int_{-5}^{0}(u^2+2u-3)\,du=\tfrac{5}{3}
Parça 2 ( u\ge0 ) \int_{0}^{2}2u\,du=4
Toplam Öncesi \tfrac{5}{3}+4=\tfrac{17}{3}
Sonuç (3 ile çarpma) 3\cdot\tfrac{17}{3}=17

SSS

Q1. Parçalı tanımlı bir fonksiyonlu integral nasıl hesaplanır?
A1. Aralıkları fonksiyonun tanımına göre ayırıp her biri için ayrı entegral alıp sonuçları toplarsınız.

Q2. Neden u=x-2 dönüşümü yaptık?
A2. Fonksiyonun içindeki x-2 ifadesini sadeleştirerek f(u) şeklinde standart integrale dönüştürmek için.

Q3. Önceki hesaplamayı 3 ile çarpmayı nasıl ekledik?
A3. Orijinal soruda integrale dışarıda 3 katsayısı olduğu için 3\int f(u)\,du yaptık.

Q4. Limitler dönüşümle nasıl değişiyor?
A4. Her x sınırı için u=x-2 formülünü uygulayıp yeni sınırları buluyoruz.

Bu yöntemi çözüm becerilerinizde pekiştirmek için yeni bir parçalara ayrılmış integral sorusu ister misiniz?
@djszjsldkskckskdjen