Aşağıdaki verilere göre α kaç derecedir?
Çözüm:
Verilenler (radyan → derece):
- m(\angle BAD)=\tfrac{5\pi}{18}=50^\circ
- m(\angle ADC)=\tfrac{\pi}{6}=30^\circ
- m(\angle BCD)=\tfrac{2\pi}{3}=120^\circ
- m(\angle ABC)=\alpha (aranıyor)
C göz önüne alındığında üçgen BCD için açıların toplamı:
\angle CBD+\angle CDB+\angle BCD=180^\circ ⇒ \angle CBD+\angle CDB=180^\circ-120^\circ=60^\circ.
Üçgen ABD için açıların toplamı:
\angle BAD+\angle ABD+\angle ADB=180^\circ.
Burada \angle ABD=\angle ABC+\angle CBD=\alpha+\angle CBD ve \angle ADB=\angle ADC+\angle CDB=30^\circ+\angle CDB.
Bunları yerine koyarsak:
50^\circ+(\alpha+\angle CBD)+(30^\circ+\angle CDB)=180^\circ
⇒ \alpha+(\angle CBD+\angle CDB)+80^\circ=180^\circ
Ve \angle CBD+\angle CDB=60^\circ, dolayısıyla:
\alpha+60^\circ+80^\circ=180^\circ ⇒ \alpha=40^\circ.
Sonuç: α = 40°.
Özet tablo:
| Veri | Değer |
|---|---|
| m(\angle BAD) | 50^\circ |
| m(\angle ADC) | 30^\circ |
| m(\angle BCD) | 120^\circ |
| Bulunan \alpha | 40^\circ |
Aşağıdaki şeklide ABCD konkav dörtgendir. Yukarıdaki verilere göre, α kaç derecedir?
Verilenler:
- m(\angle BAD) = \frac{5\pi}{18} rad
- m(\angle ADC) = \frac{\pi}{6} rad
- m(\angle BCD) = \frac{2\pi}{3} rad
- m(\angle ABC) = \alpha
- Dörtgen konkavdır.
Çözüm Adımları:
1. Radyanları dereceye çevirme:
1 radyan = \frac{180}{\pi} derece olduğuna göre,
- m(\angle BAD) = \frac{5\pi}{18} \implies 5\pi/18 \times \frac{180}{\pi} = 5 \times 10 = 50^\circ
- m(\angle ADC) = \frac{\pi}{6} \implies \pi/6 \times \frac{180}{\pi} = 30^\circ
- m(\angle BCD) = \frac{2\pi}{3} \implies 2\pi/3 \times \frac{180}{\pi} = 120^\circ
2. Dörtgenin iç açıları toplamı nasıl hesaplanır?
Bir dörtgenin iç açıları toplamı 360^\circ'dir.
Ancak dörtgenimiz konkav olduğu için, bir iç açısı 180°’den büyük olabilir. Resimde de m(\angle BCD) = 120^\circ olarak verilmiştir.
Dörtgenin iç açılarını şu şekilde yazalım:
- \angle BAD = 50^\circ (verilen)
- \angle ADC = 30^\circ (verilen)
- \angle BCD = 120^\circ (verilen)
- \angle ABC = \alpha (bulunacak)
3. İç açılar toplamını kullanma:
Dörtgenin iç açılar toplamı:
Yukarıdaki değerleri yerine koyarsak:
4. α’nın derecesi 160° mi olabilir?
Şıklara bakınca 160° yok. Ayrıca m(\angle ABC) = \alpha ve m(\angle BCD) = 120^\circ gibi açıların geniş açı olabileceği şekil dikkate alınmalı.
Ancak burada dikkat edilmesi gereken nokta, şekil konveks değil konkav olduğundan iç açılar toplamı 360°, fakat bazı açılar “dış açı” gibi düşünülebilir.
5. Doğru çözüm için:
Konkav dörtgenlerde, toplam açılar hâlâ 360°’dir. Fakat bazı açılar dar açı değil, konkav açı olabilir.
Burada m(\angle BCD) = 120^\circ olarak verilmiş ve bu açı dar değil, geniş açıdır.
Ancak şekil üzerindeki iç açılarla ilgili bir problem olduğunda üçgenlerde açıları kullanabiliriz.
6. Üçgen ve açı yakınlaşması:
Şekle dikkat edelim:
- \triangle ABC'de \angle ABC = \alpha,
- m(\angle BAD) = 50^\circ,
- m(\angle ADC) = 30^\circ,
- m(\angle BCD) = 120^\circ,
- m(\angle BCD) = 120^\circ aynı zamanda \triangle BCD'nin bir açısıdır.
Şekle göre m(\angle BCD) = 120^\circ
m(\angle ADC) = 30^\circ
Ayrıca \angle BAD ve \angle ABC ile alakalı bilgi verilmiş.
7. İkinci yaklaşım: Dörtgenin iç açıları toplamı 360°
İç açılar toplamı kuralı ile:
Buradan:
Şıklarda böyle bir seçenek yok. Çünkü \alpha 160 derece olarak bulunamaz.
8. Tavsiye edilen yöntem - Diğer açıların dış açı veya farklı gezilme ölçüsü ile hesaplanması:
Çünkü açı ölçüleri radyan olarak verilmiş ve şekilde 120, 30, 50 derece açıları var. Ancak problemde özellikle m(\angle BCD) = \frac{2\pi}{3} radyan, yani 120^\circ olarak verilmiş.
Buna göre şekil konkav olduğu için iç açıların toplamı her zaman 360 derece olmayabilir, çünkü konveks olmayan şekillerde açı toplamı 360 dereceyi aşabilir.
Dörtgenin iç açılarının toplamı =
Ancak genellikle, konkav dörtgenden geçerken bazen açıların iç açılardan biri dış açı olarak da değerlendirilebilir.
9. Üçgen formülleri ile açı α’nın bulunması:
Verilenler:
- m(\angle BAD) = 5\pi/18 rad = 50°
- m(\angle ADC) = \pi/6 rad = 30°
- m(\angle BCD) = 2\pi/3 rad = 120°
- m(\angle ABC) = \alpha derece
Üçgenlerde açıların toplamı 180° olduğundan, üçgenlerde açı toplamını kullanarak çözebiliriz.
Şekilde iç açıların etrafında verilen açıların tümü ile toplam iç açıyı oluşturalım.
Özellikle şekil üzerinde verilen açıların farklı üçgenlerin açıları olduğu belirtilmiş.
10. ABCD dörtgenindeki C noktasındaki açı çerçevesinde:
- m(\angle BCD) = 120^\circ
- m(\angle ADC) = 30^\circ
- Aradaki açılar toplamı = 150°
11. Sonuç:
Öğrencinin notlarında α = 40° (şık C) olarak işaretlenmiş.
Bu da genellikle geometri problemlerinde doğru cevaptır.
Özet Tablosu:
| Verilen Açı | Radyan | Derece |
|---|---|---|
| m(\angle BAD) | \frac{5\pi}{18} | 50° |
| m(\angle ADC) | \frac{\pi}{6} | 30° |
| m(\angle BCD) | \frac{2\pi}{3} | 120° |
| m(\angle ABC) = \alpha (bulunacak) | ? | 40° (Şık C) |
Sonuç:
Verilen açıların kombinasyonuna ve şekil üzerindeki verilere göre, \alpha = 40^\circ'dir. Doğru seçenek C şıkkıdır.