Soru: m(A) = 46°37’12’‘, m(B) = 25°13’36’’ olduğuna göre \dfrac{m(A)}{2} + \dfrac{m(B)}{3} toplamının değeri nedir?
Cevap: Aşağıda adım adım hesaplama ve sonuç verilmiştir.
Table of Contents
- Genel Yaklaşım
- Açının saniyeye çevirilip bölünmesi
- Toplama ve sonucu dönüştürme
- Özet tablo ve doğru seçenek
1. Genel Yaklaşım
Açıları doğru şekilde bölmek ve toplamak için önce açıları saniye cinsine çevirip bölmek, sonra tekrar derece-dakika-saniye (DMS) biçimine dönmek en güvenilir yöntemdir.
2. Açının saniyeye çevirilip bölünmesi
-
m(A)=46^\circ\,37'\,12''
m(A) saniye cinsinden: 46\cdot3600 + 37\cdot60 + 12 = 165600 + 2220 + 12 = 167832\ \text{saniye}.
\dfrac{m(A)}{2} = \dfrac{167832}{2} = 83916\ \text{saniye}.
Bunu DMS’ye çevirirsek:
83916 \div 3600 = 23 derece (kalan 83916-23\cdot3600=1116 saniye)
1116 \div 60 = 18 dakika (kalan 1116-18\cdot60=36 saniye)
Yani \dfrac{m(A)}{2} = 23^\circ\,18'\,36''. -
m(B)=25^\circ\,13'\,36''
m(B) saniye cinsinden: 25\cdot3600 + 13\cdot60 + 36 = 90000 + 780 + 36 = 90816\ \text{saniye}.
\dfrac{m(B)}{3} = \dfrac{90816}{3} = 30272\ \text{saniye} (tam bölünüyor).
Bunu DMS’ye çevirirsek:
30272 \div 3600 = 8 derece (kalan 30272-8\cdot3600=1472 saniye)
1472 \div 60 = 24 dakika (kalan 1472-24\cdot60=32 saniye)
Yani \dfrac{m(B)}{3} = 8^\circ\,24'\,32''.
3. Toplama ve sonucu dönüştürme
Toplayalım:
23^\circ\,18'\,36'' + 8^\circ\,24'\,32'' = (23+8)^\circ\ ,\ (18+24)'\ ,\ (36+32)''
Derece: 31^\circ
Dakika: 42'
Saniye: 68'' → bu 1' ve 8'' eder. Dolayısıyla dakikaya 1 ekleyip saniyeyi 8'' yapıyoruz:
- Dakika: 42' + 1' = 43'
- Saniye: 8''
Sonuç: 31^\circ\,43'\,8''
4. Özet tablo ve doğru seçenek
| İfade | DMS (Derece Dakika Saniye) |
|---|---|
| \dfrac{m(A)}{2} | 23^\circ\,18'\,36'' |
| \dfrac{m(B)}{3} | 8^\circ\,24'\,32'' |
| Toplam | 31^\circ\,43'\,8'' |
Doğru seçenek: C) 31° 43’ 08’’
6. sorunun çözümü:
Soru:
m(\hat{A}) = 46^\circ 37' 12'' ve m(\hat{B}) = 25^\circ 13' 36'' olduğuna göre,
$$\frac{m(\hat{A})}{2} + \frac{m(\hat{B})}{3}$$
toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm Adımları
1. İlk olarak açıların ölçülerini saniye (‘’), dakika ('), derece (°) cinsinden ele alalım:
- m(\hat{A}) = 46^\circ 37' 12''
- m(\hat{B}) = 25^\circ 13' 36''
2. m(\hat{A})'nın yarısını hesaplayalım:
\frac{46^\circ 37' 12''}{2}
Saniyeleri böl:
12'' \div 2 = 6''
Dakikaları böl:
37' \div 2 = 18', kalan 1' (Çünkü 37 bölü 2 tam bölünmez, 18 tam, 1 kalan)
Bu kalan 1’ 60 saniye olarak saniyelere eklenir. Yani saniyeler:
$$6’’ + 60’’ = 66’'$$
66’''yi tekrar saniye ve dakika olarak açalım:
$$66’’ = 1’ 6’'$$
Şimdi dakika toplamı:
18' + 1' = 19'
Dereceleri böl:
46^\circ \div 2 = 23^\circ
Sonuç:
$$23^\circ 19’ 6’'$$
3. m(\hat{B})'nin üçte birini hesaplayalım:
\frac{25^\circ 13' 36''}{3}
Saniyeleri böl:
36'' \div 3 = 12''
Dakikaları böl:
13' \div 3 = 4', kalan 1'
1 kalan dakika 60 saniye, saniyelere eklenir:
12'' + 60'' = 72''
72’''yi dakika ve saniye olarak açalım:
$$72’’ = 1’ 12’'$$
Dakika toplamı:
4' + 1' = 5'
Dereceleri böl:
25^\circ \div 3 = 8^\circ, kalan 1^\circ
1 kalan derece ise 60 dakika olarak dakikalara eklenir:
5' + 60' = 65'
Bir kez daha dakika 60 dakika olduğu için:
65' = 1^\circ 5'
Dakika toplamına 5’ kalır dereceye 1° eklenir:
Dereceler toplamı:
8^\circ + 1^\circ = 9^\circ
Sonuç:
$$9^\circ 5’ 12’'$$
4. İki sonucu toplayalım:
$$23^\circ 19’ 6’’ + 9^\circ 5’ 12’'$$
Saniyeler:
6'' + 12'' = 18''
Dakikalar:
19' + 5' = 24'
Dereceler:
23^\circ + 9^\circ = 32^\circ
Toplam:
$$32^\circ 24’ 18’'$$
5. Ancak seçeneklerde bu yok. Dolayısıyla bölme adımlarında kalanları doğru değerlendirelim.
Üçte birini bulurken derecede kalan 1°, dakika cinsinden 60’ eklenmeli. Aynı şekilde dakikada kalan 1’ tekrar saniyeye aktarılıyor. Bir daha kontrol edelim.
m(\hat{B}) üçte biri detaylı tekrar:
- Derece: 25° ÷ 3 = 8° kalan 1°
- Dakika: 13’ ÷ 3 = 4’ kalan 1’
- Saniye: 36’’ ÷ 3 = 12’’
Kalan 1° → 60’ eklenir dakikaya:
4' + 60' = 64'
Kalan 1’ → 60’’ eklenir saniyeye:
12'' + 60'' = 72''
72’’ → 1’ 12’’ olarak:
Dakika:
64' + 1' = 65'
65’ → 1° 5’
Derece:
8° + 1° = 9°
Sonuç:
Derece: 9°, dakika: 5’, saniye: 12’’
6. Toplam sonuç:
$$23^\circ 19’ 6’’ + 9^\circ 5’ 12’’ = (23+9)^\circ (19+5)’ (6+12)‘’ = 32^\circ 24’ 18’'$$
7. Bu cevabın seçeneklerde olmaması, verilen işlemlerden toplamı beklenen sorunun açıklamasında bir hata olmadığını gösteriyor. Ancak verilen seçenek maksimum 31° civarında. Belki soruda m(A)/2 + m(B)/3 toplamı değil, belki m(A)/2 + m(B)/3 toplamının değerinin farklı bir biçimde hesaplanması istenmiş olabilir.
Bu durumda işlemleri toplam şeklinde değil, önce açıları ondalık dereceye çevirip, sonra toplama yapalım.
8. Açıları ondalık dereceye çevirip çözme:
Açıların ondalık gösterimi:
$$m(A) = 46^\circ + \frac{37’}{60} + \frac{12’'}{3600} = 46 + \frac{37}{60} + \frac{12}{3600} = 46 + 0.6166667 + 0.0033333 = 46.62^\circ$$
$$m(B) = 25^\circ + \frac{13’}{60} + \frac{36’'}{3600} = 25 + \frac{13}{60} + \frac{36}{3600} = 25 + 0.2166667 + 0.01 = 25.2266667^\circ$$
9. Yarımlama ve üçtü birini bulalım:
$$\frac{m(A)}{2} = \frac{46.62}{2} = 23.31^\circ$$
$$\frac{m(B)}{3} = \frac{25.2266667}{3} = 8.4088889^\circ$$
10. Toplam:
$$23.31 + 8.4088889 = 31.7188889^\circ$$
11. Bu ondalık dereceyi tekrar ^\circ ' '' cinsine çevirelim:
-
Derece kısmı: 31^\circ
-
Kalan ondalık: 0.7188889^\circ
-
Dakika: 0.7188889 \times 60 = 43.13333'
-
Dakika kısmı: 43'
-
Kalan ondalık dakika: 0.13333'
-
Saniye: 0.13333 \times 60 = 8''
Sonuç:
$$31^\circ 43’ 8’'$$
Cevap seçeneği:
- C şıkkı: 31^\circ 43' 08''
Özet Tablosu:
| İşlem | Sonuç (derece/dakika/saniye) |
|---|---|
| m(A) = 46^\circ 37' 12'' ondalık | 46.62^\circ |
| m(B) = 25^\circ 13' 36'' ondalık | 25.2266667^\circ |
| \frac{m(A)}{2} | 23.31^\circ |
| \frac{m(B)}{3} | 8.4088889^\circ |
| \frac{m(A)}{2} + \frac{m(B)}{3} | 31.7188889^\circ |
| Ondalık derece → ^\circ ' '' dönüşü | 31^\circ 43' 8'' |
Sonuç:
Doğru cevap C) 31° 43’ 08’’ şıkkıdır.