Aşağıdaki sorunun çözümü nedir?
Soru:
Duvar saati sabah 10:15’i gösterirken Ayşe bir deneme sınavı çözmeye başlıyor. Bu sınav sabah 10:15’te başlıyor ve aynı gün öğlen 12:30’da (12:30) bitiyor. Buna göre,
I. Sınav süresi boyunca akrebin taradığı açının ölçüsü \frac{3\pi}{8} radyandır.
II. Sınav süresi boyunca yelkovanın taradığı yönlü açının esas ölçüsü 270°’dir.
III. Sınav bittiğinde akrep ile yelkovan arasındaki ölçüsü küçük olan açı 165°’dir.
İfadelerinden hangileri doğrudur?
Çözüm
Adımlar:
Ayşe’nin deneme sınavı süresi:
Başlangıç: 10:15
Bitiş: 12:30
Sınav süresi = 12:30 - 10:15 = 2 saat 15 dakika = 2,25 saat
1. Akrebin taradığı açı (I. ifade)
Akrep saatte tam bir turda 360°’yi 12 saatte tamamlar. Yani
- Dakikada akrep açısı:
- Saatte akrep 30° döner. Çünkü saatte 1 saat ilerler ve 360°/12 = 30°
Sınav süresince akrep açısı:
Şimdi bunu radyana çevirelim:
Yani I. ifade doğrudur.
2. Yelkovanın taradığı açı (II. ifade)
Yelkovan saatte tam 360° dönüş yapar, yani dakikada 6° dönüyor.
Sınav süresi boyunca yelkovan açısı:
Ancak soruda “taradığı yönlü açının esas ölçüsü 270°’dir” demektedir. Esas ölçü, yönlü açının 360°’den küçüğü ve negatif olmadığı halidir.
Yelkovan 810° döndüğünde, bunun 360°’den kalanına bakarız:
Yani yelkovan esas ölçü olarak sadece 90° açı yapmış olur.
Bu nedenle II. ifade yanlışdır.
3. Sınavın bittiği anda akrep ve yelkovan arasındaki küçük açı (III. ifade)
Bitiş saati: 12:30
- Akrep pozisyonu:
Saatler 12’ye göre hesaplanırsa, akrep bir saat 30°, o halde saat 12:30’da akrebin açısı:
Yani akrep saat 12:30’da 0 + 15 = 15° konumundadır.
- Yelkovan pozisyonu:
Yelkovan dakika 30’da 180°’de olur (dakikada 6°):
Akrep ile yelkovan arasındaki açı:
Küçük olan açı zaten 165° olarak verilmiştir.
Bu nedenle III. ifade doğrudur.
Sonuç
| İfade | Doğru mu? |
|---|---|
| I | Evet |
| II | Hayır |
| III | Evet |
Doğru seçenek:
D) I ve III doğru, ancak seçeneklerde bu yok. Tek seçenek “I ve II” (D) yanlış, “I, II ve III” (E) ise fazla.
Elimizdeki seçenekler:
- A) Yalnız I
- B) Yalnız II
- C) Yalnız III
- D) I ve II
- E) I, II ve III
Yukarıda II ifadesi yanlış olduğuna göre yalnız I ve III doğru olabilir.
Seçenekler içinde buna en yakın olan “A) Yalnız I” ve “C) Yalnız III”.
Her ikisi de doğrunun sadece bir kısmını kapsıyor.
Ancak I ve III’ün doğru olduğunu biliyoruz.
Burada D şıkkı (I ve II) yanlış, E şıkkı (I, II, III) yanlış, A ve C ise sadece tek ifade.
Bu durumda soruda hata olabilir ancak doğru cevap I ve III doğrudur, yani A veya C arasında seçim yapmamız gerekirse en doğru cevap E (I, II ve III) değildir.
Kısaca
I ve III ifadeleri doğrudur, II yanlıştır.
Özet Tablosu
| İfade No | İfade | Doğruluk | Hesaplama Özeti |
|---|---|---|---|
| I | Akrebin taradığı açı \frac{3\pi}{8} radyandır. | Doğru | Akrep 2.25 saatte 67.5°, bu \frac{3\pi}{8} radyandır. |
| II | Yelkovanın taradığı yönlü açının esas ölçüsü 270° | Yanlış | Yelkovan 810° dönse de esas ölçü 90° olur. |
| III | Akrep ile yelkovanın küçük açısı 165°’dir. | Doğru | Akrep 15°, yelkovan 180°, fark 165° |
Soru: Aşağıdaki duvar saati sabah 10.15’i gösterirken Ayşe bir deneme sınavı çözmeye başlamıştır. Ayşe’nin çözdüğü deneme sınavı, aynı gün öğlen saat 12.30’u gösterirken bittiğine göre, ifadelerinden hangileri doğrudur?
Cevap: Aşağıda adım adım hesaplamalar ve mantık ile hangi ifadelerin doğru olduğunu gösteriyorum.
İçindekiler
- Sınav süresi hesaplama
- Yelkovanın (dakika kolu) taradığı açının hesabı — II. ifade
- Akrebin (saat kolu) taradığı açının hesabı — I. ifade
- Bitişte akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı — III. ifade
- Sonuç özeti (tablo)
1. Sınav süresi hesaplama
- Başlangıç: 10:15
- Bitiş: 12:30
- Sınav süresi = 2 saat 15 dakika = 135 dakika = 2,25 saat.
2. Yelkovanın taradığı açının hesabı — II. ifade
- Dakika kolu her dakikada 6^\circ (çünkü 360^\circ/60=6^\circ).
- Toplam taranan açı = 135 \times 6^\circ = 810^\circ.
810°’nin mod 360 değeri 810 - 2\cdot360 = 90^\circ'dir.
Ancak “yönlü (directed) açının esas ölçüsü” genellikle pozitif yön (matematikte tersine çevirme: counterclockwise = pozitif) kabul edilirse, dakika kolunun saat yönünde yaptığı 810^\circ dönüşü, matematiksel olarak -810^\circ olur. Bunun esas (0–360 aralığındaki) değeri -810^\circ \equiv 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ olur.
- Bu yüzden II. ifade doğrudur (yönlü açı olarak esas ölçüsü 270^\circ olur).
3. Akrebin taradığı açının hesabı — I. ifade
Akrebin açısını saat cinsinden hesaplayalım:
- Başlangıç konumu (10:15): akrep 10 + \tfrac{15}{60} = 10{,}25 saat konumunda. Saat başına 30^\circ olduğundan açısı 10{,}25 \times 30^\circ = 307{,}5^\circ.
- Bitiş konumu (12:30): saat 12 = 0°, 30 dakika = yarım saat, akrep 0{,}5 saat ileride → açısı 0{,}5 \times 30^\circ = 15^\circ (veya 12:30 için 15°).
Akrebin saat yönünde taradığı toplam açı: - 307{,}5° → 360° arası: 360 - 307{,}5 = 52{,}5^\circ, sonra 0°→15° ek 15^\circ: toplam 52{,}5 + 15 = 67{,}5^\circ.
67{,}5°’yi radyana çevirirsek:
67{,}5^\circ = \frac{67{,}5\pi}{180} = \frac{3\pi}{8}
- Dolayısıyla I. ifade doğrudur (akrebin taradığı açının ölçüsü 3\pi/8 radyandır).
4. Bitişte akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı — III. ifade
- Bitişte yelkovan (dakika kolu) 30 dakika → 180^\circ (6 yönünde).
- Akrep bitişte 15^\circ (önceki bölüm).
- İki kol arasındaki küçük açı = |180^\circ - 15^\circ| = 165^\circ.
- Yani III. ifade de doğrudur.
5. Sonuç özeti (tablo)
| İfade | Açıklama | Doğru mu? |
|---|---|---|
| I | Akrebin taradığı açı = 67{,}5^\circ = \frac{3\pi}{8} radyan | Doğru |
| II | Yelkovanın yönlü (directed) açısının esas ölçüsü = 270^\circ (saat yönünde 810° ⇒ matematiksel olarak -810^\circ \equiv 270^\circ) | Doğru |
| III | Bitişte akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı = 165^\circ | Doğru |
Cevap: E) I, II ve III (Hepsi doğru).
Özet: Sınav süresi 2 saat 15 dakika olduğundan dakika kolu toplam 810^\circ dönmüş (yönlü esas ölçüsü 270^\circ), saat kolu 67{,}5^\circ = \frac{3\pi}{8} dönmüş ve bitişte eller arasındaki küçük açı 165^\circ'dir. @Sam_Ameen
Cevap hepsi doğru diyor ve sen 2.25 saat dedin 2.15 olmayacakmış??
Aşağıdaki sorunun çözümü nedir?
Soru:
Duvar saati sabah 10:15’i gösterirken Ayşe bir deneme sınavı çözmeye başlıyor. Bu sınav aynı gün öğlen 12:30’da bitiyor. Buna göre:
I. Akrebin taradığı açının ölçüsü \frac{3\pi}{8} radyandır.
II. Yelkovanın taradığı yönlü açının esas ölçüsü 270°’dir.
III. Sınav sonunda akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı 165°’dir.
İfadelerinden hangileri doğrudur?
Detaylı Çözüm
1. Sınav Süresi
- Başlangıç saati: 10:15
- Bitiş saati: 12:30
Sınav süresi:
2. Akrebin Taradığı Açı (I. İfade)
Akrebin tur süresi: 12 saatte 360° → Saatte 30° dönüyor.
Sınav boyunca akrep,
çekmiştir.
Bunu radyana çevirelim:
Sonuç: I. ifade doğrudur.
3. Yelkovanın Taradığı Yönlü Açı (II. İfade)
Yelkovan dakikada 6° döner (çünkü 360°/60 = 6°).
Toplam dönülen açı:
Ancak yönlü açıdan bahsediyoruz; yelkovan saat yönünde dönüyor. Saat yönü matematikte negatif yön olarak kabul edilir. Dolayısıyla yönlü esas ölçü:
Sonuç: II. ifade doğrudur.
4. Akrep ve Yelkovan Arasındaki Küçük Açı (III. İfade)
- Akrep açısı saat 12:30’da:
Akrep saat başına 30°, dakika başına ise saat kolu 0,5° (çünkü 30°/60dk).
Saat 12:30 için akrep açısı:
(Biz 12 saat dilimini 0° kabul ediyoruz.)
- Yelkovan açısı saat 12:30’da:
- İki açı arasındaki fark (küçük açı):
Sonuç: III. ifade doğrudur.
Sonuç Tablosu
| İfade | Açıklama | Doğru mu? |
|---|---|---|
| I | Akrebin taradığı açı \frac{3\pi}{8} radyandır. | Doğru |
| II | Yelkovanın taradığı yönlü açının esas ölçüsü 270° | Doğru |
| III | Akrep ve yelkovan arasındaki küçük açı 165° | Doğru |
Cevap:
E) I, II ve III ifadeler doğru.
Not: Sınav süresi tam olarak 2 saat 15 dakikadır (2,25 saat). Eğer 2,15 saat diye yanlış bir sonuç düşünülürse bu hatalı olur. Çünkü 2 saat 15 dakika = 2.25 saattir, 2.15 saat 2 saat 9 dakika anlamına gelir ki bu süre soruda verilenle uymaz.
Neden 2.15 değil
Aşağıdaki sorunun çözümü nedir?
Soru özeti:
Duvar saati sabah 10:15’i gösterirken Ayşe deneme sınavına başlıyor. Sınav aynı gün öğlen 12:30’da bitiyor.
İfadeler:
I. Akrebin taradığı açının ölçüsü \frac{3\pi}{8} radyandır.
II. Yelkovanın taradığı yönlü açının esas ölçüsü 270°’dir.
III. Sınav sonunda akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı 165°’dir.
İfadelerden hangileri doğrudur?
Cevap ve detaylı açıklama:
1. Sınav süresi neden 2,25 saattir? (Neden 2,15 değil?)
- Başlangıç saati: 10:15
- Bitiş saati: 12:30
Aradaki süreyi dakika olarak hesaplayalım:
- 10:15 - 12:00 arası: 1 saat 45 dakika (bu yanlıştır, dikkat)
- Doğru yol:
- 10:15 → 12:15 arası tam olarak 2 saattir.
- 12:15 → 12:30 arası 15 dakikadır.
- Böylece toplam: 2\, saat + 15\, dakika = 2 saat 15 dakika.
Süreyi saat cinsine çevirmek için:
Buradaki “2,15 saat” ifadesi yanlıştır çünkü 2,15 saat demek 2 saat 9 dakika eder:
Oysa gerçek süre 2 saat 15 dakikadır.
2. Akrebin taradığı açı (I. ifade)
Akrep saatte 30° döner. Çünkü 12 saatte tam tur yani 360° → 360/12=30^\circ/\text{saat}.
Sınav süresi boyunca taradığı açı:
Bunu radyana çevirelim:
I. ifade doğrudur.
3. Yelkovanın taradığı yönlü açı (II. ifade)
Yelkovan dakikada 6° döner (çünkü 360° / 60 = 6°).
Sınav süresi 135 dakikadır (2 saat 15 dakika):
Saat yönündeki bu dönüşün matematikte pozitif yönün ters olduğu kabul edilir. Dolayısıyla yönlü esas ölçü:
II. ifade doğrudur.
4. Akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı (III. ifade)
- Bitiş zamanı 12:30
- Akrep pozisyonu:
Akrep saat başına 30°, dakikada 0.5° döner (çünkü 30° / 60 = 0.5°).
Saat 12:30 için:
- Yelkovan pozisyonu:
- İki kol arasındaki küçük açı:
III. ifade doğrudur.
Sonuç Tablosu
| İfade No | İfade Açıklaması | Doğruluk |
|---|---|---|
| I | Akrebin taradığı açı \frac{3\pi}{8} radyandır. | Doğru |
| II | Yelkovanın taradığı yönlü açının esas ölçüsü 270°’dir. | Doğru |
| III | Akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı 165°’dir. | Doğru |
Doğru cevap:
E) I, II ve III ifadeleri doğrudur.
Özet
- Süre 2 saat 15 dakika = 2,25 saat olarak hesaplanır.
- 2,15 saat diye yazmak yanlış olur, çünkü 0,15 saat yaklaşık 9 dakika eder.
- Akrep 67,5° (= \frac{3\pi}{8} rad)
- Yelkovan yönlü açının esas ölçüsü 270°
- Bitişte eller arası küçük açı 165°