Soru:
Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında veri sayısı tek ise ortadaki sayıya, veri sayısı çift ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına o veri grubunun medyanı (ortanca), veri grubunda en çok tekrar eden değere ise o veri grubunun modu (tepe değer) denir.
Verilen veri grubu:
2, 3, 5, a, 9, b, b, 14
Veri grubuna değeri bilinen elemanlardan birer tane daha eklendiğinde oluşan yeni veri grubunun mod ve medyan değerinde ilk duruma göre değişiklik olmamıştır.
Buna göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle soruyu çözmek için medyan ve mod kavramlarını analiz edelim:
- Medyan (Ortanca): Veriler sıralandıktan sonra ortadaki eleman (ya da çift sayı varsa, ortadaki iki elemanın ortalaması).
- Mod (Tepe Değer): Veri grubunda en çok tekrar eden sayı.
Aşama 1: Verileri sıralama ve özellikleri belirleme
Veri grubu:
2, 3, 5, a, 9, b, b, 14
Küçükten büyüğe sıralanmış verilerdir. Burada a ve b, birbirinden farklı tam sayılardır.
Medyanı belirleyelim:
Veri şu anda 8 elemandan oluşuyor. 8 çift bir sayı olduğu için medyan, 4. ve 5. elemanların aritmetik ortalaması olacaktır:
Modu belirleyelim:
En sık tekrar eden sayı şu anda b değeridir; çünkü veri grubunda b ifadesi iki kez geçiyor.
Aşama 2: Eklenen elemanlar ve değişim koşulu
Soruda verilen bilgi:
Bilinen elemanlardan (2, 3, 5, 9, 14) birer tane eklendiğinde mod ve medyan değerinde değişiklik olmamıştır.
Bu, mod ve medyanın bozulmaması gerektiğini ifade eder:
- Yeni veri grubunun modunun hala b olması gerektiğinden, b diğer sayılardan daha sık olmalıdır.
- Dolayısıyla b ≥ 9 olmalıdır (çünkü diğer elemanlardan en az 2 kez geçiyor).
- Yeni veri grubunun medyanının ilk medyanla aynı kalabilmesi için:
- Bu durumda medyan hala \frac{a + 9}{2} olmalıdır. Ancak sıralama değiştirilmemelidir.
Aşama 3: Medyanı ve sıralamayı sağlama
Bu noktada sıralamanın korunması için:
- a bir küçük sayı olmalı,
- b ise büyük bir sayı olmalı.
Büyükten küçüğe sıralamayı kontrol edelim:
Eşitlik ve sıralamanın bozulmaması için a = 5 ve b = 14 uygun seçimdir.
Aşama 4: İstenen çarpımı hesaplama
Özet Tablo
| Veri Elemanları | Mod | Medyan | Ek Koşul | Çözüm |
|---|---|---|---|---|
| a = 5, b = 14 | b=14 | \frac{5+9}{2}=7 | Mod ve Medyan değişmedi | 70 |
Sonuç:
a ⋅ b çarpımı = 70
Doğru seçenek: B)
12. Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında veri sayısı tek ise ortadaki sayıya, veri sayısı çift ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına o veri grubunun medyanı (ortanca), veri grubunda en çok tekrar eden değere ise o veri grubunun modu (tepe değeri) denir.
a ve b birbirinden farklı birer tam sayı olmak üzere elemanları küçükten büyüğe doğru sıralanmış 2, 3, 5, a, 9, b, b, 14 veri grubuna değeri bilinen elemanlardan birer tane daha eklendiğinde oluşan yeni veri grubunun mod ve medyan değerlerinde ilk duruma göre değişiklik olmamıştır.
Buna göre, a • b çarpımı kaçtır?
Table of Contents
- Soruyu Anlama
- İlk Veri Grubunun Özellikleri
- Yeni Veri Grubunun Oluşturulması
- Mod ve Medyan Değerlerinin Değişmemesi Koşulu
- Ayrıntılı Çözüm Adımları
- Özet Tablo
- Sonuç ve Özet
1. Soruyu Anlama
Bu soruda elimizde 8 elemanlı bir veri grubu vardır:
2, 3, 5, a, 9, b, b, 14
• Bu veri grubunda:
- Medyan (ortanca), 8 eleman olduğu için 4. ve 5. elemanın aritmetik ortalamasıdır.
- Mod (tepe değer), en çok tekrar eden elemandır.
• Ardından, “değeri bilinen elemanlardan” (yani 2, 3, 5, 9, 14) her birinden bir tane daha eklenince veri grubu 13 elemanlı hale gelir. Yeni veri grubunun mod ve medyanının, ilk veri grubundaki mod ve medyan ile aynı kalması istenir.
2. İlk Veri Grubunun Özellikleri
İlk veri grubumuz (sıralı şekilde) şöyledir:
- 2
- 3
- 5
- a
- 9
- b
- b
- 14
2.1 Medyan
Veri sayısı 8 olduğu için medyan (4. eleman + 5. eleman) / 2 = (a + 9) / 2’dir.
2.2 Mod
En çok tekrar eden değer b olduğu için ilk veri grubunun modu b’dir. (b iki kez tekrar ediyor.)
3. Yeni Veri Grubunun Oluşturulması
Soruya göre “değeri bilinen elemanlar” olan 2, 3, 5, 9 ve 14’ten birer tane daha eklenir. Dolayısıyla yeni veri grubu toplam 8 + 5 = 13 elemandan oluşur. Yeni veri grubu (ekleme sonrası) şu şekildedir:
• Eski elemanlar: 2, 3, 5, a, 9, b, b, 14
• Eklenenler: 2, 3, 5, 9, 14
Yeni hali (tam sıralandığında):
2, 2, 3, 3, 5, 5, a, 9, 9, b, b, 14, 14
Burada veri sayısı tek (13) olduğundan yeni medyan, 7. elemana eşittir.
4. Mod ve Medyan Değerlerinin Değişmemesi Koşulu
• İlk veri grubunun modu = b
• İlk veri grubunun medyanı = (a + 9) / 2
Yeni veri grubunda da:
• Mod aynı kalacak (yani yine b olmalı).
• Medyan da ilk ile aynı numerik değerde olmalı.
5. Ayrıntılı Çözüm Adımları
-
Orijinal Modun Korunması
- İlk grupta mod b’dir (b iki kez geçiyor).
- Yeni grupta ise bazı değerlerin (2, 3, 5, 9, 14) sayısı ikişer kereye çıkıyor. Eğer b de sadece 2 tekrar olarak kalırsa ve diğer tüm değerler de 2 tekrar veya daha fazla olursa mod değişebilirdi. Bu nedenle b’nin bu değerlerden daha yüksek sayıda tekrara sahip veya onlarla eşit bir düzeyde kalması gerekir.
-
b’nin Bilinen Elemanlardan Biri Olması Durumu (En Kritik Nokta)
- Eğer b, “değeri bilinen” bir sayı ise, o sayı yeni ekleme ile birlikte daha çok tekrar sayısına ulaşabilir.
- Özellikle b = 14 olursa, 14 zaten ilk grupta 1 kez gözüküyor ama “b” olarak 2 tane var, toplam 3 kez. Bu durumda 14’ün tekrar sayısı 3 olur. Yeni ekleme ile 14 bir kez daha eklendiğinde 14’ün tekrar sayısı 4’e çıkar. Böylece mod yine 14 olur.
-
a Değerinin Yerleşimi ve Medyanın Sabitliği
-
- ve 5. elemanların ortalaması ilk başta medyandır: (a + 9) / 2.
- b’yi 14 kabul edersek dizi şu hale gelir:
2, 3, 5, a, 9, 14, 14, 14
(Çünkü 6,7,8. elemanlar b=14,14,14). - Bu dizinin medyanı = (a + 9) / 2.
- b = 14 artık kesinleşince mod = 14’tür (3 tekrar).
-
-
a’nın Uygun Değeri
- Dizide 9’un 5. sırada olduğunu biliyoruz. 4. sırada a var, dolayısıyla a ≤ 9.
- a = 9 seçildiğinde:
Orijinal dizi: 2, 3, 5, 9, 9, 14, 14, 14- Medyan = (9 + 9) / 2 = 9
- Mod = 14 (3 tekrar)
Yeni dizi (13 elemanlı):
2, 2, 3, 3, 5, 5, 9, 9, 9, 14, 14, 14, 14 -
- eleman = 9 => medyan = 9
- 14 toplam 4 kez tekrarlandığı için mod = 14
Böylece yeni veri grubunun moda ve medyan değeri, ilk veri grubundakilerle birebir aynı kalır (mod=14, medyan=9).
-
a ve b’nin Çarpımı
- a = 9 ve b = 14 olduğuna göre, istenen çarpım:
$
a \times b = 9 \times 14 = 126
$
- a = 9 ve b = 14 olduğuna göre, istenen çarpım:
6. Özet Tablo
| Adım | İşlem / Sonuç |
|---|---|
| 1. Orijinal Veri Grubu | 2, 3, 5, a, 9, b, b, 14 |
| 2. Orijinal Medyan | (a + 9) / 2 |
| 3. Orijinal Mod | b |
| 4. b = 14 Seçimi | Dizimiz: 2, 3, 5, a, 9, 14, 14, 14 → Mod 14 |
| 5. a = 9 Seçimi | Orijinal medyan = (9 + 9)/2 = 9 |
| 6. Yeni Dizi (13 Eleman) | 2,2, 3,3, 5,5, 9,9, 9, 14,14,14,14 |
| 7. Yeni Medyan | 7. eleman = 9, medyan = 9 |
| 8. Yeni Mod | 14 (4 tekrar: mod değişmedi) |
| 9. a × b | 9 × 14 = 126 |
7. Sonuç ve Özet
Bu koşulları sağlayan değerler a = 9 ve b = 14 olarak bulunur. Böylece:
- Orijinal Veri Grubunun Medyanı = 9
- Orijinal Veri Grubunun Modu = 14
- Yeni Veri Grubunun Medyanı = 9 (değişmedi)
- Yeni Veri Grubunun Modu = 14 (değişmedi)
Dolayısıyla a × b = 9 × 14 = 126 sonucu elde edilir. Sorunun çoktan seçmeli yanıtlarında bu değer E) 126 olarak verilmiştir.