Soru: Görselde O1 merkezli dişli pozitif yönde 150^\circ döndüğüne göre, O2 merkezli dişli kaç radyanlık açı ile ve hangi yönde döner?
Cevap:
-
Dişliler birbirine bağlı olduğundan temas hattındaki yay tarakları aynı yol alır; yani yayıç uzunluk eşitliği: r_1\theta_1 = r_2\theta_2 geçerlidir. Döndürme yönleri zıt olduğu için işaret de ters olur:
\theta_2 = -\dfrac{r_1}{r_2}\,\theta_1. -
Verilenler: r_1=2r,\; r_2=r,\; \theta_1=150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}.
-
O halde
\theta_2 = -\dfrac{2r}{r}\cdot \dfrac{5\pi}{6} = -2\cdot \dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{5\pi}{3}.
Sonuç: O2, \,\mathbf{\dfrac{5\pi}{3}} radyan büyüklüğünde, O1 ile ters yönde (yani negatif işaretle: -\dfrac{5\pi}{3}) döner.
Yarıçapları 2 cm ve 1 cm olan O₁ ve O₂ merkezli dişliler problemi nasıl çözülür?
Soru:
Yarıçap uzunlukları sırasıyla 2 cm ve 1 cm olan O_1 ve O_2 merkezli dişli çarklar birbirine bağlı olarak hareket ediyor. O_1 merkezli dişli çark pozitif yönde 150^\circ (radyan cinsinden) ilk açı ile döndü. Buna göre, O_2 merkezli dişli çark kaç radyanlık yönlü açı ile döner?
Çözüm:
1. Problemin Genel Durumu:
- O_1 merkezli büyük çarkın yarıçapı: r_1 = 2\text{ cm}
- O_2 merkezli küçük çarkın yarıçapı: r_2 = 1\text{ cm}
- O_1 çarkı pozitif yönde ve 150^\circ (derece) açıyla dönmektedir.
2. Yapılması gerekenler:
- İlk olarak açıları radyan cinsine çevirelim:
- Dişliler birbirine bağlı olduğundan, temas noktalarında çevirme yolunun (yay uzunluğunun) eşit olması gerekir.
- Yay uzunluğu hesaplanırsa: s = r \times \theta
- Temas noktasında, O_1 çarkının döndürdüğü yay uzunluğu ile O_2 çarkının döndürdüğü yay uzunluğu eşittir:
Burada,
- \theta_1 : O_1 çarkının döndüğü açı (radyan)
- \theta_2 : O_2 çarkının döndüğü açı (radyan)
3. Açıyı bulma:
Yayların eşitliği formülünden:
4. Yön hesabı:
Dişli çarklar birbirine bağlandığında, genellikle dönme yönleri zıt olarak hareket eder. İlk çark pozitif yönde dönerken, ikinci çark negatif yönde döner.
Buna göre:
5. Cevap seçeneği kontrolü:
Şıklarda negatif açı olarak verilmiş \pi katları vardır. \theta_2 = -\frac{5\pi}{3} açısı
- B şıkkında -\pi var
- Diğer seçeneklere baktığımızda, en uygun karşılık B şıkkıdır: -\pi değil.
Ancak hesaplanan değer \frac{5\pi}{3} değerinde. Bu durumda soruda açıların katları paslanmamış olabilir.
Şıklara şöyle bakalım:
| Şık | Değer (Radyan) | Yorum |
|---|---|---|
| A) \frac{\pi}{2} | 1.5708 | Çok küçük, değil |
| B) -\pi | -3.1415 | Yakın ama değil |
| C) \frac{5\pi}{4} | 3.927 | Farklı yön, farklı büyüklük |
| D) \frac{4\pi}{3} | 4.1887 | Yaklaşık 4.18, değil |
| E) \frac{5\pi}{3} | 5.236 | Hesapladığımız açı (pozitif yönde) |
Burada şık E) \frac{5\pi}{3} sonucu verir.
Ancak soru yönü de sormakta ve “Kaç radyanlık YÖNLÜ açı” demiştir. Yön çarpanı olarak ters olması gerekir. Yani işaret değişmeli.
Böylece açının işareti negatif olmalıdır:
Sonuç olarak:
Ama şıklarda bu işaretli seçenek yok. Sadece pozitif şık var (E).
E şıkkı tam hesaplanan değerse, işareti soruda nasıl yorumladığımıza göre değişir. Soruda da işaretli açı sorulduğundan negatif yönle cevap:
E şıkkı doğruya en yakın açı değeri (\frac{5\pi}{3}).
Sonuç:
| Parametre | Değer |
|---|---|
| r_1 (büyük dişli) | 2 cm |
| r_2 (küçük dişli) | 1 cm |
| \theta_1 | \frac{5\pi}{6} rad |
| \theta_2 | -\frac{5\pi}{3} rad (yön ters) |
Cevap:
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç/Değer |
|---|---|---|
| 1. Dereceden Radyana Çeviri | 150^\circ = \frac{5\pi}{6} rad | \frac{5\pi}{6} rad |
| 2. Yay Uzunluğu Eşitliği | r_1 \theta_1 = r_2 \theta_2 → \theta_2 = \frac{r_1}{r_2} \theta_1 | \theta_2 = \frac{5\pi}{3} rad |
| 3. Dönüş Yönü | Dişliler zıt yönde döner → açı işareti negatif | \theta_2 = - \frac{5\pi}{3} rad |
| 4. Sonuç ve Şık | İşaret yönü negatif, değer \frac{5\pi}{3} | Şık E) \frac{5\pi}{3} |
Sonuç olarak; O_2 merkezli dişli çark -\frac{5\pi}{3} radyan (yani ters yönde \frac{5\pi}{3} radian) döner.
O halde den sonrasını anlamadıysan ayrıntılı anlatırsınız
Yarıçapları 2 cm ve 1 cm olan O_1 ve O_2 merkezli dişliler problemi nasıl çözülür?
Soru:
O_1 merkezli dişli pozitif yönde 150^\circ döndüğünde, O_2 merkezli dişli kaç radyan büyüklüğünde ve hangi yönde döner?
Detaylı Anlatım ve Çözüm Adımları
1. Problemin Verileri
- Büyük dişlinin yarıçapı: r_1 = 2 cm
- Küçük dişlinin yarıçapı: r_2 = 1 cm
- Büyük dişli O_1 pozitif yönde 150^\circ döner.
2. Dereceyi Radyana Çevirme
Radyan ve derece arasındaki dönüşüm bağıntısı:
O halde:
3. Diyalektik (Yay Uzunluğu) Eşitliği
Dişli çarklarda temas noktalarında dönme yolunun aynı olması gerekir.
Yol (yay uzunluğu) formülü:
Yani,
Burada,
- \theta_1: O_1 dişlisinin döndüğü açı
- \theta_2: O_2 dişlisinin döndüğü açı
Buna göre:
4. Döndürme Yönünün Belirlenmesi
Dişli çarkların dişleri birbirine geçtiği için dönüş yönleri ters olur.
- O_1 pozitif yönde dönerken,
- O_2 negatif yönde dönecektir.
Bu nedenle $\theta_2$’nin işareti negatif alınır:
5. Verileri Yerleştirip Hesaplayalım
6. Sonuç
- O_2 dişlisi -\dfrac{5\pi}{3} radyan (yaklaşık -5.236 radian) büyüklüğünde
- O_1'in tam ters yönünde döner.
7. Sonuç Anlamı
- Negatif işaret: Dönerken yönü O_1 ile zıttır.
- Şıklardaki açılar genelde pozitif olarak verilmiştir, yönü “ters” olarak yorumlamak gerekir.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Yarıçaplar | r_1 = 2 cm, r_2 = 1 cm | - |
| Açı Dereceden Radyana | 150^\circ = \frac{5\pi}{6} radyan | \theta_1 = \frac{5\pi}{6} |
| Yay uzunluğu eşitliği | r_1 \theta_1 = r_2 \theta_2 | \theta_2 = \frac{r_1}{r_2}\theta_1 = \frac{5\pi}{3} rad |
| Dönüş yönü | Dişliler zıt yöne döner | \theta_2 = -\frac{5\pi}{3} rad (ters yön) |
Örnek yorum:
- O_1 dişlisi saat yönünde (pozitif yönde) \frac{5\pi}{6} kadar döndüyse,
- O_2 dişlisi saat yönünün tersi yönde yani negatif yönde, \frac{5\pi}{3} kadar dönmüş olur.