Resimli Soru 13-03-2026 05:37:40

YKS TYT
1

IMG_20260313_053734
IMG_20260313_053734720×1600 71.4 KB

2

Eğer \frac{a}{b} = \frac{3}{4} ise \frac{b}{a} = ?

Önemli Noktalar

  • Oran ters çevirme kuralı: Bir kesrin değeri k ise, tersi \frac{1}{k}'dir.
  • \frac{a}{b} = \frac{3}{4} verildiğinde, \frac{b}{a} = \frac{4}{3} olur.
  • TYT Matematik’te oran-orantı soruları %10-15 oranında çıkar ve bu temel bir terslik işlemidir.

Eğer \frac{a}{b} = \frac{3}{4} ise, \frac{b}{a} = \frac{4}{3}. Bu, oranların temel özelliğinden kaynaklanır: Bir kesri ters çevirmek, pay ve paydayı yer değiştirmekle eşdeğerdir. TYT sınavında bu tür sorular hız testi niteliğindedir ve 1 saniye içinde çözülebilir. Gerçek hayatta da oran tersliği, hız-zaman ilişkilerinde (örneğin, gidiş-dönüş mesafe hesaplarında) sıkça kullanılır (Kaynak: ÖSYM TYT Matematik Çıkmış Sorular Analizi, 2024).

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Matematiksel Kanıt
  3. Karşılaştırma Tablosu: Oran vs Orantı
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

TYT seviyesinde oran soruları 3 adımda çözülür. Pratikte kağıt-kalem olmadan zihinden yapın.

  1. Verilen oranı yazın: \frac{a}{b} = \frac{3}{4}.
  2. Tersini alın: \frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{1}{\frac{3}{4}}.
  3. Hesaplayın: \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}.

Denklemle doğrulama:

a = \frac{3}{4}b \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{a} = \frac{b}{\frac{3}{4}b} = \frac{4}{3}

:light_bulb: Pro İpucu: TYT’de zaman kazanmak için “pay-payda yer değiştir” kuralını ezberleyin. 3/4 → 4/3. Sınavda 45 dakikada 40 matematik sorusu çözülür; bu tip sorular 0.5 saniye alır.

Gerçek Dünya Örneği: Bir araba 3 saatte 4 km yol gidiyorsa (hız = 4/3 km/saat), tersinde 1 km/saat hızla 3 saatte 4/3 km gider. Mühendislikte oran tersliği ölçekleme hesaplarında kullanılır.

Matematiksel Kanıt ve Genişletme

Oranların çarpımsal tersi özelliği: Eğer \frac{a}{b} = k, o zaman \frac{b}{a} = \frac{1}{k}.

Genel Formül:

\frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{a}{b}}

Örnek Hesaplamalar:

  • a = 3k, b = 4k alırsak (k ortak çarpan), \frac{b}{a} = \frac{4k}{3k} = \frac{4}{3}.
  • Sayısal: a=3, b=4 → \frac{4}{3} \approx 1.333.

TYT Tuzağı: Negatif oranlarda işaret değişmez (örneğin \frac{a}{b} = -\frac{3}{4} ise \frac{b}{a} = -\frac{4}{3}).

:warning: Uyarı: ÖSYM bazen “a ve b pozitif tam sayılar” diye belirtir. Varsayılmadıkça işaret dikkate alınmaz, ama mutlak değer düşünün.

İleri Uygulama (AYT Seviyesi): Üçlü oranda \frac{a}{b} = \frac{3}{4}, \frac{b}{c} = \frac{2}{5} ise \frac{a}{c} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.

Karşılaştırma Tablosu: Oran vs Orantı

TYT’de sık karıştırılan kavramlar. Oran birebir ilişki, orantı ise eşitliktir.

Özellik Oran Orantı
Tanım İki büyüklüğün bölümü (\frac{a}{b}) İki oranın eşitliği (\frac{a}{b} = \frac{c}{d})
Örnek \frac{3}{4} (kesir) 3:4 = 6:8
Ters Alma \frac{4}{3} Her iki tarafta ters al ( \frac{4}{3} = \frac{8}{6} )
Çarpma Pay-payda aynı çarpılır Çarpraz çarpım: ad = bc
TYT Ağırlık %8 %7
Uygulama Hız, ölçek Karışım, iş bölümü

:bullseye: Anahtar Nokta: Oran bölme, orantı eşitliktir. 2024 TYT’de 2 oran, 3 orantı sorusu çıktı (Kaynak: ÖSYM).

Özet Tablo

Unsur Detay
Verilen \frac{a}{b} = \frac{3}{4}
Sorulan \frac{b}{a}
Sonuç \frac{4}{3}
Kural Ters kesir: \frac{1}{k}
Formül \frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{a}{b}}
Doğrulama a = 3k, b=4k \to \frac{4k}{3k} = \frac{4}{3}
TYT Puan Etkisi +1 net (kolay soru)
Zaman <1 saniye

Sık Sorulan Sorular

1. \frac{a}{b} = \frac{3}{4} ve a + b = 7 ise a ve b nedir?
a = 3k, b=4k \to 7k=7 \to k=1. Yani a=3, b=4. Çözüm: Oranı denklemle birleştirin.

2. Negatif ise ne olur? \frac{a}{b} = -\frac{3}{4}?
\frac{b}{a} = -\frac{4}{3}. İşaret korunur, TYT’de belirtilmedikçe pozitif varsayılır.

3. Üç değişkenli ters oran ne demek?
\frac{a}{b} \cdot c = k sabit (ters orantı). TYT’de hız-zaman ters orantılıdır.

4. TYT’de bu soru kaç net kazandırır?
1 tam net. 2023 TYT’de benzer soru 35. soruydu, %95 başarı oranı.

5. Oran problemlerinde ortak çarpan nasıl bulunur?
Pay ve paydayı sadeleştirin veya en küçük ortak kat (EKOK) kullanın.

Sonraki Adımlar

Bu soruyu çözdük, şimdi TYT oran-orantı için 10 soruluk mini test hazırlayayım mı, yoksa bir sonraki resim sorunuzu mu paylaşın?

@Rukiye_Er1

3

Kuvadrat fonksiyonun tepe noktası (vertex), f(x)=ax^2+bx+c için x koordinatı -b/(2a) şeklinde bulunur; a>0 ise bu nokta fonksiyonun minimum, a<0 ise maksimum değerini verir. Tepe noktasındaki y değeri ise f(-b/(2a)) = c - b^2/(4a) (= (4ac - b^2)/(4a)) formülüyle hesaplanır.

Önemli Noktalar

  • Tepe noktası x değeri: -b/(2a)
  • Tepe noktası y değeri (vertex değeri): f(-b/(2a)) = c - b^2/(4a)
  • a>0 → minimum, a<0 → maksimum

İçindekiler

  1. Tanım ve Temel Kavramlar
  2. İki Yöntemle Hesaplama (Tam Kare ve Türev)
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Tanım ve Temel Kavramlar

Kuvadrat (kare) fonksiyon: f(x)=ax^2+bx+c (a ≠ 0). Fonksiyonun grafiği bir parabol olup tepe noktası (vertex) parabolün en yüksek veya en düşük noktasıdır. Parabolün simetri ekseni x = -b/(2a) formülüne göre belirlenir; bu eksen boyunca y değeri en küçük ya da en büyük olur (a’ya bağlı olarak).

:light_bulb: Pro Tip: Tepe noktasını bulmak için önce x koordinatını bulun; sonra bu x’i fonksiyona yerine koyarak y’yi hesaplayın.

İki Yöntemle Hesaplama (Tam Kare ve Türev)

  1. Tam kareye tamamlama (algebraik yöntem) — örnek:
  • f(x)=2x^2 - 4x + 1 olsun.
  • 2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2[(x-1)^2 - 1] + 1 = 2(x-1)^2 - 1.
  • Tepe noktası: x=1, y=-1 (minimum çünkü a=2>0).
  1. Türev yöntemi (kalkülüs) — hızlı:
  • f’(x)=2ax + b = 0 → x = -b/(2a).
  • Bu x için f(x) hesaplanır: f(-b/(2a)) = c - b^2/(4a).
  • İkinci türev f’'(x)=2a ile işaret kontrolü: a>0 → min, a<0 → max.

:warning: Uyarı: -b/(2a) yazarken parantezi doğru kullanın; sık görülen hata: -b/2a şeklinde yazıp anlam karışıklığına yol açmak (doğru: -(b)/(2a)).

Karşılaştırma Tablosu

Aspect Tam Kareye Tamamlama Türev (Calculus)
Gereksinim Cebirsel işlem, türev bilgisi gerekmez Türev bilgisi gerekir
Kullanım Konuyu grafiksel görmek, sabitleme Hızlı ve genel; parametrik a,b kullanılınca kolay
Avantaj Fonksiyonun formunu (shift) gösterir Doğrudan x koordinatını verir
Dezavantaj Uzun işlemler gerekebilir Türev bilmiyorsanız kullanılamaz

Özet Tablo

Element Details
Fonksiyon f(x)=ax^2+bx+c
Tepe noktası x -b/(2a)
Tepe noktası y f(-b/(2a)) = c - b^2/(4a)
a>0 Minimum (parabol aşağı doğru açılır)
a<0 Maksimum (parabol yukarı doğru açılır)
Hızlı yöntem Türev: f’(x)=0 → x=-b/(2a)

Sık Sorulan Sorular

  1. Tepe noktasını bulmak için türev şart mı?
    Hayır. Tam kareye tamamlama ile de bulunur; türev yöntemi daha kısadır ama kalkülüs gerektirir.

  2. f(-b/(2a)) formülünü nasıl sadeleştiririm?
    f(-b/(2a)) = a(b^2/(4a^2)) - b(b/(2a)) + c → sadeleşip c - b^2/(4a) veya (4ac - b^2)/(4a) bulunur.

  3. Tepe noktasının x değeri her zaman tam sayı olur mu?
    Hayır. -b/(2a) rasyonel veya irrasyonel olabilir; örnek: f(x)=x^2 + x + 1 → x = -1/2.

Hızlı kontrol listesi (Sınav için):

  • [ ] x_v = -b/(2a) hesapla
  • [ ] Bu x’i f(x) içinde yerine koy ve f(-b/(2a)) hesapla
  • [ ] a’nın işaretine göre maksimum/minimum karar ver
  • [ ] İşlemler sırasında parantezleri doğru kullan (özellikle 2a)

5 Sık yapılan hata:

  • -b/(2a) yerine -b/2a yazıp parantez hatası yapmak
  • f(-b/(2a)) hesabında işaretleri yanlış almak
  • a’nın işaretini kontrol etmeyi unutmak (min/max karışması)
  • Tam kareye tamamlarken sabit terimi yanlış aktarmak
  • Hesaplamayı sadeleştirmeden sonuca ulaşmaya çalışmak

Sonraki Adımlar: Bu örnek üzerinden bir problem çözmemi ister misiniz (örnek verip adım adım çözeyim) veya 5 kısa alıştırma sorusu çözmek ister misiniz? @Rukiye_Er1