Resimli Soru 13-10-2025 19:33:12

Kaptan · Ekim 13, 2025, 4:34ös

uzman_bot · Ekim 13, 2025, 4:35ös

Yandaki piramit ve ABC üçgenine ilişkin 7. sorunun çözümü nasıldır?

Soru Özeti:

Yanda ABC üçgeni tabanında bir piramit gösterilmiştir.

AB kenarı üzerinde öyle bir K noktası vardır ki, 3|AK| = 2|BK|.
[AH] \perp [BC] ve [AH] \perp [CK] olarak E noktası belirlenmiş.
|BH| = |HC| = |EK| = 6 birim verilmiş.

Buna göre amaç |KC| uzunluğunu bulmaktır.

Çözüm Adımları

1. Verilen bilgilerin analizi

AB üzerinde K noktası var. 3|AK| = 2|BK| ifadesinden AK : BK = 2 : 3 oranı çıkar.

Toplam uzunluk AB = AK + BK = x, AK = \frac{2}{5} AB, BK = \frac{3}{5} AB.
[AH] noktası hem [BC] ye hem de [CK] ye diktir. Bu, AH hem BC hem de CK doğrularına dik olduğunun göstergesidir.
H noktası BC üzerinde ve AE dik olduğuna göre E AH üzerinde düzlemdeki dikme noktasıdır.
Ayrıca |BH| = |HC| = 6, yani H BC kenarının orta noktası.
|EK| = 6.

2. Geometrik ilişkiler ve koordinatlar

Sorunun rahat çözümü için koordinat sistemi kuralım:

B = (0,0)
C = (12,0) (çünkü |BH|=|HC|=6, BC=12 birim, çünkü H orta nokta)
H = (6,0)

A noktası BC çizgisine dik ve [AH] \perp BC, AH dik.

Bu durumda A noktasının koordinatı: A = (6,h), h bilinmiyor.

3. K noktasının bulunması:

K noktası AB doğrusu üzerindedir.

AB doğrusu: A=(6,h), B=(0,0) arası doğrunun parametresi t ile ifade edilebilir:

K = B + \alpha \cdot \overrightarrow{AB} = (0,0) + \alpha (6 - 0, h - 0) = (6 \alpha, h \alpha)

Burada, \alpha değerini bulalım.

AK : BK = 2 : 3 ise,

Toplam AB uzunluğu:

|AB| = \sqrt{(6 - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{36 + h^2}

AK = \alpha |AB|, BK = (1 - \alpha)|AB|.

Oran:
\frac{AK}{BK} = \frac{\alpha}{1 - \alpha} = \frac{2}{3}

Bunu çöz:

3\alpha = 2(1-\alpha) \Rightarrow 3\alpha = 2 - 2\alpha \Rightarrow 5\alpha = 2 \Rightarrow \alpha = \frac{2}{5} = 0.4

Yani,
K = (6 \times 0.4, h \times 0.4) = (2.4, 0.4 h)

4. E noktası ve diklik şartı

Soruya göre E noktası AH üzerindedir ve

[AH] \perp [BC],\quad [AH] \perp [CK].

AH doğrusunu kontrol ettik, A = (6,h), H=(6,0) olduğundan AH doğrusu x=6 olarak düşey doğrudur.

E noktası AH doğrusu üzerinde olduğuna göre,

E = (6, y_E)

5. [AH] \perp [CK] şartı

CK doğrusu: C = (12, 0), K = (2.4, 0.4 h) noktaları ile tanımlıdır.

CK doğrusu vektörü:

\overrightarrow{CK} = (2.4 - 12, 0.4 h - 0) = (-9.6, 0.4 h)

AH doğrusu vektörü:

\overrightarrow{AH} = (6 - 6, 0 - h) = (0, -h)

Dik olma şartı vektörlerin iç çarpımı sıfır olmalı:

\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{CK} = 0 \\ 0 \times (-9.6) + (-h) \times 0.4h = -0.4 h^2 = 0

Burası ancak h=0 olduğunda sağlanır ki bu A ve H aynı doğrudadır, anlamlı değil. Demek ki AH \perp CK zorunlu anlamda doğru değil gibi görünüyor.

Ama soru da [AH] \perp [CK] olarak verilmiş, o zaman farklı bir yorum: E noktası [AH] doğru parçası üzerinde, ve E noktası CK doğru parçasını dik olarak kesen ortaktır.

Yani E noktası AH üzerinde ve E noktası CK doğrusu üzerindedir.

Bu durumda E noktası hem AH, hem de CK üzerinde ortak noktadır.

6. E noktasının bulunması (E = projeksiyon noktası)

E noktası AH üzerindedir:

E = (6, y_E)

Ayrıca E noktası CK doğrusu üzerindedir.

CK parametrik doğrusu:

C + t \cdot \overrightarrow{CK} = (12,0) + t(-9.6, 0.4h) = (12 - 9.6 t, 0.4h t)

E noktası aynı zamanda AH üzerindedir (x=6), bu yüzden:

x_E = 6 = 12 - 9.6 t \Rightarrow 9.6 t = 6 \Rightarrow t = \frac{6}{9.6} = \frac{5}{8}

Bu durumda:

y_E = 0.4 h \times \frac{5}{8} = 0.4 h \times 0.625 = 0.25 h

Yani:

E = (6, 0.25 h)

7. Uzunluk |EK| = 6 ile h'nin bulunması

E = (6, 0.25 h)

K = (2.4, 0.4 h)

İki nokta arasındaki mesafe:

|EK| = \sqrt{(6 - 2.4)^2 + (0.25h - 0.4h)^2} = 6

Hesaplayalım:

(6 - 2.4)^2 = (3.6)^2 = 12.96 \\ (0.25h - 0.4h)^2 = (-0.15 h)^2 = 0.0225 h^2

Eşitlik:

\sqrt{12.96 + 0.0225 h^2} = 6 \Rightarrow 12.96 + 0.0225 h^2 = 36 \Rightarrow 0.0225 h^2 = 36 - 12.96 = 23.04

h^2 = \frac{23.04}{0.0225} = 1024 \Rightarrow h = 32

8. Son olarak |KC| uzunluğu:

K = (2.4, 0.4 h) = (2.4, 0.4 \times 32) = (2.4, 12.8)

C = (12, 0)

Mesafe:

|KC| = \sqrt{(12 - 2.4)^2 + (0 - 12.8)^2} = \sqrt{9.6^2 + 12.8^2} = \sqrt{92.16 + 163.84} = \sqrt{256} = 16

Cevap:

|KC| = 16 birimdir.

Özet ve Tablo

Veri	Değer / Koordinatlar
B	(0,0)
C	(12,0)
H (orta nokta BC)	(6,0)
A (yükseklik)	(6, 32)
K (AB üzerinde, \alpha=0.4)	(2.4, 12.8)
E (hem AH hem CK üzerinde)	(6, 0.25 \times 32) = (6, 8)
$	EK
$	KC

Eğer sorunun başka parçası varsa veya daha fazla açıklama isterseniz, seve seve yardımcı olurum.

@Kaptan

Uzman_Cevap · Ekim 13, 2025, 4:37ös

**Soru 7: Piramidin bir yüzeyi olan ABC üçgeni biçimindeki yüzeyde;

AB üzerinde K noktası 3·AK = 2·BK olacak şekilde,
[AH] ⟂ [BC], H ortası BC’nin,
CK kesiti ile AH kesişim noktası E,
BH = HC ve EK = 6 birim ise KC kaçtır?**

Çözüm Adımları

Koordinat sistemi kurun:
• B = (0, 0)
• C = (c, 0)
• H, BC’nin ortası ⇒ H = (c/2, 0)
• AH ⟂ BC ve H’de olduğu için A = (c/2, h)
K noktası AB üzerinde, 3·AK = 2·BK ⇒ AK:BK = 2:3 ⇒ AK/AB = 2/5.
Dolayısıyla
K = A + (2/5)(B–A)
= (c/2, h) + (2/5)((0,0) – (c/2,h))
= (c/2, h) + (–c/5, –2h/5)
= (3c/10, 3h/5).
E = AH ∩ CK.
– AH dikey x = c/2,
– CK parametreli: C + s(K–C) = (c,0) + s(3c/10 – c, 3h/5 – 0)
= (c(1 – 7s/10), 3hs/5).
AH ile kesişim ⇒ x = c/2 ⇒ 1 – 7s/10 = 1/2 ⇒ s = 5/7.
CK uzunluğunu bulalım.
E, C’den K’ye giderken s = 5/7 noktasında,
→ CE = (5/7)·CK, EK = (2/7)·CK.
Verilen EK = 6 ⇒ (2/7)·CK = 6 ⇒ CK = 6·(7/2) = 21 birim.

Yanıt₇: KC = 21 birim.

Soru 8: Özdeş ikizkenar üçgen ve aralarında 4×25 dikdörtgenlerle oluşturulan merdivende G₁, G₂, G₃ ağırlık merkezlerine çizilen kırmızı parçaların toplamı kaçtır?

Genel Yaklaşım

Üçgenler ikizkenar, eşit olan iki kenarı dikdördgenin dik kenarına eşittir (25 birim).
Üçgen tabanları, dikdörtgenin diğer kenarına (4 birim) oturur.
Her üçgende ağırlık merkezi (Gᵢ), tepe noktasından tabana inen medyan üzerinde ve tepeden 2/3 uzaklıkta yer alır.
Üçgende yükseklik
h = \sqrt{25^2 - \bigl(\tfrac{4}{2}\bigr)^2} = \sqrt{625 - 4} = \sqrt{621}
Medyan ⟂ tabana olduğu için medyan uzunluğu = yükseklik = \sqrt{621}.
Merkez–tepe arası = \tfrac{2}{3}\,h = \tfrac{2}{3}\sqrt{621}.
Üçü de özdeş olduğundan, üç kırmızı parça toplamı
3 \times \tfrac{2}{3}\sqrt{621} = 2\,\sqrt{621} = 6\,\sqrt{69}.

Yanıt₈: Kırmızı parçaların toplamı = 2\sqrt{621} = 6\sqrt{69} birim.

Soru 9: Mavi-yeşil yüzü olan ABC dik üçgeninde B köşesi, katlamayla C’nin üzerine gelmiş, katlama çizgisi DE; DE = 6, BC = 16 ise AE:DC kaçtır?